2. Расчёт поперечных волновых чисел

Необходимо вывести выражения для поперечных волновых чисел , и рассчитать их значения. Это можно сделать с помощью двух уравнений: одно выводится из граничных условий, а второе – из уравнений Гельмгольца.

1. Граничные условия

Граничные условия проверяются на плоскости . То есть тангенсальные (касательные) составляющие векторов полей в первой среде должны быть равны касательным составляющим векторов полей во второй среде.

Тогда граничные условия будут иметь следующий вид:

После подстановки в (24) и (25) необходимых составляющих из (22) и (23) получится система из двух уравнений, из которой выводится поперечное волновое число во второй среде .

Полученная система уравнений:

Далее оба уравнения делятся на , а второе уравнение умножается на множитель (так как по условию ).

Из первого уравнения в (27) можно выразить коэффициент A и подставить его во второе уравнение системы (27).

Тогда во втором уравнении можно сократить на множитель обе части, а станет .

После математических преобразований второго уравнения в (29), получается первое уравнение для нахождения поперечных волновых чисел.

2. Уравнения гельмгольца

Уравнения Гельмгольца выглядят следующим образом (в качестве вектора поля используется вектор напряженности магнитного поля):

где – волновые числа в соответствующих средах,

– оператор Лапласа второй степени, который можно вычислить следующим образом:

В рамках задачи не зависит от игрека в обоих средах, так что частная производная по игреку будет равна нулю. Также вычисление оператора Лапласа, в рамках задачи, тождественно умножению на при вычислении частной производной по для первой среды, умножению на при вычислении частной производной по для второй среды и умножению на при вычислении частной производной по для обоих сред. Тогда составляющие в уравнениях сократятся и система уравнений Гельмгольца для обоих сред примет вид:

Из (34) можно найти выражения для и (35), а также второе уравнение для нахождения продольных волновых чисел (36):

3. Расчёт продольных волновых чисел

Итоговая система уравнений для расчёта продольных волновых чисел состоит из уравнения (30) их пункта 3.2.1 и уравнения (36) из пункта 3.2.2:

Для решения системы (37) оба уравнения домножаются на , а также первое уравнение системы подставляются соотношения из (35). Тогда система (37) примет вид:

где – формула для расчёта волнового числа в первой среде,

– формула для расчёта волнового числа во второй среде.

Тогда в (38) можно осуществить следующую замену:

и система (38) примет вид:

Благодаря такой замене и после подстановки всех известных величин, возможно графическое решение получившейся системы. График с решением представлен ниже, на рисунке 3.2.3.1. На нём выбирается первая точка пересечения функции (первого уравнения) с функцией (второе уравнение). Тогда поперечные волновые числа формульно и численно равны:

Рисунок 3.2.1 – Графическое решение системы уравнений (40)

3. Проверка обеспечения одноволнового режима

Необходимо проверить обеспечение одноволонового (одномодального) режима в световоде. Это можно сделать с помощью графического решения, полученного в пункте 3.2: если на графике больше одного пересечения – то условие обеспечения одноволнового режима не выполняется. Из рисунка 3.2.3.1 видно, что на графике два пересечения первого уравнения системы (40) со вторым, то есть условие одномодальности не выполняются.

Максимальную толщину световода , при которой будет выполнятся условие обеспечения одноволнового режима можно найти по формуле, выводимой из замены (39):

Из рисунка 3.2.3.1 видно, что максимальное значение , когда второй котангенс из первого уравнения системы (38) не существует равно , а минимальное, когда первый котангенс существует – Тогда, подставив значение в (43) можно рассчитать максимальную толщину световода, при которой выполняется условие обеспечения одномодальности.

И минимальную толщину световода , при которой будет выполняться условие обеспечения одноволнового режима:

4. РАСЧЁТ ПАРАМЕТРОВ ВОЛНЫ В СВЕТОВОДЕ

   1. РАСЧЁТ ПОПЕРЕЧНЫХ ВОЛНОВЫХ ЧИСЕЛ

Значение поперечного волнового числа в первой среде , как и значение волнового числа во второй среде , были найдены при решении системы уравнений (37) в пункте 3.2, они равны:

2. РАСЧТ ПОСТОЯННОЙ РАСПРАСТРАНЕНИЯ И ФАЗОВОЙ СКОРОСТИ

Постоянную распространения (коэффициент фазы волны) можно найти по следующим формулам, которые должны быть численно равны:

а фазовую скорость по формуле (49):

Численные значения коэффициента фазы волны и фазовой скорости волны равны:

3. РАСЧЁТ КОЭФФИЦИЕНТОВ A И B

Коэффициент вычисляется из соотношения для мощности волны низшего типа, проходящей через поперечное сечение единичной ширины оси Y второй среды:

где – зетовая составляющая вектора Поинтинга, которую можно найти по следующей формуле:

где – комплексно-сопряжённый вектор вектору напряжённости магнитного поля.

Так как в рамках задачи игрековая составляющая вектора напряжённости электрического поля и иксовая составляющая вектора напряжённости магнитного поля равны нулю, выражение для вычисления вектора Поинтинга примет вид:

Тогда выражение для мощности волны низшего типа примет вид:

После математических преобразований формула (56) примет вид:

В формуле (57) можно вычислить интеграл и выразить . Тогда выражение для будет иметь вид:

Численное значение равно:

Коэффициент можно найти путём подстановки найденных значений в первое уравнение системы (29):