ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 2 Погрешности результатов арифметических операций
1. Общие сведения
Погрешности суммы (разности)
Пусть задана функция (2.1)
n |
|
y(x1 ,x2 ,..., xn ) x1 x2 ... xn xi , |
(2.1) |
i 1
равная сумме своих аргументов. Если известны лишь приближенные значения аргументов и их погрешности, то можно вычислить приближенное значение суммы
n |
|
y* (x1*,x2*,...,xn* ) x1* x2* ... xn* xi* , |
(2.2) |
i 1
и оценить погрешность полученного приближенного значения.
Абсолютная погрешность суммы (разности). Если известны абсолютные погрешности слагаемых (i = 1, 2, …, n), то оценка абсолютной погрешности суммы (разности) имеет вид (2.3) [1].
n |
|
y* (x1*,x2*,...,xn* ) x1* x2* ... xn* xi* . |
(2.3) |
i 1
Относительная погрешность суммы (разности). Относитель-
ную погрешность суммы δy* можно вычислить по известной абсолютной погрешности. Оценка относительной погрешности суммы имеет вид (2.4) [1]
y |
* |
|
y* . |
(2.4) |
||
|
|
y* |
|
|
||
16
Обычно при вычислении относительной погрешности суммы определяется приближенное значение суммы, затем ее абсолютная погрешность и, наконец, относительная погрешность.
Относительную погрешность суммы можно оценить непосредственно по известным относительным погрешностям слагаемых:
|
n |
|
|
xi* |
|
xi* |
|
x |
* |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
n |
|
|
||||||
y* |
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
i |
xi* . |
(2.5) |
|
|
|
|
y |
* |
|
|
y |
* |
||||
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Погрешность разности вычисляется аналогично погрешности суммы. Следует иметь в виду, что при вычислении разности двух близких чисел относительная погрешность может сильно возрастать.
В сумме целесообразно сохранять столько десятичных знаков, сколько их присутствует в слагаемом с наибольшей абсолютной погрешностью. Вычисление суммы обычно выполняется с одним запасным знаком по отношению к слагаемому с наибольшей погрешностью. При выполнении сложения необходимо придерживаться следующей последовательности действий:
1.Выбирается слагаемое с наименьшим числом знаков после запятой.
2.Остальные числа округляются до того же числа знаков после запятой, сохраняя один запасной знак.
3.Вычисляется сумма.
4.Запасной знак отбрасывается.
Пример 1. Вычислить сумму приближенных чисел 2,17 + + 12,3971 + 1,198683 + 0,006732 и указать ее абсолютную и от-
носительную погрешности. Предполагать верными все значащие цифры слагаемых.
1.Слагаемое с наименьшим числом знаков после запятой: 2,17, т. е. имеет 2 знака после запятой.
2.Округление остальных чисел до 3 знаков после запятой (один знак запасной) дает 12,397; 1,199; 0,007.
3.Сумма равна 15,773.
4.Округление суммы до двух знаков после запятой дает 15,77. Поскольку по условию все значащие цифры верные, то абсолют-
ные погрешности слагаемых не превышают: 0,005 для 2,17; 0,00005
17
для 12,3971; 0,0000005 для 1,198683; 0,0000005 для 0,006732. Аб-
солютная погрешность суммы равна сумме абсолютных погрешностей слагаемых, т. е. 0,005051≈0,005. Полная погрешность суммы включает ее абсолютную погрешность и погрешность округления,
т. е. 0,005 + 0,003 = 0,008.
Относительная погрешность суммы определяется по ее известной абсолютной погрешности и равна
δy* = 0,005 / 15,77 = 3,1 × 10–4 = 0,0003 = 0,03 %.
Из примера видно, что абсолютная погрешность суммы определяется абсолютной погрешностью слагаемого (слагаемых) с наименьшим числом знаков после запятой.
Погрешности произведения (частного)
Относительная погрешность произведения (частного). Отно-
сительная погрешность произведения или частного равна сумме относительных погрешностей сомножителей (делителей). Пусть задано выражение, включающее операции умножения и деления (2.6) [1].
|
a1 a2 ,...,an |
|
|
y(a1 ,a2 ,...,an ,b1 ,b2 ,...,bm ) |
|
. |
(2.6) |
b1 b2 ,...,bm |
|||
Если известны только приближенные значения сомножителей и делителей, то приближенное значение выражения равно (2.7)
y* (a*,a* ,...,a* ,b*,b*,...,b* ) |
a*a* ,...,a* |
, |
(2.7) |
||||
1 2 |
n |
||||||
b*b* |
,...,b* |
||||||
1 2 |
n 1 2 |
m |
|
|
|||
|
|
|
1 2 |
m |
|
|
|
а его относительная погрешность оценивается величиной (2.8).
y* (a1* ,a2* ,...,an* ,b1* ,b2* ,...,bm* ) а1* а2* ... an* b1* b2* ... bm* , (2.8)
т. е. равна сумме относительных погрешностей сомножителей и делителей.
Абсолютная погрешность произведения (частного). Абсо-
лютная погрешность произведения (частного) вычисляется по его относительной погрешности и равна (2.9) [1].
18
y* |
|
y* |
|
y* . |
(2.9) |
|
|
При вычислении относительной погрешности необходимо придерживаться следующего порядка действий:
1.Выбирается сомножитель (делитель) с наименьшим числом верных значащих цифр, который имеет наибольшую относительную погрешность.
2.Остальные числа округляются до того же числа значащих цифр, сохраняя одну запасную.
3.Вычисляется выражение.
4.Запасная цифра отбрасывается (округляется).
Пример 2. Вычислить значение, а также относительную и абсолютную погрешность выражения:
y 3,2 356,7 0,04811,
7,1948 34,56
считая, что все знаки указанных чисел верные.
1.Наибольшую относительную погрешность имеет число с наименьшим количеством верных значащих цифр. В данном случае это число 3,2. Его относительная погрешность равна
δ(3,2) = 0,05/3,2 = 0,016 = 1,6%.
2.Остальные сомножители и делители округляем до того же числа значащих цифр, сохраняя один запасной знак, и вычисляем значение выражения.
y* 3,2 357 0,0481 0,221.
7,19 34,6
3. В значении выражения отбрасываем запасную цифру
y* 3,2 357 0,0481 0,22.
7,19 34,6
Вычисляем относительные погрешности сомножителей и делителей:
δ(356,7) = 0,05 / 356,7 = 0,00014 = 0,01 %; δ(0,04811) = 0,000005 / 0,04811 = 0,00010 = 0,01 %;
19
δ(7,1948) = 0,00005 / 7,1948 = 0,0000069 = 0,001 %; δ(34,56) = 0,005 / 34,56 = 0,00014 = 0,0 1%.
Суммируя относительные погрешности сомножителей (делителей) и округляя полученные значения, получим оценку относительной погрешности выражения δy* = 1,6%, а абсолютная погрешность равна
y* = 0,016 × 0,22 = 0,004.
Из примера видно, что для оценки значения относительной погрешности достаточно учесть только относительную погрешность сомножителей (делителей) с наименьшим числом значащих цифр.
2.Задания
1.Вычислить суммы чисел a1, b1, c1, приведенных в варианте задания, и определить абсолютную и относительную погрешности полученных результатов. Считать все значащие цифры исходных чисел верными.
2.Вычислить произведения чисел a2, b2, c2, приведенных в варианте задания, и определить абсолютную и относительную погрешности полученных результатов. Считать все значащие цифры исходных чисел верными.
3.Вычислить частное чисел a3 и b3, приведенных в варианте задания, и определить абсолютную и относительную погрешности полученных результатов. Считать все значащие цифры исходных чисел верными.
4.Вычислить приближенные значения выражений, приведенных в табл. 2.1, номера которых указаны в варианте задания,
используя значения параметров a4, b4, c4 и d4. Определить абсолютные и относительные погрешности полученных результатов. Считать все значащие цифры исходных чисел верными. Помимо итоговой таблицы в отчет включить все промежуточные значения погрешностей для элементов выражения.
20
Таблица 2.1
Варианты выражений для задания № 4
№ |
Выражение |
№ |
Выражение |
№ |
Выражение |
№ |
Выражение |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
y b c |
|
a |
|
6 |
y |
a |
|
cd |
11 |
y |
|
a d |
|
c |
16 |
|
y |
|
bc |
|
ad |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
d |
|
|
d |
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
cb |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
||||||||||||
2 |
y |
a bc |
a |
7 |
y |
ab |
|
d |
|
|
12 |
y |
a d |
|
c |
17 |
|
y |
a |
|
b |
d |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
c |
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
c |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
ac |
|
|
|
|
|
abc |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
3 |
y |
|
dc |
8 |
y |
|
bd |
13 |
y |
|
d |
18 |
|
y abc |
ad |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
c b |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
d |
|
|
d |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
4 |
y |
|
ac d |
|
9 |
y |
(a d)c |
|
14 |
y |
a d |
|
19 |
|
y |
|
a |
d |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
cb |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c b |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
cb a |
|
|
|
|
cb |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
5 |
y |
ad |
|
c |
10 |
y |
(a d )b |
|
15 |
y |
ad |
|
20 |
|
y |
a d |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
b |
|
|
|
c b |
c b |
|
c b |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
3. Примеры выполнения заданий
Задание 1. Вычислить сумму исходных чисел: a1 = 1,1212; b1 = –34,571; c1 = 2,2 и определить абсолютную и относительную погрешности полученного результата. Считать все значащие цифры исходных чисел верными.
Решение
1.Выбираем слагаемое с наименьшим числом знаков после запятой c1 = 2,2.
2.Округляем остальные числа до того же числа знаков после запятой, сохраняя один запасной знак: a1 = 1,12, b1 = –34,57.
3.Вычисляем сумму S = 1,12 – 34,57+2,2 = –31,2.
4.Запасной знак отбрасываем S = –31,2.
Абсолютная погрешность S = 0,00005 + 0,0005 + 0,05 = 0,05055 ≈ ≈ 0,05.
Относительная погрешность δS = 0,05 / |–31,2| = 0,0016 = 0,16 %.
Решение представить в виде табл. 2.2.
21
Таблица 2.2
Результаты выполнения задания № 1
a1 |
b1 |
c1 |
a1 |
b1 |
c1 |
S |
S |
δS |
1,1212 |
–34,571 |
2,2 |
0,00005 |
0,0005 |
0,05 |
–31,2 |
0,05 |
0,16 % |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
Задание 2. Вычислить произведения чисел a2 = 11,2; b2 = 1,123; c2 = –6,1 и определить абсолютную и относительную погрешности результата. Считать все значащие цифры исходных чисел верными.
Решение
1.Выбрать сомножитель с наименьшим числом значащих цифр, который имеет наибольшую относительную погрешность c2 =
=–6,1.
2.Округлить остальные числа до того же числа значащих цифр, сохраняя одну запасную: a2 = 11,2; b2 = 1,12.
3.Вычислить произведение P = 11,2 × 1,12 × (– 6,1) = –76,5184.
4.Выполнить округление P≈ –77.
5.Вычислить значения относительных погрешностей сомножи-
телей: δa2 = 0,05/11,2 = 0,0045; δb2 = 0,0005/1,123 = 0,00045; δc2 = 0,05/6,1 = 0,0082.
6.Вычислить относительную погрешность произведения: δP =
=0,013.
7. Вычислить абсолютную погрешность произведения |
= 0,9. |
||||||||||
Решение представить в виде табл. 2.3. |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
Результаты выполнения задания № 2 |
Таблица 2.3 |
||||||||
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a2 |
b2 |
|
c2 |
δa2 |
δb2 |
δc2 |
P |
|
δP |
P |
|
11,2 |
1,123 |
|
–6,1 |
0,004 |
0,0004 |
0,008 |
–77 |
|
0,013 |
1,0 |
|
… |
… |
|
… |
… |
… |
… |
… |
|
… |
… |
|
Задание 3. Вычислить частное чисел a3 = 211,2; b3 = 31 и определить абсолютную и относительную погрешности результата. Считать все значащие цифры исходных чисел верными.
Решение
Вычисление частного и его погрешностей выполняется аналогично вычислению произведения. Частное P = 6,8.
22
Относительные погрешности исходных данных:
δa3 = 0,05 / / 211,2 = 0,0002; δb2 = 0,5 / 31,1 = 0,016.
Относительная погрешность δP = 0,0162≈0,016. Абсолютная погрешность P = 0,1
Решение представить в виде табл. 2.4.
Таблица 2.4
Результаты выполнения задания № 3
a3 |
b3 |
δa3 |
δb3 |
P |
δP |
P |
211,2 |
31 |
0,0002 |
0,016 |
6,8 |
0,016 |
0,1 |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
Задание 4. Вычислить приближенное значение выражения:
y a b d . d c
Для следующих значений a = 3,16; b = 2,4; c = 12 и d = 17,121.
Определить абсолютную и относительную погрешности результата. Считать все значащие цифры исходных чисел верными. Помимо итоговой таблицы в отчет включить все промежуточные значения погрешностей для элементов выражения.
Решение
Арифметические операции выполняются в соответствии с их приоритетами. Промежуточные результаты вычислений округляются, оставляя один запасной знак.
Вычисляем частное p1 = a / d = 0,1846; δp1 = 0,0016 + 0,00003 ≈ ≈ 0,0016; p1 = 0,0003.
Вычисляем сумму s = b + d = 19,52. s = 0,05 + 0,0005 ≈ 0,05; δs = 0,0026.
Вычисляем частное p2 = s / с = 1,63; δp2 = 0,0026+ 0,042 = 0,045;
p2 = 0,073.
Вычисляем выражение y = p1+ p2 = 1,815; y = 0,073; δy = 0,13.
Решение представить в виде табл. 2.5. В отчет включить ре - зультаты вычисления погрешностей для всех элементов каждого выражения.
23
Таблица 2.5
Результаты выполнения задания № 4
a4 |
b4 |
c4 |
d4 |
δa4 |
δb4 |
δc4 |
δd4 |
y |
δy |
y |
0,005 |
0,05 |
0,5 |
0,0005 |
0,0016 |
0,02 |
0,04 |
3 × 10–5 |
1,815 |
0,13 |
0,07 |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
4. Варианты заданий
Индексы указывают номера заданий, для выполнения которых предназначены исходные данные.
Исходные данные для заданий 1—3
Вариант 1
a1 |
b1 |
c1 |
a2 |
b2 |
c2 |
a3 |
b3 |
–4,602 |
–1,7 |
1,67 |
10,3 |
–5,691 |
–13,733 |
–11,2 |
16,47 |
14,81 |
–1,973 |
–11,3 |
19,2667 |
–5,333 |
–15,2 |
–17,83 |
10,61 |
15,667 |
–0,11 |
–12,41 |
–14,21 |
–1,1321 |
5,7 |
1,533 |
1,2 |
–19 |
0,86 |
2,333 |
19,067 |
–7,2 |
8,85 |
5,8 |
9,933 |
Вариант 2
a1 |
b1 |
c1 |
a2 |
b2 |
c2 |
a3 |
b3 |
–16,667 |
1,2 |
19,67 |
–3,1 |
–11,07 |
–17,867 |
7,4 |
–10,61 |
18,8 |
0,704 |
6,67 |
13,533 |
–2,333 |
19,9 |
0,533 |
17,61 |
13,933 |
–1,69 |
–6,2234 |
12,6 |
–15,867 |
0,16 |
9,06 |
7,323 |
–1 |
–1,6131 |
12,422 |
14,867 |
18,3 |
13,2 |
–17,22 |
19,1 |
Вариант 3
a1 |
b1 |
c1 |
a2 |
b2 |
c2 |
a3 |
b3 |
5,82 |
–1,8 |
19,467 |
18,3 |
–20 |
–12,933 |
13,9 |
–16,13 |
19,33 |
1,727 |
15,4 |
5,6 |
12,067 |
0,533 |
10,26 |
–10,86 |
15,223 |
–0,15 |
16 |
–6,867 |
–5,6 |
–6,92 |
9,6 |
19,9 |
–10,7 |
0,02 |
1,83 |
–0,533 |
–2,6123 |
–9,07 |
17,53 |
–1,5 |
Вариант 4
a1 |
b1 |
c1 |
a2 |
b2 |
c2 |
a3 |
b3 |
20 |
1,01 |
6,133 |
–4,3 |
–15,2 |
–6,333 |
8,2 |
–2,07 |
–9,87 |
1,853 |
10,333 |
19,26 |
–12,333 |
–0,067 |
19,9 |
14,46 |
24
a1 |
b1 |
c1 |
a2 |
b2 |
c2 |
a3 |
b3 |
–10,333 |
1,25 |
–8,133 |
1,733 |
16,467 |
–3,1 |
5,53 |
–7,9 |
3,6 |
0,2467 |
–14,2 |
0,5331 |
16,9 |
–0,671 |
9,93 |
–6,73 |
Вариант 5
a1 |
b1 |
c1 |
a2 |
b2 |
c2 |
a3 |
b3 |
19,467 |
0,3 |
–12,333 |
–13,4 |
1,67 |
–8 |
13,66 |
7,8 |
10,472 |
–0,31 |
7,267 |
–0,011 |
–7,867 |
–13,867 |
2,93 |
11 |
17,867 |
0,5 |
13,67 |
–10,4 |
–9,467 |
12,5 |
6,73 |
18,7 |
4,2 |
–1,1667 |
–18,733 |
–2,8 |
–15,3 |
2,671 |
–17,1 |
5,933 |
Вариант 6
a1 |
b1 |
c1 |
a2 |
b2 |
c2 |
a3 |
b3 |
–1,933 |
–0,4 |
17,27 |
13,1 |
12,53 |
–17,533 |
2,266 |
–1,42 |
–7,73 |
–0,7 |
8,267 |
6,6 |
–12,86 |
12,333 |
18,6 |
–1,4 |
–19,6 |
–0,75 |
16,467 |
–12,867 |
3,933 |
–7,7 |
18,7 |
5,7 |
18,5 |
–0,0667 |
–7,733 |
8,067 |
13,1 |
–5,53 |
–10,21 |
–2,6 |
Вариант 7
a1 |
b1 |
c1 |
a2 |
b2 |
c2 |
a3 |
b3 |
3,7332 |
0,01 |
–9,667 |
8,1 |
6,67 |
18 |
–1,93 |
5,27 |
–17 |
–1,04 |
–13,933 |
–19,73 |
6,33 |
2,4 |
1,067 |
–14,7 |
5,1 |
0,99 |
–18,267 |
–16,533 |
2,4 |
–16,2 |
–10,8 |
1,7 |
–6,4 |
1,3733 |
–10 |
3,867 |
18,9 |
12,87 |
–10,26 |
19 |
Вариант 8
a1 |
b1 |
c1 |
a2 |
b2 |
c2 |
a3 |
b3 |
–18,867 |
–0,1 |
4,6 |
–0,6 |
–6,2 |
–2,6 |
12 |
–13,6 |
–19 |
–1,187 |
–8,6 |
–8,2 |
12,4 |
1,467 |
3,2 |
1,33 |
–8,4 |
–0,67 |
–12,867 |
6,1 |
4,533 |
–4,5 |
–12,7 |
–8,4 |
5,9 |
–1,8467 |
–3,867 |
–8,4 |
–19,1 |
–17,53 |
16,1 |
–1,2 |
Вариант 9
a1 |
b1 |
c1 |
a2 |
b2 |
c2 |
a3 |
b3 |
6,467 |
–1 |
10,333 |
13,6 |
11,73 |
–5,067 |
–0,6 |
5,33 |
–9,6 |
1,787 |
–15,54 |
13,2667 |
10,33 |
7,133 |
5,5 |
–5,87 |
–1,333 |
1,23 |
16,4 |
18,6 |
14,467 |
–3,1 |
8,7 |
15,8 |
–16,7 |
–1,1867 |
–17,81 |
–16,8 |
–7,5 |
–11,13 |
1,93 |
–11,53 |
25