Лекции по ОТС ОП 2024 г (1)

Стационарность.

1.Нестационарный случайный процесс - ФПВ и ФРВ зависят от начала отсчета времени.

2.Стационарный в узком смысле - ФПВ и ФРВ не зависят от начала отсчета времени.

3.Стационарный в широком смысле - одно- и двумерные ФПВ и ФРВ не зависят от начала отсчета времени.

Для стационарного случайного процесса m1, m2, 2 - не зависят от времени.

Рассмотрим тепловой шум на выходе включенного усилителя: x(t)

Рис.11.1.

t

нестационарный Стационарный

После включения усилитель прогревается и шум на его выходе - нестационарный. После "прогрева" шум будет стационарным процессом.

Эргодичность.

Случайный процесс называется эргодическим, если для него усреднение по времени одной реализации и усреднение по множеству реализаций дает один и тот же результат. Это свойство имеет большое значение на практике, т.к. усреднение по времени одной реализации технически реализовать проще, но оно не всегда дает истинный результат. Поэтому доказательство эргодичности процесса позволяет существенно упростить нахождение его характеристик.

11.2.Нормальный случайный процесс( гауссов процесс).

Процесс называется нормальным или гауссовым, если его одномерная ФПВ имеет вид:

Графики нормальной ФПВ построены на рис. 11.2.:

51

ФРВ для нормального процесса имеет вид:

F (x) 1

11.3.ФПВ и ФРВ для гармонического колебания со случайной начальной фазой.

Рассмотрим случайный процесс в виде гармонического колебания со случайной начальной фазой:

X(t) = Asin ( wt + )

- случайная величина, равномерно распределенная на интервале , т.е. ФПВ мгновенных значений фазы , показанная на рис.11.5 равна:

ФПВ мгновенных значений x гармонического колебания со случайной фазой, изображенная на рис. 11.6, имеет вид:

53

Вид ФПВ, т.е. W(z) зависит от параметра:

h2 - одно гармоническое колебание.

11.5.Огибающая и фаза узкополосного случайного процесса.

Случайный процесс y(t) = Um(t) cos ( 0t+ (t) ) называется узкополосным, если его ширина спектра значительно меньше, чем средняя частота 0. Um(t) - огибающая случайного процесса (случайная амплитуда) на рис.11.9;

(t) - фаза случайного процесса.

Для нормального случайного процесса фаза (t) распределена равномерно (см. выше).

u(t)

Рис.11.9.

t

Огибающая нормального случайного процесса Um(t) распределена по закону Релея:

55

W(Um)

з-н Релея

0Um

Если узкополосный случайный процесс есть сумма нормального шума и гармонического колебания с амплитудой А, то его огибающая распределена по обобщенному закону Релея (закон Райса):

I0(.) - функция Бесселя от мнимого аргумента.

11.6.ФПВ и ФРВ для дискретных случайных процессов.

Дискретные случайные процессы принимают с определенной вероятностью значения, отличающиеся одно от другого на конечную величину. Вероятность таких значений – число не равное 0.

Рассмотрим реализацию дискретного случайного процесса.

x(t)

а

T1

b

T1+T2=T

Для эргодического стационарного случайного процесса усреднение по множеству реализаций эквивалентно усреднению по времени одной реализации.

56

T1/T - вероятность того, что случайный процесс принимает значение а.

T2/T - вероятность того, что случайный процесс принимает значение b.

TT2 (x b)

ФПВ заданного случайного процесса в соответствии с полученным выражением показана на рис.11.12:

W(x)

ФРВ для случайного процесса принимающего 2 значения x=a и x=b имеет вид:

0, x b

F ( x) T2 , b x a

T

1, x a

57

Вычислим среднее значение двоичного дискретного случайного процесса, принимающего 2 значения:

x=a c вероятностью T1/T, x=b c вероятностью T2/T

11.7.Нелинейные безынерционные преобразования случайного процесса.

Нелинейное преобразование:

y(t)=f[x(t)] – называется безынерционным, если y(tk) в момент времени tk зависит только от x(tk).

ФПВ для процесса y на выходе:

dx

Пусть характеристика нелинейного элемента может быть аппроксимирована линейно-ломаными.

58