лабы / лаба_1_2_цос_отчёт_19

Выполнил

Студент группы БРВ2201

_________________________

Проверила

Старший преподаватель

_________________________

Минаева О.Н.

Nbr Вариант: IV

– номер бригады (варианта).

2.2. Формирование основных характеристик ЛДС

В рамках лабораторной работы рассматривается ЛДС второго

порядка. Разностное уравнение такой системы имеет вид:

y(n) b0 x(n)+b1 x(n-1)+b2 x(n-2)-a1 y(n-1)-a2 y(n-2)

а её передаточная функция, с учётом исходных данных, имеет вид:

float,3

H(z)

b0+b1

z-1+b2 z-2

collect 0.58 z2 -0.611 z+0.928

a0+a1 z-1+a2 z-2

――→

z2 +0.878 z+0.664

2.3. Проверка устойчивости ЛДС

Система считается устойчивой, если модули её полюсов находятся

внутри единичной окружности. Полюса – это корни знаменателя

передаточной функции. Нули – корни числителя.

solve,z

Z0 b0+b1 z

-1

+b2 z

-2

float,3

0.527+1.15i

– нули;

――→

0.527-1.15i

solve,z

Zp a0+a1 z

-1

+a2 z

-2

float,3

-0.439+0.687i

– полюса;

――→

-0.439-0.687i

|Zp

|<1=1.000

– проверка устойчивости.

|

0,0|

Так как условие устойчивости выполнятся, то ЛДС устойчива.

График нуль-полюсной диаграммы представлен ниже, на рисунке 2.3.1.

1.250

1.000

0.750

0.500

0.250

0.000

Im Z0

-0.500 -0.400 -0.300 -0.200 -0.100 0.000

0.100 0.200 0.300

0.400 0.500 0.600

-0.250

-0.500

0,0

-0.750

-1.000

Im Z0

-1.250

Re Z

1,0

Im Zp

00,0

Re Z

0,0

Im Zp

01,0

Re Zp

1,0

0

,0

Re Zp

1

,0

Рисунок 3.2.1 – Нуль-полюсная диаграмма.

2.4. Вычисление импульсной характеристики по разностному

уравнению

Импульсная характеристика – это реакция ЛДС на цифровой

единичный импульс при нулевых н.у.

x(n) ‖if n 0||

– система уравнений, описывающая исходное

‖

‖

||

воздействие;

‖

‖1

||

‖else

||

‖

‖

||

‖

‖0

||

n [0 1 2 3 4 5 6 7 8 9]

– номера отсчётов воздействия и реакции;

i 3,4 9

– диапазон одинаково рассчитываемых отсчётов;

himp

0

– служебная переменная.

9

Формулы для вычисления первого, второго и третьего отсчётов

импульсной характеристики:

himp

b0

x n

+b1 0+b2 0-a1 0-a2 0=0.580

0

0,0

himp

b0

x n

+b1

x n

+b2

0-a1

himp

-a2 0=-1.120

1

0,1

0,1-1

1-1

himp

b0

x n

+b1

x n

+b2

x n

=1.526

2

0,2

0,2-1

0,2-2

-a1 himp

2-1

-a2 himp

2-2

Формула для расчёта отсчётов ИХ с четвёртого по десятый:

himp

b0 x n

+b1 x n

+b2 x n

-a1

himp

i

-a2

himp

i-2

i

0,i

0,i-1

0,i-2

-1

0.580

-1.120

1.526

-0.596

h

imp

=

-0.490

– итоговая матрица значений отсчётов импульсной

0.826

характеристики.

-0.400

-0.198

0.439

-0.254

2.5. Вычисление импульсной характеристики по общей формуле с

учётом нулевых начальных условий.

Для вычисления значения отсчётов импульсной характеристики

сначала необходимо вычислить модуль и аргумент первого полюса

передаточной функции.

r |Zp

|=0.815

– значение модуля полюса;

|

0,0|

ϕ arg Zp

=2.139

– значение аргумента полюса;

0,0

m 0,1 N1-1

– диапазон индексов отсчётов ИХ.

Тогда вычисление значений отсчётов импульсной характеристики

можно описать следующей системой уравнений:

h(n) ‖if n 0

||

‖

‖

r

n

sin((n+1) ϕ)

|

|

‖

‖b0

sin(ϕ)

|

|

‖

‖

|

|

‖else if n 1

|

|

‖

‖

rn sin((n+1) ϕ) +b1

rn-1 sin(n ϕ)

|

|

‖

‖b0

|

|

‖

‖

sin(ϕ)

sin(ϕ)

|

|

‖

|

|

‖else if n≥2

|

|

‖

‖

rn sin((n+1) ϕ) +b

rn-1 sin(n ϕ)

+b

rn-2

|

|

‖b

‖

‖

0

sin(ϕ)

1

sin(ϕ)

2

|

|

‖

sin((n-1) ϕ)

|

|

‖

‖

‖

sin(ϕ)

|

|

‖

|

‖

‖

|

|

Итоговые значения отсчётов импульсной характеристики, рассчитанной

по общей формуле и по разностному уравнению представлены ниже.

0.580

0.580

-1.120

-1.120

1.526

1.526

-0.595

-0.596

h(m)=

-0.492

– по ОФ;

h

imp

=

-0.490

– по РУ.

0.827

0.826

-0.400

-0.400

-0.199

-0.198

0.440

0.439

-0.254

-0.254

2.6. Вычисление реакции ЛДС по формуле свёртки

В качестве воздействия при расчёте реакции ЛДС используется

прямоугольный импульс, длиной четыре отсчёта. Он описывается

следующей системой уравнений:

x(n) ‖if 0≤n≤N2-1||

‖

‖

||

‖

|

|

‖1

‖else

|

|

‖

‖

|

|

‖

‖0

||

Отдельно вычисляются следующие величины:

Ny N1+N2-1=13.000– общая длина выходного сигнала ЛДС;

n 0,1 Ny-1

– диапазон индексов отсчётов реакции ЛДС;

i 10,11 12

– диапазон индексов недостающих отсчётов ИХ;

himp 0

– значение недостающих отсчётов ИХ.

i

Формула, описывающая реакцию ЛДС, вычисляемую по формуле

свёртки, представлена ниже:

Ny -1

y(n) ∑ himp x(n-k)

k=0

k

0.580

-0.540

0.986

0.390

-0.680

1.266

y(n)=

-0.660

– матрица значений отсчётов реакции ЛДС.

-0.262

0.668

-0.412

-0.013

0.185

-0.254

2.7. Вычисление реакции ЛДС по разностному уравнению

Вычисления производятся сходным с вычислениями импульсной

характеристики в пункте 2.4. образом. В качестве воздействия

используется аналогичный пункту 2.6. импульс.

x(n) ‖if 0≤n≤N2

-1||

‖

‖

||

‖

||

‖1

‖else

||

‖

‖

||

‖

‖0

||

n [0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12]

– номера отсчётов воздействия и

реакции;

i 3,4 12

– диапазон одинаково рассчитываемых отсчётов;

ysub

n

0

– служебная переменная.

0 , Ny - 1

Формулы для вычисления первого, второго и третьего отсчётов реакции

ЛДС:

ysub

b0

x n

+b1 0+b2 0-a1 0-a2 0

0

0,0

ysub

b0

x n

+b1

x n

+b2

0-a1 ysub

-a2 0

1

0,1

0,1-1

1-1

ysub

b0

x n

+b1

x n

+b2

x n

-a1 ysub

2

-a2 ysub

2-2

2

0,2

0,2-1

0,2-2

-1

Формула для расчёта отсчётов реакции ЛДС с четвёртого по

тринадцатый:

ysub

b0 x n

+b1 x n

+b2 x n

-a1

ysub

-a2

ysub

i-2

i

0,i

0,i-1

0,i-2

i-1

0.580

-0.540

0.986

0.390

-0.680

1.266

ysub

=

-0.660

– итоговая матрица значений отсчётов реакции ЛДС.

-0.262

0.668

-0.412

-0.081

0.345

-0.249

p ω T

– операторная замена;

j -1

– мнимая единица;

bre(p) b0+b1 cos(p)+b2 cos(2 p)

– действительная часть числителя

ПФ;

bim(p) b1 sin(p)+b2 sin(2 p)

– мнимая часть числителя ПФ;

are(p) a0+a1 cos(p)+a2 cos(2 p)

– действительная часть

знаменателя ПФ;

aim(p) a1 sin(p)+a2 sin(2 p)

– мнимая часть знаменателя ПФ;

H(p)

b

re

(p)

+b

im

(p)

– формула для расчёта АЧХ;

2

2

ϕ(p) ‖

ϕ0←arg are(p)

+j aim(p)

|

– формула для расчёта ФЧХ.

‖

|

‖

-arg bre(p)+j bim(p) |

‖if ϕ0>π

|

|

‖

‖

-2

π

|

|

‖

‖returnϕ0

|

|

‖else if ϕ0<-π

|

|

‖

‖

returnϕ0

+2

π

|

|

‖

‖

|

|

‖

ω1 0 ω2 π÷2 ω3 π

ωmax arg Zp

– аргумент первого полюса;

0,0

ωmin arg Z0

– аргумент первого нуля;

0

,0

ω 0,0.01 π

– диапазон изменения круговой частоты для

построения графиков.

Итоговые матрицы значений ФЧХ и АЧХ в заданных точках

представлены ниже:

ω1

0.000

ω2

1.571

ωm

ω3 =

3.142

– матрица значений значений заданных точек;

ω

2.139

max

1.141

ωmin

H ω1

0.353

H ω2

0.748

H ω3

=

HАЧХ

2.695

– матрица значений АЧХ в заданных точка;

H ω

5.121

max

0.198

H ωmin

ϕ ω1

0.000

ϕ ω2

-2.989

ϕ ω3

0.000

– матрица значений ФЧХ в

ϕФЧХ

=

ϕ ωmax

1.710

заданных точках.

-1.708

ϕ ωmin

Графики частотной зависимости АЧХ и ФЧХ представлены ниже, на

рисунках 2.8.1 и 2.8.2 соответственно. При построении графика АЧХ,

все значения нормировались к значению АЧХ в точке ωmax.