Добавил:

chrysler_a57_mltbnk Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский технический университет связи и информатики

Предмет:

Численные методы

Файл:

лабы / Лаба_чм_№3

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

13.05.2026

Размер:

473.52 Кб

Скачать

☆

1 / 21 2 > Следующая >>>

Министерство цифрового развития, связи и массовых коммуникаций

Российской Федерации

Ордена Трудового Красного Знамени федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования

Московский технический университет связи и информатики

___________________________________________________________________

Кафедра «Информатики»

Лабораторная работа №3 по дисциплине Численные методы «Аппроксимация функций. Метод наименьших квадратов»

Выполнил
Студент группы БИК2205	_________________________
Проверил
Старший преподаватель	_________________________	Мацкевич А.Г.

Москва 2024

1. Индивидуальное задание

__V__

В качестве исходных данных выступают значения узлов функции и значения

функции в этих узлах.

Таблица исходных узлов:				Таблица перенумерованных узлов:
	i	xi	fi		i	xi	fi

4		-1.2	0.88	0		-1.2	0.88
6		-1.0	1.266	1		-1.0	1.266
8		-0.8	0.286	2		-0.8	0.286
10 -0.6 -1.06				3		-0.6	-1.06
12 -0.4 -1.406				4		-0.4 -1.406
14 -0.2 -0.386				5		-0.2 -0.386
2. Линейная аппроксимация							__V__

Линейная аппроксимация представляет собой полиноминальную

аппроксимацию с полиномом первой степени, то есть аппроксимирующая функция имеет вид прямой:

ϕ1 x a0+a1 x

По методу наименьших квадратов, в рамках задачи, необходимо вычислить

коэффициенты вышеописанной линейной функции. Вычисление производится с помощью системы нормальных уравнений.

2.1 Матрица Грамма

__V__

Для упрощения вычислений перед составлением системы нормальных

уравнений необходимо вычислить матрицу Грамма, значения в которой будут использоваться в дальнейшем для вычисления коэффициентов прямой. Сама матрица представлена ниже

i xi		yi	xiyi				xi2			Σ

										i
									2	5
0	-1.2	0.88	xi	0	yi	0	xi	0	2	∑xi	i
				0		0		0		i=0	i
										i
									2	5
1	-1.0	1.266	xi	1	yi	1	xi	1	2	∑yi	i
				1		1		1		i=0	i
										i
									2	5
2	-0.8	0.286	xi	2	yi	2	xi	2	2	∑xiyi		i
				2		2		2		i=0		i
										i=0
										i
									2	5
3	-0.6	-1.06	xi	3	yi	3	xi	3	2	∑xi2
				3		3		3		i=0	i
										i=0
4	-0.4 -1.406 xi			4	yi	4	xi	4	2
				4		4		4
5	-0.2 -0.386 xi			5	yi	5	xi	5	2
				5		5		5

Тогда числовые значения будут равны:

xiyiT = -1.056 -1.266 -0.229 0.636 0.562 0.077 xi2T = 1.44 1 0.64 0.36 0.16 0.04

ΣT = -4.2 -0.42 -1.275 3.64

2.2 Система нормальных уравнений

__V__

Система нормальных уравнений, в общем виде, для линейной аппроксимации

(полинома первой степени) будет выглядеть следующим образом:

		n		n
	a0 n+1 +a1 ∑xi ∑yi
		i=0		i=0
	n	n	2	n
a0 ∑xi+a1 ∑xi			2	∑xi yi
	i=0	i=0		i=0

Решение этой системы и есть коэффициенты a0 и a1 для линейной

аппроксимации.

В рамках задачи, нормальная система уравнений будет иметь вид:

a		i +1 +a			Σ Σ		solve,a0,a1
							float,5
A	0		5	1	0	1
							――――→ -1.6392 -2.2417
		a0	Σ +a1	Σ Σ		2
			0	3

Тогда исходная функция для линейно аппроксимации примет вид:

										ϕ1	x A +A x
													0,0	0,1
2.3 Результаты аппроксимации																					__V__
		Результаты исходной функции и значения функции аппроксимации в исходных
узлах представлены ниже:
			-1.2				0.88						1.051							-0.171
			-1				1.266						0.603							0.664
			-1				1.266						0.603							0.664
x		=	-0.8	y		=	0.286	ϕ		x	=		0.154	y		-ϕ		x	=	0.132
	i		-0.6		i		-1.06		1	i			-0.294		i		1	i		-0.766
			-0.4				-1.406						-0.743							-0.663
			-0.4				-1.406						-0.743							-0.663
		-0.2				-0.386						-1.191								0.805
2.4 Расчёт среднеквадратичного отклонения																					__V__

Для оценки погрешности используется величина, называемая

среднеквадратичным отклонением (СКО). В общем виде, её можно найти по следующей формуле (k – степень многочлена):

2 ∑ ϕk xi -yi 2

ρk	i=0
	n+1

В рамках задачи СКО будет равна:

						i
						5
					2	∑ 1	j
			2	ρ1		j=0	j	=0.60017858
1 ϕ1	xi	-yi		ρ1		i +1		=0.60017858

3. Полиномы МНК различных степеней	__V__
3.1 Полином МНК первой степени	__V__

Полином МНК первой степени имеет вид:

ϕ1 x a0+a1 x

Вышеописанный полином был рассчитан в разделе 2.

3.2 Полином МНК второй степени

__V__

Полином МНК второй степени имеет вид:

ϕ2 x a0+a1 x+a2 x2

Для нахождения его коэффициентов необходимо составить систему нормальных

уравнений и решить её.

Система нормальных уравнений для полинома МНК второй степени будет

иметь вид:

			n		n			n
	a0 n+1 +a1 ∑xi+a2 ∑xi2							∑yi
			i=0		i=0			i=0
	n		n	2	n	3		n
	a0 ∑xi+a1 ∑xi			2	+a2 ∑xi	3	∑xi yi
	i=0		i=0		i=0			i=0
	n		n		n			n
a0 ∑xi		2	+a1 ∑xi	3	+a2 ∑xi	4	∑xi		2 yi
	i=0		i=0		i=0			i=0

В рамках задачи, нормальная система будет иметь вид:

a0 i +1

+a1 ∑xi +a2 ∑xi

2 ∑yi

solve,a0,a1,a2

i=0

i i=0

float,5

a0 ∑xi

+a1 ∑xi

2 +a2 ∑xi

∑xi

―――――→ -0.6882 1

i=0

a0 ∑xi

2 +a1 ∑xi

3 +a2 ∑xi

4 ∑xi

2 yi

i=0

=-0.688

A =1.325

=2.547

0,0

0,1

0,2

Тогда многочлен МНК второй степени примет вид:

ϕ2 x A0,0+A0,1 x+A0,2 x2

А его среднеквадратичное отклонение будет равно:

						5
					2	∑ 2	j
			2	ρ2		j=0	j	=0.5437042
2 ϕ2	xi	-yi		ρ2		i +1		=0.5437042
						5
3.3 Полином МНК третьей степени								__V__

Полином МНК третьей степени имеет вид:

ϕ3 x a0+a1 x+a2 x2 +a3 x3

Для нахождения его коэффициентов необходимо составить систему нормальных

уравнений и решить её.

Система нормальных уравнений для полинома МНК третьей степени будет

иметь вид:

a0 n+1 +a1 ∑xi+a2 ∑xi2

+a3 ∑xi3

∑yi

i=0

a0 ∑xi+a1 ∑xi

+a2 ∑xi

+a3 ∑xi

∑xi

i=0

a0 ∑xi

+a1 ∑xi

+a2 ∑xi

+a3 ∑xi

∑xi

2 yi

i=0

a0 ∑xi

+a1 ∑xi

+a2 ∑xi

+a3 ∑xi

∑xi

3 yi

i=0

В рамках задачи, нормальная система будет иметь вид:

a0 i +1

+a1 ∑xi +a2 ∑xi

2 +a3 ∑xi

3 ∑yi

i=0

i i=0

solve,a0,a1,a2,

a0 ∑xii

+a1 ∑xii

2 +a2 ∑xii

+a3 ∑xii

∑xii yii

float,5

i=0

――――――

a0 ∑xi

2 +a1 ∑xi

3 +a2 ∑xi

4 +a3 ∑xi

5 ∑xi

2 yi

i=0

a0 ∑xi

+a1 ∑xi

4 +a2 ∑xi

+a3 ∑xi

∑xi

3 yi

i=0

A =3.455

=27.386

A =45.709

=20.553

0,0

0,1

0,2

0,3

Тогда многочлен МНК второй степени примет вид:

ϕ3 x A0,0+A0,1 x+A0,2 x2 +A0,3 x3

А его среднеквадратичное отклонение будет равно:

				5
				2 ∑ 3	j
		2	ρ3	j=0	j	=0.06022215
3 ϕ3	xi	-yi	ρ3	i +1		=0.06022215
				5
3.4 Полином МНК четвёртой степени						__V__

Полином МНК четвёртой степени имеет вид:

ϕ4 x a0+a1 x+a2 x2 +a3 x3 +a4 x4

Для нахождения его коэффициентов необходимо составить систему нормальных

уравнений и решить её.

Система нормальных уравнений для полинома МНК четвёртой степени будет

иметь вид:

a0 n+1 +a1 ∑xi+a2 ∑xi2 +a3 ∑xi3 +a4 ∑xi4 ∑yi

i=0

a0 ∑xi+a1 ∑xi

+a2 ∑xi

+a3 ∑xi

+a4 ∑xi

∑xi

i=0

a0 ∑xi

+a1 ∑xi

+a2 ∑xi

+a3 ∑xi

+a4 ∑xi

∑xi

i=0

∑xi

+a1 ∑xi

+a2 ∑xi

+a3 ∑xi

+a4 ∑xi

∑xi

i=0

∑xi

+a1 ∑xi

+a2 ∑xi

+a3 ∑xi

+a4 ∑xi

∑xi

i=0

В рамках задачи, нормальная система будет иметь вид:

a0 5+1 +a1 ∑xi +a2 ∑xi

2 +a3 ∑xi

+a4 ∑xi

∑yi

i=0

1 yii

a0 ∑xii

+a1 ∑xii

+a2 ∑xii

+a3 ∑xii

+a4 ∑xii

∑xii

solv

i=0

floa

2 yi

a0 ∑xi

+a1 ∑xi

+a2 ∑xi

+a3 ∑xi

+a4 ∑xi

∑xi

――

i=0

3 yi

∑xi

+a1 ∑xi

+a2 ∑xi

+a3 ∑xi

+a4 ∑xi

∑xi

i=0

4 yi

∑xi

+a1 ∑xi

+a2 ∑xi

+a3 ∑xi

+a4 ∑xi

∑xi

i=0

=2.504

A =19.197

A =23.68

=-2.561

=-8.255

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

Тогда многочлен МНК четвёртой степени примет вид:

ϕ4 x A0,0+A0,1 x+A0,2 x2 +A0,3 x3 +A0,4 x4

А его среднеквадратичное отклонение будет равно:

						5
					2	∑ 4	j
			2	ρ4		j=0	j	=0.03513052
4 ϕ4	xi	-yi		ρ4		i +1		=0.03513052
						5
3.5 Полином МНК пятой степени								__V__

Полином МНК пятой степени имеет вид:

ϕ5 x a0+a1 x+a2 x2 +a3 x3 +a4 x4 +a5 x5

Для нахождения его коэффициентов необходимо составить систему нормальных

уравнений и решить её.

Система нормальных уравнений для полинома МНК пятой степени будет иметь

вид:

a0 n+1 +a1 ∑xi+a2 ∑xi2 +a3 ∑xi3 +a4 ∑xi4 +a5 ∑xi5

∑yi

i=0

a0 ∑xi+a1 ∑xi

+a2 ∑xi

+a3 ∑xi

+a4 ∑xi

+a5 ∑xi

∑xi yi

i=0

a0 ∑xi

+a1 ∑xi

+a2 ∑xi

+a3 ∑xi

+a4 ∑xi

+a5 ∑xi

∑xi

i=0

∑xi

+a1 ∑xi

+a2 ∑xi

+a3 ∑xi

+a4 ∑xi

+a5 ∑xi

∑xi

i=0

∑xi

+a1 ∑xi

+a2 ∑xi

+a3 ∑xi

+a4 ∑xi

+a5 ∑xi

∑xi

i=0

+a2 ∑xi

+a3 ∑xi

+a4 ∑xi

+a5 ∑xi

a0 ∑xi

+a1 ∑xi

∑xi

i=0

					5					5						5					5					5					5
		a0 5+1 +a1 ∑xi +a2 ∑xi													2 +a3 ∑xi					3	+a4 ∑xi				4	+a5 ∑xi				5	∑y
					i=0 i					i=0				i		i=0				i	i=0				i	i=0				i	i=0
		5		1	5			2		5			3			5			4		5			5		5			6		5
	a0 ∑xi			1	+a1 ∑xi			2	+a2 ∑xi				3		+a3 ∑xi				4	+a4 ∑xi				5	+a5 ∑xi				6	∑xi
		i=0		i	i=0		i			i=0		i				i=0		i			i=0		i			i=0		i			i=0
		5		2	5			3		5			4			5			5		5			6		5			7		5
	a0 ∑xi			2	+a1 ∑xi			3	+a2 ∑xi				4		+a3 ∑xi				5	+a4 ∑xi				6	+a5 ∑xi				7	∑xi
A		i=0		i	i=0		i			i=0		i				i=0		i			i=0		i			i=0		i			i=0
		5		3	5			4		5			5			5			6		5			7		5			8		5
	a0	∑xi		3	+a1 ∑xi			4	+a2 ∑xi				5		+a3 ∑xi				6	+a4 ∑xi				7	+a5 ∑xi				8	∑xi
		i=0		i	i=0		i			i=0		i				i=0		i			i=0		i			i=0		i			i=0
		5		4	5			5		5			6			5			7		5			8		5			9		5
	a0	∑xi		4	+a1 ∑xi			5	+a2 ∑xi				6		+a3 ∑xi				7	+a4 ∑xi				8	+a5 ∑xi				9	∑xi
		i=0		i	i=0		i			i=0		i				i=0		i			i=0		i			i=0		i			i=0
		5			5					5						5					5					5					5
				5 +a1 ∑xi			6 +a2 ∑xi					7 +a3 ∑xi						8 +a4 ∑xi					9 +a5 ∑xi					10 ∑xi
	a0 ∑xi			5 +a1 ∑xi			6 +a2 ∑xi					7 +a3 ∑xi						8 +a4 ∑xi					9 +a5 ∑xi					10 ∑xi
		i=0	i		i=0	i				i=0	i					i=0	i				i=0	i				i=0	i				i=0
A	=0				A			=-7.312							A	=-74.265
	0,0				0,1											0,2
A	=-132.76				A			=-165.41							A	=-35.573
	0,4				0,3											0,5

Тогда многочлен МНК четвёртой степени примет вид:

ϕ5 x A0,0+A0,1 x+A0,2 x2 +A0,3 x3 +A0,4 x4 +A0,5 x5

А его среднеквадратичное отклонение будет равно:

					5
				2	∑ 5	j
		2	ρ5		j=0	j	=3.31804043	10	-3
5 ϕ5 xi	-yi		ρ5		i +1		=3.31804043	10
					5

1 / 21 2 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке лабы

#
13.05.2026108.26 Кб0Лаба_чм_№1.mcdx
#
13.05.2026473.42 Кб0Лаба_чм_№1.pdf
#
13.05.2026144.9 Кб0Лаба_чм_№2.mcdx
#
13.05.2026572.57 Кб0Лаба_чм_№2.pdf
#
13.05.2026155.27 Кб0Лаба_чм_№3.mcdx
#
13.05.2026473.52 Кб0Лаба_чм_№3.pdf
#
13.05.202675.85 Кб0Лаба_чм_№4.mcdx
#
13.05.2026397.28 Кб0Лаба_чм_№4.pdf
#
13.05.202685.23 Кб0Лаба_чм_№5.mcdx
#
13.05.2026412.23 Кб0Лаба_чм_№5.pdf
#
13.05.20267.9 Кб0Лаба_чм_№5_код.mcdx