Единственность интерполяционного полинома

Запишем условие интерполяции (2.1) для полинома m-той степени.

Неизвестными в этой системе уравнений являются коэффициенты полинома a_{0 ,} a_{1, …} a_m. Эти коэффициенты входят в системы уравнений линейно. Получается, что это система линейных уравнений. О таких системах известно следующее: если количество уравнений равно количеству неизвестных и определитель системы отличен от нуля, то система имеет единственной решение. Определитель этой системы имеет специальное название. Это определитель Вандермонда, значение которого отлично от нуля при различных В задаче интерполяции это условие формулируется так: все узлы разные.

Таким образом доказали, что

через n+1 узел интерполяции проходит единственный полином и степень его на единицу меньше, чем количество узлов и равна n.

Решая систему линейных уравнений, можно находить коэффициенты интерполяционного полинома. Однако это занятие неблагодарное из-за вычислительных сложностей решения системы линейных уравнений.

Существуют другие способы получения интерполяционного полинома.

Полином Лагранжа

Полином Лагранжа есть одно из возможных представлений интерполяционного полинома, то есть полинома n степени, проходящего через (n+1) узел интерполяции.

План построения интерполяционного полинома Лагранжа следующий:

Построить полином n-ной степени, который отвечает за один узел интерполяции, то есть такой что

(2.3)

Имея такой полином, собственно полином Лагранжа представляется как взвешенная сумма таких полиномов, каждый из которых отвечает за один узел интерполяции.

Начнем с функции (x) :

(x) = ( ) ( ) … ( ) …( )

Функция (x) есть полином, так как он построен как произведение n скобок, в каждую из которых входит x в первой степени. Значит при раскрытии скобок максимальная степень x равна n. В узлах интерполяции значение этой функции равно нулю – одна из скобок обнуляется. Однако при полином имеет некоторое значение не равное нулю, так как такого множителя в функции (x) нет (эта скобка зачеркнута). Нормируем его, то есть сделаем так, чтобы при значение полинома было равно единице. Для этого разделим (x) на число, составленное из произведения следующих скобок:

(2.4)

Итак, построили полином n-ной степени, обладающий свойствами (2.3).

И тогда интерполяционный полином Лагранжа имеет следующий вид

(2.5)

Здесь будут примеры полиномов с графической иллюстрацией. Рис. 2.2

Рис. 2.2

Рис.2.3

Оценка погрешности интерполяционного полинома

Если таблица узлов интерполяции представляет собой значения некоторой функции f( ) i=0, …n, то важно знать насколько интерполяционный полином отличается от функции f(x) в точках, не совпадающих с узлами интерполяции. Для этого следует посмотреть величину остаточного члена , а затем уже получить оценку погрешности интерполяционного полинома.

Для решения этой задачи на функцию накладываются дополнительные ограничения: в области таблицы из (n+1) узлов интерполяции функция имеет все производные до (n+1) порядка.

Введем вспомогательную функцию

, (2.6)

где = (x - ) (x - )… (x - ), а – постоянный коэффициент, который будет выбран ниже.

Функция u(x) имеет (n+1) корень в точках , так как по условию интерполяции и . подберем так, чтобы функция u(x) в области таблицы имела ещё один (n+2) корень в любой фиксированной точке этой области. А дальше, решая уравнение, получим остаточный член .

Запишем уравнение для фиксированной точки, другими словами, для (n+2)-го корня функции

Отсюда, так как

K = (2.7)

Запишем (n+1) производную функции u(x):

Учитывая, что = 0 и

*(n+1)!

Ну а теперь следует учесть, что при таком выборе множителя K функция u(x) имеет (n+2) корня. Получается, что первая производная ) в области таблицы имеет не менее (n+1) корня, вторая производная имеет не менее n корней. Продолжая такие рассуждения, получим, что (n+1) производная имеет хотя бы один корень, то есть существует точка ƺ, в которой . И тогда при x = ƺ получим

0 = *(n+1)!

Отсюда

K = (2.8)

Из (2.7) и (2.8) остаточный член выглядит следующим образом:

= (2.9)

Так как произвольно, то в (2.9) фиксированную точку можно заменить на x и тогда (2.9) превратиться в (2.10) а остаточный член выглядит так:

= = (2.10)

Обозначая и из (2.10) получим оценку погрешности интерполяционного полинома Лагранжа, которая справедлива и для узлов интерполяции

= | | , (2.11)

где = (x - ) (x - )… (x - ).