9 / Числ_мет_лабораторный_практикум_ч2_4_16

Лабораторная работа № 9.

Простейшие методы решения нелинейных уравнений

где функция f(x) определена и непрерывна в некотором конечном или беско-

нечном интервале a<х<b.

называется корнем уравнения f(x)=0 или нулем функции f(x).

Если алгебраическое или трансцендентное уравнение достаточно сложно,

то его корни сравнительно редко удается найти точно. Поэтому большое значе-

ние приобретают методы приближенного нахождения корней уравнения и оценки их точности.

В дальнейшем предполагается, что уравнение f(x)=0 имеет лишь изолиро-

ванные корни, т.е. для каждого корня уравнения существует окрестность, не содержащая других корней этого уравнения.

Поиск корней

Приближенное нахождение изолированных действительных корней алгеб-

раического уравнения обычно складывается из двух этапов [1]:

1) отделение корней, т.е. установление возможно тесных промежутков

[α,β], в которых содержится один и только один корень уравнения; 2) уточнение приближенных значений корней, т.е. доведение их до задан-

ной степени точности.

Для отделения корней полезна известная теорема из математического ана-

лиза: если непрерывная функция f(x) принимает значения разных знаков на

3

концах отрезка [α,β], т.е. f(α)f(β)<0, то внутри этого отрезка содержится, по меньшей мере, один корень уравнения, т.е. найдется хотя бы одно число ξ, при-

надлежащее интервалу (α,β), такое, что f(ξ)=0.

Корень заведомо будет единственным, если производная f′(x) существует и сохраняет постоянный знак внутри интервала (α,β), т.е. f(x) монотонна.

Процесс отделения корней

Процесс отделения корней начинается с установления знаков функции f(x)

в граничных точках a и b области ее существования. Затем определяются знаки функции в ряде промежуточных точек x=α1, α2, …, αn, выбор которых обычно учитывает особенности функции f(x).

Если окажется, что для некоторого номера k функция f(x) меняет знак, т.е. f(αk)f(αk+1)<0, то в интервале (αk, αk+1) имеется не менее одного корня уравнения.

Нужно тем или иным способом убедиться, является ли этот корень единствен-

ным, например, проверив значение f′(x) в интервале.

Для определения отрезков, на которых функция меняет знак, обычно стро-

ится вспомогательная таблица, содержащая координаты промежуточных точек

αk и знаки функции f(x) в этих точках (табл. 9.1).

Из таблицы видно, что отрезки [α1,α2], [α2,α3] и [α3,α4] содержат хотя бы один корень уравнения f(x)=0, т.к. на этих отрезках функция меняет знак.

Часто отделение корней выполняется графически. Для этого строится гра-

фик функции f(x) на рассматриваемом отрезке и определяются приближенные координаты точек пересечения графика с осью абсцисс.

4

Построим последовательность приближений к корню, начиная с некоторо-

го начального заданного значения x0, по правилу (9.7)

является корнем уравнения (9.6) и, соответственно, корнем исходного уравне-

ния (9.1).

Известно [3], что последовательность приближений xn сходится, если φ(x)

имеет на отрезке [a,b] непрерывную производную и выполняется условие (9.9)

где q – правильная дробь. Процесс вычислений завершается, если модуль раз-

ности двух последовательных приближений оказывается меньше некоторого заданного малого числа ε, т.е. выполняется условие (9.3).

Результаты вычислений отдельно для каждого корня уравнения следует

расположить в табл. 9.3

Таблица 9.3

Уточнение корня методом простой итерации

7

2.Задания

1.Для указанного в варианте задания нелинейного уравнения выполнить от-

деление корней на заданном отрезке [a,b]. Оформить результаты в виде табл. 9.1.

2.Построить график функции f(x) на отрезке [a,b] и проверить правильность отделения корней, убедившись, что каждый частичный отрезок содержит ровно один корень.

3.Используя метод деления отрезка пополам, вычислить значения всех найденных корней с максимальной абсолютной погрешностью 0,01.

4.Проверить правильность решения, подставив значения корней в исходное уравнение.

5.Оформить результаты вычислений в виде табл. 9.2.

6.Используя метод простой итерации, вычислить значение каждого найденно-

го корня с максимальной абсолютной погрешностью 110-6. Вычисления выполнять с 7 десятичными знаками.

7.В методе простой итерации выполнить преобразование уравнения (9.1) к

каноническому виду (9.6) и проверить выполнение условий сходимости в окрестностях каждого корня. Если условия сходимости не выполняются,

следует привести уравнение к каноническому виду другим способом.

8.Оформить полученные результаты итераций в виде табл. 9.3.

9.Проверить правильность решения, подставив значения корней в исходное уравнение.

3.Пример выполнения задания

Задание

Задано нелинейное уравнение (9.10)

8

Вычислить все корни уравнения на отрезке [-3,1] методом деления отрезка пополам с максимальной абсолютной погрешностью 0,01 и методом простой итерации с максимальной абсолютной погрешностью 1 10-6.

Отделение корней.

Заполняем табл. 9.1. Шаг таблицы выбирается в зависимости от свойств функции f(x) и длины отрезка [a,b]. Результат размещаем в табл. 9.4.

отрезках [–3, –2], [–1,0] и [0,1] содержит ровно один корень.

Пример 1.Метод деления отрезка пополам.

Этот метод применяется к каждому частичному отрезку, содержащему ко-

рень уравнения. Результаты вычислений организуются в виде таблицы 9.2. для каждого корня (см. табл. 9.5, табл. 9.6 и табл. 9.7).

9