Добавил:

chrysler_a57_mltbnk Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский технический университет связи и информатики

Предмет:

Численные методы

Файл:

Пособие_по_ЧМ_КФУ

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

13.05.2026

Размер:

2.56 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 128 9 10 11 12 > Следующая >>>

Расписав необходимые условия экстремума этой функции по переменным

ии сделав несложные преобразования, получим СЛАУ второго порядка вида:

( + 1) + ∑ = ∑ ,

	=0	=0

∑ + ∑ 2 = ∑ .

{=0

Решая эту систему любым известным методом, определим коэффициенты экспоненциальной функции и .

Пример 5.3. По заданной в табл. 5.6.1 системе точек методом наименьших квадратов построить аппроксимационную экспоненциальную функцию вида:

= .

Таблица 5.7.1

0	0,7	1,39	1,65	1,93	2,2	2,45	2,79

0,05	0,07	0,24	0,42	0,66	0,78	0,89	1,07

Для этого необходимо вычислить следующее суммы:

∑7		= 13,11, ∑7	2	= 27,5, ∑7		= −8,68, ∑7		= −6,8,
=0		=0		=0		=0

и решить СЛАУ второго порядка относительно неизвестных коэффициентов и :

8 + 13,11 = −8,68, {13,11 + 27,5 = −6,8.

Значения неизвестных коэффициентов равны: = 0,04, = 1,24. Тогда искомая экспоненциальная функция будет иметь вид:

= 0,04 1,24 .

График этой функции, а также экспериментальные данные в табл. 5.7.1 приведены на рис. 5.7.1.

Основной
				y=0.04exp(1.24x)
Основной
Основной
Основной
Основной
Основной
Основной
Основной
Основной
Основной	Основной	Основной	Основной	Основной	Основной	Основной	Основной

Рис. 5.7.1

ГЛАВА 6. ОСНОВНЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ИНТЕРПОЛИРОВАНИЯ

6.1. Численное дифференцирование

6.1.1. Постановка вопроса

При решении практических задач часто требуется найти производные указанных порядков от функции = ( ), заданной таблично, или, в силу сложности аналитического выражения функции = ( ), непосредственное ее дифференцирование затруднено. В этих случаях прибегают к приближенному дифференцированию.

Для этого на отрезке [ , ] функцию = ( ) заменяют интерполирующей функцией ( ) (чаще всего интерполирующим полиномом ( )), затем полагают ′( ) = ′( ) при ≤ ≤ . Аналогично поступают при нахождении производных высших порядков от функции = ( ).

Если для интерполирующей функции известна погрешность

( ) = ( ) − ( ),

то погрешность производной

( ) = ′( ) − ′( ) = ′( ),

т. е. погрешность производной интерполирующей функции равна производной от погрешности этой функции. То же справедливо для производных высших порядков.

Приближенное дифференцирование является менее точной операцией, чем интерполирование. Близость друг к другу ординат двух кривых = ( ) и = ( ) на отрезке [ , ] еще не гарантирует близости на этом отрезке их

производных	f x	и	F x	, т. е. малого расхождения угловых коэффициентов

касательных к рассматриваемым кривым при одинаковых значениях аргумента.

6.1.2. Формулы приближенного дифференцирования, основанные на первой интерполяционной формуле Ньютона

Пусть на отрезке [ , ] заданы равноотстоящие точки : = 0 + , = 0, , = − – и известны значения функции в этих точках = ( ), = 0, .

Требуется найти производные f x , f x ,... на отрезке [ , ] (заранее известно, что эти производные существуют).

Заменим функцию = ( ) интерполяционным полиномом Ньютона,

построенным для узлов , = 0, ,

воспользовавшись первой интерполяцион-

ной формулой Ньютона:

( ) = ( ) = + +

( − 1)

2 +

( − 1)( − 2)

3 +

( −1)( −2)( −3)

+ +

( −1)…( −( −1))

(6.1)

где =

− 0

Произведя перемножение биномов и приведя подобные, получим:

( ) = + +

2−

3−3 2+2

4−6 3+11 2−6 4

(6.2)

Так как

то

′( ) = 1 [

2 −1

+ 3 2−6 +2

+ 2 3−9 2+11 −3

4 + ]

(6.3)

Аналогично, так как

″( ) =

( ′( ))

то

″( ) =

[

+ ( − 1)

6 2−18 +11

+ ].

(6.4)

Таким образом можно вычислить производную любого порядка.

При нахождении производных ′( ), ″( ), . .. в фиксированной точке x

в качестве

0 следует брать ближайшее к

табличное значение аргумента.

Формулы (6.3) и (6.4) упрощаются, если нужно подсчитать производные

в узлах интерполяции. Полагая = 0,

q 0

, получаем:

′( ) =

[

−

2 +

−

4 + ],

(6.5)

″( ) =

[

−

3 +

4 + ].

(6.6)

Пусть ( ) – интерполяционный полином Ньютона, содержащий конеч-

ные разности

2 , . . . ,

( ) = ( )

− ( ), тогда ′

( ) =

′( ) − ′

( ). Но

( )

= +1

( −1)...( − )

( +1)(ξ). Тогда

если

( )

( +1)!

( +2), то

′ ( )

( + 1)!

× { ( +1)(ξ)

[ ( − 1). . . ( − )] + ( − 1). . . ( − )

( +1)(ξ)

}. (6.7)

Полагая

( +1)(ξ)

ограниченной и

учитывая, что

[ ( − 1). . . ( −

q 0

)]| = 0 = (−1)

!, получаем при = 0,

′

( )

= (−1)

( +1)(ξ) = (−1)

( +1)(ξ).

(6.8)

( +1)!

Так как ( +1)(ξ) сложно определить, то при малом шаге принято счи-

тать ( +1)(ξ) ≈

. Тогда (6.8) примет вид:

′

( )

= (−1)

+1 0

(−1)

+1 0

(6.9)

Аналогично находится ″

(

)

и т. д.

Формулы приближенного дифференцирования аналогичным образом можно получить, используя вторую интерполяционную формулу Ньютона.

6.1.3. Формулы численного дифференцирования для равноотстоящих точек, основанные на интерполяционной формуле Лагранжа

Пусть

даны

равноотстоящие

точки

, = 0, , такие,

что

= +

, = 0, ,

и известны значения функции в этих точках =

( ), = 0, .

Для данной системы узлов = ( )

построим интерполяционный полином

Лагранжа:

( )

= ∑

( − 0)...( − −1) ( − +1)...( − )

= ∑

Π +1( )

(

−

)...(

−

) (

−

)...(

−

)

( −

) Π′

(

)

−1

(6.10)

где Π

( ) = ( −

). . . ( − ). . . ( −

Для ( ) справедливо соотношение

( )

= .

Введем новую переменную =

− 0

, тогда

( ) = +1 ( − 1). . . ( − ) = +1 [ +1],

(6.11)

Π′

( ) =

( −

). . . ( −

) ( −

). . . ( − ) =

−1

= ( − 1). . .1 (−1). . . [−( − )] = (−1) − ! ( − ) ! (6.12)

Подставив (6.11), (6.12) в (6.10), получим:

= ∑ =0

(−1) −

[ +1]

( )

(6.13)

! ( − ) !

−

Заменив функцию

и учитывая, что ( ) =

y x	интерполяционным полиномом Лагранжа ( )

( )			1	( )
		=			, из соотношения (6.13) получим:

′( ) ≈ ′ ( ) =

∑=0

(−1) −

(

[ +1]

(6.14)

! ( − ) !

−

Аналогично можно найти ″( ) и т. д.

Для

оценки погрешности ( )

= ′( ) − ′( )

= ′

( )

воспользуемся

формулой погрешности интерполяционной формулы Лагранжа:

( ) = ( ) −

( ) =

( +1)(ξ)

( ),

( +1) !

где

–

промежуточное

значение

между x и

узлами

интерполяции

, . . . , .

Предположим, что ( ) ( +2), тогда

( ) = ′

( ) =

{ ( +1)(ξ) Π′

( ) + Π

( )

( +1)( )

(+1) !

(6.15)

Учитывая соотношение (6.12) и предполагая

( +1)(ξ)

ограниченной, из

соотношения (6.15) получим оценку погрешности в узлах интерполяции:

( ) = (−1)−

!( −) !

( +1)(ξ).

(6.16)

(+1) !

6.2. Численное интегрирование. Квадратурная формула Ньютона–Котеса

Если функция ( ) непрерывна на отрезке [ , ] и известна ее первообразная ( ), то определенный интеграл от этой функции в пределах от до может быть вычислен по формуле Ньютона–Лейбница:

∫	( ) = ( ) − ( )	(6.1)

где ′( ) = ( ). Однако во многих случаях ( ) не может быть найдена с помощью элементарных средств или является слишком сложной; вследствие этого вычисление определенного интеграла по формуле (6.1) может быть затруднено или быть практически невыполнимым. Поэтому важное значение приобретают численные методы вычисления определенных интегралов, использующие ряд значений подынтегральной функции в точках [ , ].

Определение 6.1.

Вычисление однократного интеграла называется механической квадратурой, двойного – механической кубатурой. Соответствующие формулы будем называть квадратурными и кубатурными.

Рассмотрим один из способов вычисления однократных интегралов.

Если воспользоваться, например, интерполяционным полиномом Лагранжа, то, заменяя функцию ( ) полиномом ( ), получим равенство

∫ ( ) = ∫	( ) + [ ],	(6.2)

где [ ] – ошибка этой интерполяционной формулы.

Пусть требуется вычислить интеграл ∫ , где = ( ), = ( ), =


	−	, разобьем отрезок [, ] на n
0, . Выбрав шаг =	−					равных частей с помо-
0, . Выбрав шаг =						равных частей с помо-


щью равноотстоящих точек			= ,	=	+ , = 1, − 1,		= . Заменим
	0			0

подынтегральную функцию интерполяционным полиномом Лагранжа ( ) =

∑

( ) и получим приближенную квадратурную формулу

∫

( ) =

∫

( ) =

∫

∑

( ) = ∑

(6.3)

Выведем явные выражения для коэффициентов

формулы (6.3). Много-

член Лагранжа ( )

= ∑

( ) имеет коэффициенты

( ) =

( −0)( −1)…( − −1)( − +1)…( − )

, = 0, .

( −0)( −1)…( − −1)( − +1)…( − )

Вводим обозначения =

−0

и [ +1] = ( − 1) … ( − ),

и с учетом

этих обозначений многочлен Лагранжа запишем в виде:

( ) =

∑

(−1) −

[ +1]

(6.4)

!( − )!

−

Заменяя в формуле (6.3) функцию ( ) полиномом ( ) в виде (6.4), по-

лучим:

∫ ∑

(−1) −

[ +1]

= ∑

!( − )!

−

(−1) −

[ +1]

где

= ∫

−

0 !( − )!

Так как =

−0

и =

, то, сделав замену переменных в определен-

ном интеграле, будем иметь:

(−1) −

∫

[ +1]

, = 0, .

!( − )!

−

Так как =

−

, то можно записать коэффициенты Котеса:

(−1) −

∫

[ +1]

, = 0, .

(6.5)

!( −1)!

0 −

Квадратурная формула при этом принимает вид:

∫

= ( − ) ∑

(6.6)

Формула (6.6) называется квадратурной формулой Ньютона–Котеса.

Рассмотрим частные случаи.

По формуле (6.5) при = 1 вычислим:

0 = − ∫01( − 1) = 12,1 = ∫01 = 12,

∫ 1 =		( 0 + 1).	(6.7)
	2
0

Полученная формула (6.7) называется формулой трапеций для приближенного вычисления определенного интеграла (рис. 6.2.1).

Рис. 6.2.1

По формуле (6.5) при = 2 вычислим коэффициенты Котеса:

=	1			1	∫2( − 1)( − 2) =								1	(	8	− 6 + 4) =	1	, = 0,
=					∫2( − 1)( − 2) =									(		− 6 + 4) =		, = 0,
0	2	2			0			4							3		6
	2	2			0			4							3		6
= −			1			1	∫2 ( − 2) =				2	, = 1;
= −							∫2 ( − 2) =					, = 1;
1		2			1		0	3
		2			1		0	3
=	1			1	∫2 ( − 1) =				1	, = 2.
=					∫2 ( − 1) =					, = 2.
2	2	2			0			6
	2	2			0			6
Так как 2 − 0 = 2 , то квадратурная формула для вычисления интегра-
ла примет вид
∫ 2 =							( 0	+ 4 1 + 2).									(6.8)
∫ 2 =							( 0	+ 4 1 + 2).									(6.8)
0					3

Формула (6.8) называется квадратурной формулой Симпсона. Геометрическая интерпретация формулы состоит в том, что происходит замена данной кривой = ( ) параболой = 2( ), проходящей через три точки: 0, 1, 2

(рис. 6.2.2).

Рис. 6.2.2

6.3. Приближенное вычисление несобственных интегралов

Определение 6.2.

Интеграл

∫	( )	(6.9)

называется собственным, если:

1)промежуток интегрирования конечен;

2)подынтегральная функция ( ) непрерывна на [ , ].

В противном случае интеграл (6.9) называется несобственным.

I. Рассмотрим приближенное вычисление несобственного интеграла

∫ ( )

(6.10)

с бесконечным промежутком интегрирования, где функция ( ) непрерывна при ≤ < .

Определение 6.3.

Интеграл (6.10) называется сходящимся (рис. 6.3.1), если существует конечный предел

lim ∫ ( )

→

и по определению полагают

∫	( ) = lim	∫	( ) .
	→
	→

(6.11)

(6.12)

Рис. 6.3.1

Если предел (6.11) не существует, то интеграл (6.10) называется расходящимся (рис. 6.3.2), и такой интеграл считается лишенным смысла. Поэтому, прежде чем приступить к вычислению несобственного интеграла, нужно предварительно убедиться, что этот интеграл сходится.

Рис. 6.3.2

Чтобы вычислить сходящийся несобственный интеграл (6.10) с заданной


точностью	, представим его в виде
точностью	, представим его в виде
∫ ( ) = ∫ ( ) +				∫ ( ) .	(6.13)

В силу сходимости интеграла число можно выбрать столь большим,
чтобы имело место неравенство
\|∫ ( ) \| <		ε	.		(6.14)
\|∫ ( ) \| <		2	.		(6.14)

Собственный интеграл ∫ ( ) можно вычислить по одной из квадра-

турных формул. Пусть – приближенное значение этого интеграла с точностью

до 2ε, т. е.

\|∫	( ) − \| <	ε	(6.15)
		2

Из формул (6.13)–(6.15) имеем

|∫ ( ) − | < ε,

т. е. поставленная задача будет решена.

II. Допустим теперь, что отрезок [ , ] конечен, а функция ( ) имеет конечное число точек разрыва на [ , ]. Эти точки назовем «особыми» и обозначим 1, 2, . .. Такими особыми точками могут быть или один из концов отрезка (рис. 6.3.3), или оба конца отрезка (рис. 6.3.4), либо одна или несколько точек внутри отрезка (рис. 6.3.5).

Рис. 6.3.3

Рис. 6.3.4

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 128 9 10 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Численные методы

#
13.05.202614.74 Кб0График выполнения лаб2024.docx
#
13.05.2026162.4 Кб0Лаб-практикум 2021(Мацкевич, Семенова).docx
#
13.05.20262.56 Mб0Пособие_по_ЧМ_КФУ.pdf
#
13.05.2026756.98 Кб0ЧМ Практикум 2021 (Семенова, Сосновиков).docx