лабы / лаба 6 / Задание 6к

Статистические характеристики распределения отклонения параметров элементов ГБИС

Значения параметров радиоэлементов ГБИС под действием всевоз-

можных факторов могут принимать определенные значения некоторой вероятностью , которую называют статистической вероятностью или частотой. Определяется в результате проведения многократных измерений и равняется = где

k - число появлений значений параметра радиоэлементов в некотором интервале значений параметра (число появления события);

n - общее число измерений, т.е. общее число проверенных радиоэлементов.

При небольшом числе исследуемых радиоэлементов частота в значительной мере носит случайный характер. Однако по мере увеличения числа опытов частота измерения теряет свой случайный характер, так как случайные обстоятельства, свойственные отдельному радиоэлементу, в массе взаимно гасятся, и частота приближается к средней, постоянной величине.

Напомним, что случайной величиной называется величина, которая в результате опыта может принять то или иное значение, причем неизвестно заранее - какое именно.

Дискретными случайными величинами называются такие, которые принимают только отделенные друг от друга значения и которые заранее можно перечислить.

Закон распределения случайной величины (в нашем случае параметров радиоэлементов) указывает, какой вероятностью обладает каждое из возможных значений параметра.

Простейшей формой задания закона распределения является таблица, в

которой перечислены возможные значения параметра радиоэлементов

и соответствующие им вероятности (см. табл.1).

Таблица 1

Такую таблицу называют рядом распределения случайной вероятности Х (значение параметра) при каждом измерении.

Для наглядного представления закона распределения используется многоугольник распределения, где по оси абсцисс откладывают возможные значения случайной величины , а по оси ординат вероятности этих значений (см. рис. 3). Для наглядности полученные точки соединяют отрезками прямых. Многоугольник распределения - есть одна из форм закона распределения.

Рисунок 3 – Многоугольник распределения

Ряд распределения и многоугольник распределения существуют только для дискретных случайных величин.

Для непрерывных случайных величин (и дискретных случайных величин) количественно распределение вероятностей оценивается универсальной характеристикой случайной величины - интегральной функцией распределения F(х).

( ) = ( < ) - вероятность события X<x , где x - текущая переменная;

F(X) - характеризует вероятность того, что случайная величина не превышает порог x.

Интегральная функция распределения любой прерывной случайной величины всегда есть разрывная ступенчатая функция, скачки которой

происходят в точках, соответствующих возможным значениям случайной величины и равны вероятностям этих значений. Сумма всех скачков (всех вероятностей) функции равна единице (см. рис. 4).

Рисунок 4 – Интегральная функция распределения

Непрерывные величины еще характеризуются плотностью распределения ω(x) (графически - кривой распределения, см. рис. 2).

ω(x) - есть производная функция распределения, т.е. ( ) = ′( ).

Каждый закон распределения представляет собой некоторую функцию и указание этой функции полностью описывает случайную величину с вероятностной точки зрения;

( ) - характеризует как бы плотность, с которой распределяются значения случайной величины в данной точке;

( )- плотность распределения (иначе плотность вероятности) иногда называют дифференциальной функцией распределения или дифференциальным законом распределения. Кривая, изображающая плотность распределения случайной величины, называется кривой распределения (рис. 2).

Определение законов распределения параметров радиоэлементов на основе результатов их измерений

Последовательность операций определения закона распределения

следующая:

1. Производятся независимые измерения параметров радиоэлементов.

Совокупность результатов измерений представляет первичный статистический материал называемый "простым статистическим рядом", который оформляется в виде таблицы, где в первом столбце ставится номер измерения i (т.е. номер радиоэлемента), а во втором -

измеренное значение параметра радиоэлемента , которое есть случайная величина (см. табл. 2).

Таблица 2

2.На основании "простого статистического ряда" строится статистическая функция распределения результатов измерений параметров ( ) = ( < ) т.е. частота события X<x.

Для нахождения F*(х) нужно подсчитать число измерений k, в

которых параметры радиоэлементов оказались меньше, чем некоторое значение x, и разделить на общее число произведенных измерений n.

Выбирая ряд значений x, можно построить статистическую функцию распределения (см. рис. 4). Однако, при большом числе радиоэлементов n построение F*(x) трудоемко. Кроме того, иногда удобно для наглядности пользоваться статистической характеристикой аналогичной плотности распределения ω(x).

3.Для большей компактности на основании "простого статистического ряда" строится "статистический ряд". Для этого весь диапазон измеренных значений параметра делится на несколько интервалов или "разрядов" 1 − 2; 2 − 3; 3 − 4 И т.д. Затем подсчитывается количество измерений , попадающих в каждый интервал. Разделив

на n, найдем частоту , соответствующую данному интервалу j,

=

Сумма частот всех интервалов равна единице. Построим таблицу, в

которой укажем интервалы Υ и соответствующие им частоты . Эта таблица и есть статистический ряд (см. табл. 3), где − +1 – есть граница интервала, l – число интервалов.

Значения измерений случайных величин, находящихся точно на границах двух интервалов, условно считают принадлежащими обоим интервалам. Поэтому при суммировании количества измеренных значений параметров, попавших в указанные интервалы, прибавляют по 1/2 для обоих интервалов.

Число интервалов, на которые разбивается область возможных значений параметра, выбирается, во-первых, из условия обеспечения достаточной выразительности ряда распределения с закономерными колебаниями частоты в нем. При слишком большом числе интервалов колебания в распределении становятся незакономерными. При малом числе интервалов свойства распределения описываются статистическим рядом слишком грубо. Обычно число интервалов равняется 8-12. Чаще длины интервалов выбирают одинаковыми. При очень неравномерном распределении результатов измерений в области наибольшей плотности интервалы выбирают более узкими, чем в области малой плотности.

4. Статистический ряд можно представить графически в виде гистограммы. Гистограмма строится следующим образом.

По оси абсцисс откладываются интервалы. На каждой интервале строится прямоугольник, площадь которого равна частоте данного интервала. Высота прямоугольника определяется как частота интервала, разделенная на его длину. При равных интервалах

высота прямоугольников пропорциональна частоте. Полная

площадь гистограммы равна единице.

На рис. 5 представлен возможный вид гистограммы.

5. По статистическому ряду можно построить приближенную статистическую функцию распределения результатов измерения параметров.

В качестве точек статистической функции распределения можно взять границы 1, 2, … интервалов статистического ряда.

Рисунок 5 - Гистограмма

Тогда ( 1) = 0; ( 2) = 1; ( 3) = 1 + 2 ; …

( ) = ∑ ; ( +1) = ∑ = 1

Соединяя полученные точки плавной кривой, получим приближенный график статистической функции распределения (см. рис. 6)

Рисунок 6 - Приближенная статистическая функция распределения

Числовые характеристики статистического распределения разбросов параметра

Каждой числовой характеристике случайной величины соответствует ее статистическая аналогия. Аналогией математического ожидания случайной величины является среднее арифметическое измеренных значений

где - значение случайной величины, т.е. значение измеренного параметра i-го радиоэлемента; n - общее число радиоэлементов.

Иначе | | называют статистическим средним.

При неограниченном увеличении радиоэлементов статистическое среднее приближается к математическому ожиданию. При достаточно большом n статистическое среднее может быть принято приближенно равным математическому ожиданию.

При ограниченном числе радиоэлементов статистическое среднее является случайной величиной, но дает представление о математическом ожидании.

Статистическая дисперсия случайной величины X равна

∑ ( − )2| | = =1

При большом количестве измеряемых радиоэлементов непосредственный подсчет | | и | | становится чрезмерно громоздким и их можно определить из статистического ряда или гистограммы. Для этого считают значение случайной величины в каждом интервале постоянным и равным среднему значению интервала.

Тогда статистические числовые характеристики выражаются приближенными формулами:

| | = ∑

=1

| | = ∑( − )2

=1

где – среднее значение j-го интервала;

- частота j-го интервала; l - количество интервалов.

На практике из-за ограниченности числа измерений любому статистическому распределению свойственны черты случайности. Поэтому необходимо выровнять статистический ряд, т.е. подобрать теоретическую плавную кривую распределения, наилучшим образом описывающую данное статистическое распределение. Теоретическая кривая должна выражать лишь существенные черты статистического материала, но не случайности,

связанные с недостатком экспериментальных данных (см. рис. 7).

Рисунок 7 - Выравнивание статистического распределения

Доверительный интервал, доверительная вероятность

Поскольку при ограниченном числе измеряемых радиоэлементов m* и

D* содержат элемент случайности, то необходимо оценить точность полученного результата и его надежность. Приближенное, случайное значение мы будем называть оценкой параметра закона распределения (где параметром является m* и D*).

Пусть для m из результатов измерения получена несмещенная оценка m*, т.е. не имеющая систематической ошибки в сторону завышения или занижения. Назначим некоторую достаточно большую вероятность β

(например, β = 0,95) такую, что событие с вероятностью β можно считать практически достоверным, и найдем такое значение ε, для которого

(| − | < ) =

Тогда диапазон практически возможных значений ошибки при замене m на m* будет ± ε. Ошибки по абсолютной величине большие, чем ± ε будут появляться только с малой вероятностью α = 1 - β.

Если = ( − < < + ), то с вероятностью β неизвестное значение m попадает в интервал Υ ( − ; + ),

β – есть доверительная вероятность,

Υ – есть доверительный интервал.

Границы интервала Υ 1 = − и 2 = + называются доверительными границами (см. рис.8).

Рисунок 8 – Доверительный интервал

Рассмотрим вопрос о нахождении доверительных границ. Если известен закон распределения , то задача нахождения доверительного интервала заключается в нахождении ε, для которого (| − | < ) = .

Рассмотрим задачу о доверительном интервале для математического ожидания.

Пусть произведено n независимых измерений параметров однотипных элементов ГБИС, имеющих один и тот же номиналу найдены m* и D*, а m и D - неизвестны.

Требуется построить доверительный интервал Υ , соответствующий доверительной вероятности β для m.

I.Если m* распределена по нормальному закону, то для определения величины , для которой (| − | < ) = , можно использовать функцию Лапласа и записать

(| − | < ) = Φ( √2), где

= √ - среднее квадратическое отклонение m*.

Из Φ ( ) = значение

√2

= √2 Φ−1( ),

где Φ−1( ) - функция, обратная функции Лапласа, т.е. такое значение

аргумента, для которого функция Лапласа равна β. Таким образом,

приближенно решена задача построения доверительного интервала, который

равен Υ = ( − ; + ).

Для избегания при вычислении обратного интерполирования в таблицах функции Лапласа нужно пользоваться табл. 4, в которой приведены

значения величины = √2 Φ−1( ) в зависимости от β, т.е. заданной вероятности.

Величина определяет для нормального закона число среднеквадратических отклонений, которые нужно отложить вправо и влево от центра, чтобы вероятность попадания в полученный участок была равна β.

II.Если закон распределения неизвестен, то для определения доверительного интервала Υ необходимо использовать распределение Стьюдента, которое дает более широкий доверительный интервал по сравнению с нормальным распределением.

Для критерия Стьюдента