3 / лаб3 ЧМ

МИНОБРНАУКИ РОССИИ

«Челябинский государственный университет»

(ФГБОУ ВО «ЧелГУ»)

Физический факультет

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 3

ТЕМА: Погрешности функций

Выполнил: Агеев А.А.

Группа: ФФ-404

Принял: Окороков В.А.

Челябинск

2026

Данные для выполнения задания (Вариант 1):

Обработка результатов

Общие формулы: Δα (рад)=Δα (град) * π/180 1′ = 1/60 градуса → Δα (рад) = Δα (мин) * π/10800

Абсолютная погрешность функции:

Δv = ∣v′(α)∣ * Δα_рад ​

Относительная погрешность:

Δv = Δv/∣v∣ * 100%

Задание 1. Угол α измерен с абсолютной погрешностью Δα. Определить значение, абсолютную и относительную погрешности функций v(α).

1. Перевести исходные данные из градусной меры в радианную:

Значение функции 1,2803

Абсолютная погрешность функции .

Относительная погрешность функции .

2. Перевести исходные данные из градусной меры в радианную:

Значение функции

Абсолютная погрешность функции .

Относительная погрешность функции

3. Перевести исходные данные из градусной меры в радианную:

Значение функции

Абсолютная погрешность функции .

Относительная погрешность функции .

4. Перевести исходные данные из градусной меры в радианную:

Значение функции

Абсолютная погрешность функции .

Относительная погрешность функции .

Таблица 1. Результаты выполнения задания 1.

113°52'	10	1,9873	1,4 sin α	1,2803	1,4·|cos α|·Δα	0,0016	0,1
111°9'8"	14	1,94	3 / cos α	-8,314	3·|sin α|/cos²α·Δα	0,09	1,1
2°34'	6	0,0448	4,8 tg α	0,2152	4,8/cos²α·Δα	0,008	3,9
55°40'25"	2,6	0,9717	7,4 ctg α	5,0529	7,4/sin²α·Δα	0,008	0,2

Задание 2. Вычислить значения функций f(t) для заданного значения аргумента t, Определить абсолютную и относительную погрешности результатов, Считать все значащие цифры аргумента верными.

1. t = 7,859, f(t) = (cos t + 2t²)·e^2t.

Погрешность аргумента Δt=0,0005

f = (cos t + 2t²)·e^2t = 827900000,0

Производная: f′ = e^2t[(-sin t+4t) + 2(cos t+2t²)]

|f′| = 1,8598*10⁹

Абсолютная погрешность функции Δf = |f′|·Δt = 9,299*10⁵.

Относительная погрешность функции δf(t) = 0,1 %.

2. t = 7,0, f(t) = (cos t + 2 sin t)·t.

Погрешность аргумента Δt=0,5

f = (cos t + 2 sin t)·t = 14,0

Производная: f′ = cos t - t·sin t + 2 sin t + 2t·cos t

|f′| = 8,0236

Абсолютная погрешность функции Δf = |f′|·Δt = 4,0.

Относительная погрешность функции δf(t) = 28,6 %.

3. t = 3,8, f(t) = (2 + sin t)·√t.

Погрешность аргумента Δt=0,05

f = (2 + sin t)·√t = 2,706

Производная: f′ = cos t·√t + (2+sin t)/(2√t)

|f′| = 1,1858

Абсолютная погрешность функции Δf = |f′|·Δt = 0,09.

Относительная погрешность функции δf(t) = 2,2 %.

4. t = 8,49, f(t) = (cos t + 1,5 sin t)·e^t.

Погрешность аргумента Δt=0,005

f = (cos t + 1,5 sin t)·e^t = 2980,0

Производная: f′ = e^t·(0,5 sin t + 2,5 cos t)

|f′| = 5,2686*10³

Абсолютная погрешность функции Δf = |f′|·Δt = 30,0.

Относительная погрешность функции δf(t) = 0,9 %.

Таблица 2. Результаты выполнения задания 2.

t	f(t) формула	f(t) значение	Δt	Δf(t) значение	δf(%)
7,859	f = (cos t + 2t²)·e^(2t)	827900000,0	0,0005	9,299*105	0,1
7,0	f = (cos t + 2 sin t)·t	14,0	0,5	4,0	28,6
3,8	f = (2 + sin t)·√t	2,706	0,05	0,09	2,2
8,49	f = (cos t + 1,5 sin t)·e^t	2980,0	0,005	30,0	0,9

Задание 3. Вычислить значения функций u(x, y, z) для заданных значений аргументов, Определить абсолютную и относительную погрешности результатов, Считать все значащие цифры аргументов верными.

1. x = 6,37, y = 1,434, z = 3,6, u = e^x·(1+z²) + y³

Значение функции u(x, y, z) = 8200,0.

Погрешности аргументов Δx = 0,005; Δy = 0,0005; Δz = 0,05.

Частные производные: ∂u/∂x = e^x(1+z²) = 8,1534*10³,

∂u/∂y = 3y² = 6,1691,

∂u/∂z = 2z·e^x = 4205,2164

Абсолютная погрешность функции Δu(x, y, z) = |∂u/∂x|·Δx + |∂u/∂y|·Δy + |∂u/∂z|·Δz = 300,0.

Относительная погрешность функции δu(x, y, z) = 3,1 %

2. x = 7,398, y = 2,3, z = 5,09, u = x² + y·ln z

Значение функции u(x, y, z) = 58,473.

Погрешности аргументов Δx = 0,0005; Δy = 0,05; Δz = 0,005.

Частные производные: ∂u/∂x = 2x = 14,7960,

∂u/∂y = ln z = 1,6273,

∂u/∂z = y/z = 0,4519

Абсолютная погрешность функции Δu(x, y, z) = |∂u/∂x|·Δx + |∂u/∂y|·Δy + |∂u/∂z|·Δz = 0,09.

Относительная погрешность функции δu(x, y, z) = 0,2 %

3. x = 8,6, y = 0,371, z = 3,445, u = 1 + x - y² + z³

Значение функции u(x, y, z) = 50,348.

Погрешности аргументов Δx = 0,05; Δy = 0,0005; Δz = 0,0005.

Частные производные: ∂u/∂x = 1,

∂u/∂y = -2y = -0,7420,

∂u/∂z = 3z² = 35,6041

Абсолютная погрешность функции Δu(x, y, z) = 0,07.

Относительная погрешность функции δu(x, y, z) = 0,1 %

4. x = 6,0, y = 9,42, z = 5,5, u = (1+x⁴)·ln y + z³

Значение функции u(x, y, z) = 3000,0.

Погрешности аргументов Δx = 0,5; Δy = 0,005; Δz = 0,05.

Частные производные: ∂u/∂x = 4x³·ln y = 1,9378*10³,

∂u/∂y = (1+x⁴)/y = 137,6858,

∂u/∂z = 3z² = 90,7500

Абсолютная погрешность функции Δu(x, y, z) = 1000,0.

Относительная погрешность функции δu(x, y, z) = 31,7 %

Таблица 3. Результаты выполнения задания 3.

x	y	z	u(x,y,z) формула	u значение	Δu значение	δu(%)
6,37	1,434	3,6	u = ex·(1+z²) + y³	8200,0	300,0	3,1
7,398	2,3	5,09	u = x² + y·ln z	58,473	0,09	0,2
8,6	0,371	3,445	u = 1 + x - y² + z³	50,348	0,07	0,1
6,0	9,42	5,5	u = (1+x⁴)·ln y + z³	3000,0	1000,0	31,7

6