4 Оценка времени релаксации и концентрации примесей

Сначала высоко и низко частотные пределы, вероятно они не нужны в этом билете, можно сразу писать про статический случай.

Берем выражение для проницаемости из предыдущего билета, там есть омега т (произведение), говорим что оно много больше единицы. Такой случай называется высокочастотным пределом. Тау (время между столкновениями, если я правильно понял) становится много больше периода осцилляций (1 делить на омега) (вторая формула для эпсилон приведена просто так).

То есть, носитель заряда настолько хорошо взаимодействует с внешним полем что ему все равно на сколько грязный образец, то есть рассеивается он гораздо реже чем крутится по электромагнитному полю. То есть фактически вещество чистое

Проницаемость принимает вот такой вид:

Так называемый “плазменный предел”

При приближении частоты к плазменной проницаемость стремится к нулю. Проницаемость при этом находится в знаменателе фурье компоненты кулоновского потенциала, и он улетает в бесконечность

Примерный размер плазменной частоты:

Второй случай, омега тау много меньше единицы. Низкочастотный предел (не статический!). Тау много меньше периода осцилляций. То есть за одну осцилляцию электрон может столкнуться много раз. Электрическое поле как бы ”замазано столкновениями”.

Оценка

А теперь статический предел. Частота равна нулю. Включаем малый потенциал (метод пробного потенциала). Смотрим как поведет себя индуцированный заряд.

Считаем его как разницу количества электронов с потенциалом и без, умноженную на заряд электрона

Расписываем плотность через импульсы. Там появляется функция распределения. (приближение хартри-фока).

Раскладываем функции распределения по малым компонентам вблизи энергии ферми.

А что такое производная от функции распределения? Функция распределения это по сути ступенька, значит производная от неё это дельта-функция. Заменяем в выражении производную на дельта функцию.

Получается сумма от дельта функций, а это буквально плотность состояний, которую мы выводили во втором билете. Заменяем

Теперь ищем ро total (полное). Из уравнения пуассона. переводим в фурье, получается ку квадрат на фи.

Переводим выражение для ро индуцированного в фурье тоже

Тогда получается статическая диэлектрическая проницаемость:

Появляется такая величина как импульс Томаса-Шелби-Ферми.

Проницаемость написана в фурье. Подставим её в Кулоновский потенциал:

Оценка времени релаксации

Считаем что у нас только примеси. Напишем столкновительный интеграл. У нас упругое взаимодействие

Волновая функция k тут это плоская волна

V взаимодействия это. Считаем что каждая примесь это локальный наведенный заряд. Считаем что он порядка заряда электрона. Тогда V взаимодействия это кулон е квадрат на r.

Пробуем посчитать матричный элемент с учетом взаимодействия. Получается интеграл - фурье кулона. Полагаем что есть экранировка и тогда мы знаем чему равен интеграл.

Считаем что модуль q много меньше k0. Мы делаем оценки так что можно

q пропадает, подставляем выражение для k - импульса Томаса-Ферми

Подставляем это в формулу для 1/tau

У нас получается снова в формуле сумма дельта функций. Считаем что электрон имеет энергию ферми, тогда сумма дельта функций это снова плотность распределения, и она сокращается с той что в знаменателе.

Это как бы рассеяние на одной примеси. Чтобы поулчить полную надо просуммировать. Или что то же самое, умножить на концентрацию примесей (n imp (impurity))

И подставляем формулу для распределения на уровне ферми

Выразим отношение концентрации примесей к концентрации электронов

Подставим формулу для энергии ферми.

p ферми делить на h это k ферми, скорость ферми умножить на тау это длина пробега.

Оценим концентрацию

В знаменателе есть импульс ферми и длина пробега, смотрим какого они порядка, их произведение много больше единицы. Значит концентрация примесей много меньше концентрации электронов. То есть примеси довольно редко встречаются

А значит характерные длины в электронном газе:

5 Скин-эффект не будет Абрикосова!!!

6 Закон Видемана-Франца

7 Фононы в металле

8 Приближение сильной связи

Нестинг - это прямолинейные участки на поверхности Ферми, когда у нас половина зоны.

9 Эффективная масса (лекция от 9 октября) Из 11 билета взять сигма(проводимость) +еще из 13 добавить про эфф массу электронов и дырок(опционально)

Из 14 можно взять циклотронную массу

10 Блоховские электроны

С(R) - собственное число оператора блоха (наверное он так называется)

11 Электропроводность Друде в зонной схеме

В формулу для тока j мы подставили производную от импульса из уравения движения на последнем шаге

12 Эффект Холла. Коэффициент Холла и магнитосопротивление. Условие слабого и сильного поля

Считаем что d много меньше других размеров пластинки. Пишем уравнение для импульса в тау приближении (столкновения выражаются через член р/т)

тут надо еще написать почему эксперимент не соответствует теории - не учли какие-то величины, два переносчика заряда (эл и дырки)

Сильное поле порядка 1 Тл.

11(повтор) Термоэлектрические эффекты. Термоэлектронная матрица. Теплопроводность.

12(повтор) ТермоЭДС. Эффект Пельтье, Томсона.

Надо бы с семинаров вывод

13 Собственный полупроводник. Концентрация электронов и дырок.

Вот такой вопрос может быть на экзе:

Вот зоны. Верхняя штука более пологая, нижняя более крутая. Уровень ферми будет расти или падать? (То есть какая ситуация с последнего графика реализуется?)

Наверху электронная внизу дырочная кривые.

Раз кривая более пологая то масса, написанная радом - больше (коэффициент при k квадрат). Значит mn больше чем mp, значит реализуется второй случай (нижний)

14 Циклотронный резонанс, эксперимент Азбеля-Канера. Эффективная циклотронная масса. Получение информации о зонной структуре. (лекция 6.11)

1 Альфа е это коэффициент поглощения поля

2 В эксперименте у нас есть медь, и перпендикулярные поля. Магнитное и переменное электрическое. И мы пытаемся измерить коэффициент поглощения поля. Электрон влетает и вылетает их полей находясь при этом в меди. Чтобы был резонанс нужно чтобы он влетал и вылетал в одинаковой фазе, для этого периоды осцилляций полей должны быть кратными

3 Экватор и полюса это экстремальные орбиты, они дают наибольший вклад, на них выполняется условие того что производная от m по pz равна нулю

На графике альфа от 1/H наблюдаем биения (наложение периодических колебаний)

15 Уровни Ландау в магнитном поле. Плотность состояний.(лекция 6.11, 13.11)

Про плотность состояний первая страница билета 16 (N(E))

16 Эффект де-Гааза-ван-Альфена. Условия проведения эксперимента.

Nmax порядка 10^4. На втором графике внизу тоже корневая зависимость, но на неё появляются пики когда поле Н не равно нулю.

17 Построение поверхностей Ферми. Эксперименты Шубникова-де-Гааза. 0

18 Формула Лифшица для проводимости (лекция от 4 декабря)

Идёт сразу после билета 19 вроде как

Формула Лифшица это соотношение между концентрацией электронов и проводимостью.

Имеют место формулы для площади и объема поверхности ферми. Они понадобятся нам позже, мы хотим через них выразить ток.

Выводим для простого свободного электронного газа.

Вот у нас есть сфера ферми в импульсном пространстве.

Накладываем поле Ех.

Сфера деформируется, вытягиваясь по полю.

Можно написать формулу для дельта р максимального

Считаем плотность тока как заряд на концентрацию на скорость

(Начинаем смотреть следующий скрин) Ищем ток как интеграл от плотности тока. Там будет двойка от электронов и дырок и двойка от спина. dV раскрываем по компонентам. р считаем равным р ферми. dp раскрываем через дельта р максимальный и косинусы. Дельта р максимальный после подставляем как еЕт. Vx подставляем как p на косинус. Выносим все константы, остается интеграл от косинус квадрата по косинусу

Выразим результат через формулу для объема (треугольничек ебаный) которую записали в самом начале

тогда как в законе ома, j=σE. Все что в формуле кроме Е - это проводимость

И можно доказать, что подчеркнутая часть, это концентрация. Эта формула для проводимости и есть формула Лифшица (ну как я понял)

А отсюда получается формула Друде (это так, маленький прикол)

Формула выше, которая через объем, работает для более сложных структур, фигур вращения, помимо шара.

В анизотропном случае вместо эффективной массы встает тензор эффективной массы