76

21. 19 декабря 2012: Случай переменных коэффициентов (ошибка).

Где-то 2 года назад мой отец доктор физико-математических наук профессор МГТУ им. Баумана показал мне его статью в «Докладах Российской Академии наук» о том, как вычислять матрицу Коши в случае, когда система дифференциальных уравнений

имеет матрицу с переменными коэффициентами A A(x) .

До статьи моего отца это можно было делать так:

Из теории матриц [Гантмахер] известно свойство перемножаемости матричных

экспонент (матриц Коши):

K (xi x0 ) K (xi xi 1 ) K (xi 1 xi 2 ) ... K (x2 x1 ) K (x1 x0 ) .

В случае, когда система дифференциальных уравнений имеет матрицу с переменными коэффициентами A A(x) , решение задачи Коши предлагается искать при помощи свойства перемножаемости матриц Коши. То есть интервал интегрирования разбивается на малые участки и на малых участках матрицы Коши приближенно вычисляются по формуле для постоянной матрицы в экспоненте. А затем матрицы Коши,

вычисленные на малых участках, перемножаются:

K (xi x0 ) K (xi xi 1 ) K (xi 1 xi 2 ) ... K (x2 x1 ) K (x1 x0 ) ,

где матрицы Коши приближенно вычисляются по формуле:

K (xi 1 xi ) e A(xi) xi exp( A(xi ) xi ) , где xi xi 1 xi .

Новый материал (ошибка):

Когда я читал статью своего отца, то я не понял сложный вывод формулы. А сегодня утром мне вдруг (непонятно откуда) отчётливо пришла в голову мысль о том, как можно вывести формулу моего отца почти в одно действие.

K (xi x0 ) K (xi xi 1 ) K (xi 1 xi 2 ) ... K (x2 x1 ) K (x1 x0 )exp(xi xi 1 ) exp(xi 1 xi 2 ) ... exp(x2 x1 ) exp(x1 x0 )

exp( A(xi ) xi ) exp( A(xi 1 ) xi 1 ) ... exp( A(x2 ) x2 ) exp( A(x1 ) x1 )exp( A(xi ) xi A(xi 1 ) xi 1 ... A(x2 ) x2 A(x1 ) x1 ) пусть xi xi xi 1 xi 1 xi 1 xi 2 ... x1 const x

exp[( A(xi ) A(xi 1 ) ... A(x2 ) A(x1 )) x]

exp[(1/ i) ( A(xi ) A(xi 1 ) ... A(x2 ) A(x1 )) (xi x0 )] .

77

17 июля 2013: Исправление ошибок.

В журнале «Математическое моделирование» РАН мне сообщили, что оказывается широко известно, что для матриц А и В: exp(A+B) НЕ РАВНО exp(A)*exp(B).

1) Это означает, что ФОРМУЛА

K (xi x0 ) exp[(1/ i) ( A(xi ) A(xi 1 ) ... A(x2 ) A(x1 )) (xi x0 )]

НЕ ВЕРНА.

2) Также это означает, что следующая ФОРМУЛА ТОЖЕ НЕ ВЕРНА:

x j

Y (x j xi ) Y (x j xi ) K (x j xi ) K (xi t)F (t)dt xi

Но я даже сейчас не очень понимаю, зачем я переусложнял жизнь, когда, по-видимому,

можно для участка (x j xi ) пользоваться формулой из «Теории матриц» Гантмахера:

xi

19 июля 2013: Исправление исправленного.

Формула из пункта 2), приведенная только что, оказывается всё же ВЕРНА. Это я с перепугу подумал, что она тоже НЕ верна. ВЕРНА формула:

x j

Y (x j xi ) Y (x j xi ) K (x j xi ) K (xi t)F (t)dt xi

потому, что у Гантмахера в «Теории матриц» записано, что для матрицы А справедливо: exp( Ax) exp( Ax0 ) exp( A(x x0 )) .

Эта формула из Гантмахера верна по-видимому потому, что тут используется одна и та же матрица А, а не матрицы А и В.