ФИАН Электрослабые / vysotskiy2

Л Е К Ц И Я12

Суперпространство,алгебра,супермультиплеты,лагранжианы.

Роль различных симметрий в физике элементарных частиц всегда была весьма велика.К примеру,изучаемая нами электрослабая теория основана на локальной SU (2)L ×U (1) симметрии; SU (3)-симметрия u-, d- и s-кварков играет важную роль в классификации адронов и т.д.Над этими симметриями стоит симметрия Пуанкаре,являющаяся следствием однородности и изотропности пространства-времени.При этом полная симметрия теории является прямым произведением внутренних симметрий и пространственной симметрии.В шестидесятых годах предпринимались интенсивные попытки построить теорию поля по-другому,с тем,чтобы пространственные симметрии диктовали полную симметрию теории.Для этого необходимо расширить группу Пуанкаре,включив в нее дополнительные генераторы нетривиальным образом.Эти генераторы,преобразуясь по несинглетным представлениям при сдвигах и вращениях пространства-времени,приведут к сохранению тензорных величин,отличных от полного импульса и момента импульса сталкивающихся частиц.Было доказано,что реализация описанной конструкции в4-мерном пространстве-времени требует сохранения индивидуальных импульсов участвующих в реакции частицÐт.е.отсутствия взаимодействия в системе(Коулмен,Мандула, 1967).СуперсимметрияÐединственный пример обхода теоремы Коулмена-Мандулы;группа Пуанкаре расширяется введением в нее спинорных генераторов.Первый пример был найден в1971году Гольфандом и Лихтманом:один майорановский спинор Qα, α = 1, 2, 3, 4.Такие теории позже получили название N = 1 суперсимметричных теорий.Для работы с майорановскими спинорами удобно перейти к такому представлению γ-матриц,в котором оператор Дирака pµγµ − m (pµ = i ∂∂xµ )является вещественным.Следуя Берестецкому,Лифшицу,Питаевскому для перехода

к майорановскому представлению воспользуемся унитарной матрицей U :

При этом γ-матрицы стандартного представления,даваемые формулой(4.1), станут чисто мнимыми:

Легко проверить,что в представлении Майорана операция зарядового со-

пряжения c ø эквивалентна комплексному сопряжению спинора( %

ψ = Ucψ Uc = = U UcU T = γ0% ).Майорановским спинором называется вещественный спинор,

удовлетворяющий уравнению Дирака в представлении Майорана.На нем реализуется неприводимое представление группы Лоренца.Дираковский биспинор состоит из двух майорановских спиноров.

Алгебра N = 1 суперсимметрии простейшим образом реализуется в суперпространстве,содержащем наряду с четырьмя бозонными координатами xµ майорановский спинор θ,т.е.четыре фермионные координаты.Преобразование суперсимметрии действует в этом пространстве следующим образом:

единицах массы: [ε] = [θ] = (m)−1/2.Коммутатор двух суперпреобразований сдвигает xµ на постоянный вектор

где мы воспользовались равенством εø1γµε2 = −εø2γµε1,справедливым для майорановских спиноров7.Для выполнения(12.4)спинорные генераторы должны удовлетворять следующим перестановочным соотношениям:

зависит от xµ).Таким образом,все перестановочные соотношения P , M и Q зафиксированы.Можно проверить,что тождества Якоби выполняются,то

7Легко убедиться,что для двух майорановских спиноров имеют место следующие ра-

есть алгебра N = 1 суперсимметрии непротиворечива.Расширенные суперсимметрии включают несколько фермионных генераторов: 2в случае N = 2, 4в случае N = 4 и так далее.

Следующая задачаÐпостроение представлений супералгебр.Начнем с массивной суперчастицы.В системе ее покоя pµ = (M, 0).От майорановского

В подходящей нормировке перестановочные соотношения(12.5)дадут(индексÒ BÓв дальнейшем опускаем)

стиц в квантовой теории поля.В качествеÒвакуумаÓвыбираем покоящуюся частицу с полным моментом J ,проекцией момента на третью ось J3 и массой

Неприводимое представление получается в результате действия операторов ÒрожденияÓи имеет следующий вид:

где (n1, n2) принимают значения(0,0), (0,1) (1,0)и(1,1).Его размерность равна 4(2J + 1) и по состояниям с определенным спином оно разлагается так:

Числа бозонных и фермионных степеней свободы совпадают. Рассмотрим два примера.Вакуумное состояниеÐвещественное поле со

спином0.Суперчастицу образует комплексная скалярная частица и вейлевская частица со спином1/2.Следующий случай:вакуумное состояние имеет спин1/2.Суперчастицу образуют две частицы со спином1/2,одна скалярная и одна векторная частицы.

Перейдем к безмассовым частицам.В системе координат,в которой им-

Выбирая в качествеÒвакуумаÓбезмасовую частицу с определенной спиральностью |Ω >= |J,λ> ,получим,что единственное состояние с ненулевой

Калибровочные бозоны входят в один супермультиплет с частицами со спином1/2 (калибрино).Бозоны Хиггса входят в один супермультиплет с хиггсино,также имеющими спин1/2.В результате эффекта Хиггса образуется массивное векторное поле,хиггсовский бозон со спином0и дираковская частица со спином1/2.В пределе ненарушенной суперсимметрии эти три частицы имеют одну и ту же массу.

Итак,существует нетривиальное расширение группы Пуанкаре спинорным генератором.Является ли описанная конструкция единственно возможной?Теорема Хаага,Лопушанского и Сониуса утверждает,что единственное возможное обобщение сводится к наличию нескольких суперзарядов Qi, i = 1, 2...N .Выделенными являются N = 4 теория(максимальная группа,

бозонов, 8 á 7 á 6/(1 á 2 á 3) = 56 спинорных частиц и70скаляров.Эти представления строятся с помощью обобщения алгебры(12.11).Антикоммутатор (12.5)при наличии нескольких генераторов Qi содержит в правой части δik ; возможно обобщение алгебры расширенной суперсимметрии за счет введения т.н.центральных зарядов.При этом мультиплетность представлений может уменьшаться.

С точки зрения обобщения обсуждаемой в этих лекциях Стандартной Модели N = 1 теория выделена.Дело в том,что имея два или больше генераторов суперсимметрии и начиная с левого фермиона,мы дойдем до правого фермиона,в то время как их свойства относительно электрослабой SU (2)L- симметрии различны:левые фермионы входят в дублеты,а правыеÐсинглеты.Поэтому если низкоэнергетическая суперсимметрия реализуется в природе,это будет N = 1 суперсимметрия.Мы в дальнейшем и ограничимся теориями с N = 1.

Построив представления N = 1 суперсимметрии,мы должны понять,как писать суперсимметричные лагранжианы.Простейшее представление объединяет скалярную и спинорную частицы.Перейдем от вещественной координаты xµ и майорановского спинора θ к вейлевскому спинору θ+ и комплексной координате zµ:

Простейший супермультиплет образует киральное суперполе S Ðлоренцев скаляр,зависящий от zµ и θ+: S(z,θ +).Разложим его в ряд Тейлора по θ+, учитывая,что произведение трех и более θ+ зануляется:

здесь A и F Ðкомплексные поля, ψ Ðмайорановский спинор.Замечание о размерностях: [A] = m, [ψ] = m3/2, [F ] = m2.Произведение и сумма киральных полейÐопять киральное поле.Используя(12.14),найдем,как компоненты

A, ψ и F преобразуются при суперпреобразованиях:

где мы использовали тождество Фирца(вывод см.в В.Б.Берестецкий,Е.М.

го суперполя меняется при суперпреобразовании на полную производную;

8Пользуясь тождеством Фирца,для майорановского спинора λ можно получить следую-

следовательно,она может использоваться в качества суперсимметричного лагранжиана

где к.с.означает комплексное сопряжение. (Соответствующее действие будет инвариантно.)Значок [ ]F означает F -компоненту суперполя;степени S выше

Справедливость этого равенства следует из правил интегрирования по

Запись через интеграл по θ позволяет представить действие как интеграл от лагранжиана по четным (χµ) и нечетным (θ) координатам суперпространства.

Распишем лагранжиан(12.18)через компоненты:

члены,описывающие взаимодействие.Часто используется понятие суперпотенциала,являющегося функцией киральных суперполей Si: w = w(Si). Лагранжиан тогда получается интегрированием суперпотенциала по пере-

Если в качестве аргументов w подставить скалярные компоненты Ai киральных суперполей,то коэффициенты перед произведениями скалярных и спинорных полей в(12.21)и(12.22)даются частными производными w по Ai.

Для того,чтобы суперсимметричным образом ввести кинетические члены, познакомимся с векторным супермультиплетом V Ðлоренцевым скаляром, зависящим от xµ и θ: V (x,θ ).Разложим его в ряд Тейлора по θ,учитывая,что максимальная не обращающаяся в ноль степень θ равна четырем( θ1θ2θ3θ4 .=

.= 0):

V (x,θ ) содержит два майорановских спинора ψ и χ (8фермионных степеней свободы вне массовой оболочки), 4вещественных скаляра A, F, G и D и векторное поле Vν Ð 8бозонных степеней свободы вне массовой оболочки. Сумма и произведение двух векторных суперполей дают векторное суперполе. D-компонента меняется при суперпреобразовании на полную производ-

Лагранжиан модели Весса-Зумино(простейшая суперсимметричная мо-

При суперпреобразовании LW −Z меняется на полную производную,что еще раз демонстрирует,что суперсимметрия является пространственной(а

Суперсимметрия значительно уменьшает количество свободных параметров в теории:массы бозонов и фермионов равны M ;имеется одна безразмерная константа связи λ.Размерная трехбозонная константа выражается через

λ и M .

Для построения реалистической модели кроме скаляров и спиноров нужны калибровочные векторные поля.Начнем с абелевой U (1)-симметрии.Кираль- ное суперполе Φ преобразуется с помощью кирального суперполя Λ:

Кинетическая энергия не инвариантна,

Для восстановления U (1)-инвариантности вводится векторное суперполе V и выражение для кинетической энергии кирального суперполя изменяется:

На первый взгляд описанная теория неперенормируема,так как разложение экспоненты содержит высокие степени полей.Однако не все содер-

Видно,что компоненты C,χ, M и N играют ту же роль,что и продольная часть векторного потенциала Aµ в электродинамике.В частности,их можно занулить калибровочным преобразованием.При этом еще останется обычное

Суперинвариантный член ξ(V )D = ξD может быть добавлен к лагранжиану U (1) калибровочного поля.В случае неабелевой симметрии поля берутся в присоединенном представлении: Vµ ≡ Vµata, λ ≡ λata, D ≡ Data.При этом

т.к. trtatb = 12 δab.Ясно,что в неабелевом случае взятие шпура уничтожает ξ-член.

Поле D не является динамическим,так как в лагранжиан не входят его производные;оно аналогично полю F .Подстановка в лагранжиан уравнения

приводит к дополнительному члену в потенциале скалярных компонент ки-

Мы изложили формализм,необходимый для понимания суперсимметричного обобщения Стандартной Модели,которое будет описано в следующей лекции.