Добавил:

chrysler_a57_mltbnk Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский технический университет связи и информатики

Предмет:

Численные методы

Файл:

Пособие_по_ЧМ_КФУ

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

13.05.2026

Размер:

2.56 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 126 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

Запишем систему (4.8) в сокращенном виде:

( +1)	= β		+ ∑ −1	α	( +1)	+ ∑	α ( )
			=1			=

Введем обозначения:

α = (α ) = + ,

где

	0	0 . . .	0	0		α
	α21	0 . . .	0			11
= (	α21	0 . . .	0	0	), = (	0
= (	. . . . . . . . .		0	0	), = (	. . .
	. . . . . . . . .		0	0		. . .
	α 1	α 2 . . .	α −10			0

, = 1, .

α12 . . .

α22 . . .

. . . . . .

0 . . .

(4.9)

0 α1

0 α2 .

. . . . . . ) 0 α

Тогда формулу (4.9) можем переписать в матричном виде:

( +1) = β + ( +1) + ( ),										(4.10)
где
	β1			( )					( +1)
	β1			1				1
	β2			( )					( +1)
β = (	β2	( )	=	2	,	( +1)	=	2		.
β = (	. . .),		=	. . .	,		=		. . .	.
	β			. . .					. . .
	β			( )					( +1)
				( )				( )

Теорема 4.4 (необходимые и достаточные условия сходимости метода Зейделя).

Для сходимости процесса Зейделя, заданного формулой (4.9), для приведенной системы линейных уравнений (4.4) при любом выборе свободного чле-

на	и начального вектора	(0)	необходимо и достаточно, чтобы все корни

λ1, λ2, . . . , λ уравнения det( − ( − )λ) = 0 были по модулю меньше единицы. Пример 4.1. Построить рабочие формулы метода простых итераций и ме-

тода Зейделя для численного решения СЛАУ вида:

8 − 5 + = 1; { + 6 − 2 = 7; (4.11) − − + 4 = 9.

Решение.

Заметим, что система (4.11) имеет точное решение = 1; = 2; = 3.

Из системы (4.11) видно, что модули диагональных коэффициентов в каждом уравнении отличны от нуля и больше суммы модулей всех остальных коэффициентов, не считая столбца свободных членов. Тогда разделим каждое уравнение системы (4.11) на соответствующий диагональный коэффициент, сформируем столбец = ( 1, . . . , ) в левой части, перенесем остальные слага-

емые в правую часть и получим рабочие формулы метода простых итераций вида:

x k 1

y k 1

z k 1

18 85 y k

76 16 x k

94 14 x k

18 z k ;

13 z k ;

14 y k , k 0,1, 2,...

Начальное приближение обычно выбирают равным столбцу свободных членов преобразованной системы ( (0), (0), (0)) = (18 , 76 , 49).

Рабочие формулы метода Зейделя запишутся так:

	x	k 1	1	5	y	k		1	z	k		;
	x		8	8	y			8	z			;


		k 1	7	1			k 1		1			k
		k 1	7	1	x		k 1		1		z	k	;
y			6	6	x				3		z		;
			6	6					3
z		k 1	9	1	x	k 1			1		y	k 1		, k 0,1,2,...
z					x						y			, k 0,1,2,...
			4	4					4
			4	4					4

4.3. Метод релаксации

Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений (4.1), в которой

≠ 0, = 1, .

Сделаем преобразования: для этого свободные члены перенесем в левую

часть и каждое i-е уравнение поделим на (−1) , = 1, . Таким образом, получим систему, удобную для релаксации:

x b

...

.......... .......... .......... .......... ..

(4.12)

где =	−	, ≠ , =	.

Введем понятие невязки для приближенного решения 0.

Пусть дана система = , тогда точное решение можно записать

в виде = 0 + τ, где

стему, получим


	1

...		– правка корня 0. Подставим = 0	+ τ в си-


	n

( 0 + τ) = , ( 0 + τ) = ,0 + τ = , 0 + τ = ,τ = − 0. τ = − 0.

Введем обозначение − 0 = δ. Тогда τ = δ. Выражение δ = − 0 называется невязкой для приближенного решения 0.

Пусть задано начальное приближение системы (4.12):

	(0) = ( (0), (0), . . . , (0)).
			1	2
	Подставим данное приближение в систему (4.12) и получим невязки
(0)
(0)	, = 1, :

		(0)			(0)					(0)
		(0)	=	−	(0)	+ ∑				(0)	,
	1		1	1			=2	1
							=2
		(0)			(0)					(0)
		(0)	=	−	(0)	+ ∑	=1			(0)	,			(4.13)
	2		2	2			=1	2						(4.13)
							≠2
	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
		(0)			(0)	−1			(0) .
		(0)	=	−	(0)	+ ∑			(0) .
						=1
						=1
	Если одной из неизвестных (0)									дать приращение				(0), то соответству-

ющая невязка (0) уменьшится на величину												(0)	, а все остальные невязки

(0)	, ≠ изменятся на величину									(0). Чтобы обратить очередную невязку

(1)	в нуль, нужно величине (0) дать приращение												(0)	= (0), следовательно,

(1)	= 0, а остальные невязки будут равны

	(1) = (0) +				(0), ≠ .

Метод релаксации (метод ослабления) заключается в том, что на каждом шаге обращают в нуль максимальную по модулю невязку путем изменения значения соответствующей компоненты приближения. Процесс заканчивается, когда все невязки последней преобразованной системы будут равны нулю с заданной точностью.

Пример 4.2. Решить систему методом релаксации, производя вычисления с двумя десятичными знаками.

		2x					2x		6,
10x					2
	1						3
	x	10x					2x		7,
						2
	1						3
	x	x		10x				8.
			2
	1						3

Решение.

Приведем систему (4.14) к виду, удобному для релаксации:

x 0, 2x				0, 2x 0, 6 0,
	1		2			3
	0,1x	x	0, 2x			0, 7 0,

	1	2			3
	0,1x	0,1x			x	0,8 0.

	1		2		3

(4.14)

(4.15)

В качестве начального приближения выбираем

1(0) = 2(0) = 3(0) = 0.

Находим соответствующие невязки:

1(0) = 0,60, 2(0) = 0,70, 3(0) = 0,80.

Выбираем максимальную невязку и полагаем (0)	= 0,80, тогда
3

3(1) = 0,

1(1) = 1(0) + 13 3(0) = 0,6 + 0,2 0,80 = 0,76,2(1) = 2(0) + 23 3(0) = 0,7 + 0,2 0,80 = 0,86.

Опять

выбираем

максимальную

невязку

полагаем

2(1) = 0,86, тогда

3(1) = 0,

1(1) = 1(0) + 13 3(0) = 0,6 + 0,2 0,80 = 0,76,2(1) = 2(0) + 23 3(0) = 0,7 + 0,2 0,80 = 0,86.

Далее 1(2) = 0, 93 и

1(3) = 0,

2(3) = 2(2) + 21 1(2) = 0 + 0,1 0,93 = 0,09,3(3) = 3(2) + 31 1(2) = 0,09 + 0,1 0,93 = 0,18.

3(3) = 0,18,

2(4)

1(5)

3(6)

2(7)

3(4) = 0,

1(4) = 1(3) + 13 3(3) = 0 + 0,2 0,18 = 0,04,2(4) = 2(3) + 23 3(3) = 0,09 + 0,2 0,18 = 0,13.

= 0,13,

2(5) = 0,

1(5) = 1(4) + 12 2(4) = 0,04 + 0,2 0,13 = 0.07,3(5) = 3(4) + 32 2(4) = 0 + 0,1 0,13 = 0,01.

= 0,07,

1(6) = 0,

2(6) = 0 + 0,1 0,07 = 0,01,3(6) = 0,1 + 0,1 0,07 = 0,02.

= 0,02,

3(7) = 0,

1(7) = 0 + 0,2 0,02 = 0,004 ≈ 0,00,2(7) = 0,01 + 0,2 0,02 = 0,01.

= 0,01,

2(8) = 0,

1(8) = 0 + 0,2 0,01 = 0,00,3(8) = 0 + 0,1 0,01 = 0,00.

Окончательно получим:
			= (0)		+	(2)	+	(5)	= 0 + 0,93 + 0,07 = 1,00,
	1			1		1		1
	= (0)	+		(1)	+	(4)	+	(7)	= 0 + 0,86 + 0,13 + 0,01 = 1,00,
2	2			2		2		2
	= (0)	+		(0)	+	(3)	+	(6)	= 0 + 0,80 + 0,18 + 0,02 = 1,00.
3	3			3		3		3

ГЛАВА 5. МЕТОДЫ ПРИБЛИЖЕНИЯ ФУНКЦИЙ

5.1. Постановка задачи аппроксимации и интерполяции функций

В вычислительной математике нередки случаи, когда одну функцию приходится заменять другой, более простой и удобной для дальнейшей работы. Такую задачу называют аппроксимацией функции.

Поводом для аппроксимации функции может послужить, в частности, табличный способ ее задания. Предположим, что в результате некоторого экс-

перимента для конечного набора значений

величины

из отрезка [ , ]

= 0 < 1 < 2 <. . . < =

получен набор значений , = 1, величины . Если допустить, что междуи существует функциональная зависимость = ( ), можно поставить вопрос о поиске аналитического представления функции ( ).

Повод для аппроксимации может возникнуть даже тогда, когда аналитическое выражение некоторой функции = ( ) имеется, однако оно оказывается малопригодным для решения поставленной задачи, потому что операция, которую требуется осуществить над этой функцией, трудновыполнима или невыполнима совсем. Например, вычисление значения трансцендентной функции «вручную». Действительно, чтобы вычислить ln3,3256, проще всего воспользоваться степенным разложением функции, т. е. заменить трансцендентную функцию степенным рядом. При этом получается приближенное значение функции.

Другая ситуация, когда может потребоваться аппроксимация аналитически заданной функции, – дифференцирование функции, вычисление определенных и неопределенных интегралов. Если аналитическое выражение функции достаточно сложное, то поставленная задача трудновыполнима, а иногда и невыполнима с помощью элементарных приемов. Например, интеграл

∫2	sin	существует, но по формуле Ньютона–Лейбница практически вычис-
∫2
1
1
лен быть не может, так как первообразная ∫			sin	не выражается в элемен-
лен быть не может, так как первообразная ∫				не выражается в элемен-

тарных функциях. Аппроксимация подынтегральной функции – один из возможных приемов.

Классический подход к численному решению подобных задач заключается в том, чтобы, опираясь на информацию о функции ( ), по некоторому алго-

ритму подобрать аппроксимирующую функцию ( ), в определенном смысле «близкую» к ( ).

Для оценки «близости» функций выбирают тот или иной критерий согласия. Эти критерии основаны на использовании той или иной метрики, т. е. способа введения расстояния между функциями, принадлежащими тому или иному классу: ρ( ( ), ( )). Например, для функций, ограниченных на отрезке [ , ], расстояние может быть введено следующим образом: ρ( ( ), ( )) =

max| ( ) − ( )|; для функций, непрерывных на отрезке [ , ], – по формуле

[ , ]

ρ( ( ), ( )) = ∫ | ( ) − ( )| .

Часто процедура аппроксимации связана с другим критерием согласия:

ρ( ( ), ( )) = min ∑	[ ( ) − ( )]2.
=0
=0
Применяемый на его основе способ аппроксимации получил название ме-
тода наименьших квадратов.
Для функций, заданных таблично, достаточно распространенным крите-
рием согласия является критерий Чебышева, который определяет расстояние

между аппроксимируемой и аппроксимирующей функциями как максимум величины отклонения между этими функциями в узлах сетки:

ρ( ( ), ( )) = max| ( ) − ( )|.

0≤ ≤

Если ρ( ( ), ( )) = 0, т. е. ( ) = ( ) = , то соответствующий способ аппроксимации называют интерполяцией, а процедуру вычисления значений ( ) с помощью ( ) в точках, не являющихся узлами сетки – интерполированием.

Задача интерполирования состоит в следующем.

На отрезке [ , ] заданы ( + 1) точки 0, 1, . . . , , которые называются узлами интерполяции, и значения некоторой функции ( ) в этих точках:

(	) =	, (	) =	, . . . , (	) = .	(5.1)
0	0	1	1
Необходимо построить функцию ( ) –						интерполирующую функцию,

принадлежащую некоторому классу и принимающую в узлах интерполяции за-

данные значения (5.1), т. е.
i	i	, i 0, n	.	(5.2)
F x	y	, i 0, n
Геометрически это означает, что нужно найти кривую				y F x опреде-

ленного типа, проходящую через заданные точки Mi xi , yi .

В такой общей постановке задача может иметь бесконечное множество решений или совсем их не иметь.

Сформулированная задача становится

вольной функции	F x	искать полином	P
			n

ряющего условиям (5.2), т. е.

однозначной, если вместо произ-

x	степени не выше , удовлетво-

( 0) = 0, ( 1) = 1, . . . , ( ) = .

Полученную интерполяционную функцию = ( ) используют для приближенного вычисления значений данной функции ( ) в точках, отличных от узлов интерполяции. Такая операция называется интерполированием функции.

Различают интерполирование в узком смысле, т. е. когда [ 0, ],

и экстраполирование, т. е. когда [		, ]. В дальнейшем под термином «ин-
	0
терполирование» будет пониматься как первая, так и вторая операции.
	5.2. Конечные разности. Обобщенная степень
Пусть задана функция = ( ). Обозначим через			= фиксированную
величину приращения аргумента (шаг). Тогда выражение
=	( ) = ( + ) − ( )		(5.3)

называется первой конечной разностью функции = ( ). Аналогично опре-

деляются конечные разности высших порядков =										( −1 ), = 2,3, . ..
	Например:
	2 = Δ(Δ ( )) = Δ( ( +						) − ( )) = [ ( + 2Δ ) − ( + )] −
				−[ ( + ) − ( )] = ( + 2Δ ) − 2 ( + ) + ( ).
										(5.4)
	Символ (дельта) можно рассматривать как оператор, ставящий в соот-
ветствие функции = ( ) функцию = ( + ) − ( ).
	Легко проверить основные свойства оператора									:
	1) ( + ) = + ;
	2)	(cU) = c(			U), c – const;
	3)				+	, где ,		+	(целые неотрицательные числа), при-
	3)		( ) =			, где ,			(целые неотрицательные числа), при-
чем	0 = .
	Из формулы (5.3) имеем:
						( + ) = ( ) + ( ).
	Отсюда, рассматривая как символический множитель, получим:
	( +			) = (1 + ) ( ).						(5.5)
	Из формулы (5.4):
	( + 2Δ ) = 2 ( ) + 2 ( + ) − ( ) = ( ) + 2Δ ( ) + 2 ( ) =
(1 +	)2 ( )									(5.6)
							57

и т. д. Окончательно получим:

( +

) = (1 +

) ( ).

(5.7)

В дальнейшем нам понадобится понятие обобщенной степени.

Определение.
Обобщенной -степенью числа			x	называется произведение			n	сомножи-
Обобщенной -степенью числа				называется произведение				сомножи-
телей, первый из которых равен	x	, а каждый следующий на			h	меньше преды-
телей, первый из которых равен		, а каждый следующий на			h	меньше преды-
дущего:
[ ] = ( − )( − 2 ). . . [ − ( − 1) ],							(5.8)

где − const. Полагают, что [0] = 1. При = 0 обобщенная степень совпадает с обычной: [ ] = .

Вычислим конечные разности для обобщенной степени, полагая

= . Для первой конечной разности имеем:

[ ] = ( + )[ ] − [ ] = ( + ) ( − ). . . [ − ( − 2) ] −

− ( − ). . . [ − ( − 1) ] =

=( − ). . . [ − ( − 2) ] {( + ) − [ − ( − 1) ]} =

=( − ). . . [ − ( − 2) ] = [ −1],

т. е.	[ ] = [ −1].	(5.9)
	Для второй конечной разности:
	2 [ ] = Δ(Δ [ ]) = Δ( [ −1]) = ( − 1) [ −2] = 2 ( − 1) [ −2],
т. е.	2 [ ] = 2 ( − 1) [ −2].	(5.10)
	Аналогично
	3 [ ] = 3 ( − 1)( − 2) [ −3]

и т. д.

Окончательно будем иметь:

k	n	h	n	n n 1 ... n k 1 x	n k	, k
x		h		n n 1 ... n k 1 x		, k
[ ] = 0,				если > .

1, n

(5.11)

(5.12)

5.3. Первая интерполяционная формула Ньютона

Пусть для функции = ( ) заданы значения			= ( ) для равноотсто-

ящих значений независимой переменной	=	+ , = 0, , где h – шаг ин-
	0
58

терполяции. Требуется подобрать полином ( ) степени не выше мающий в точках значения

, прини-

	( )
	( )	= , = 0, .														(5.13)

Условия (5.13) эквивалентны тому, что
( )						, =				.
( )				=		, =			0,	.						(5.14)
		0					0
Будем искать полином в виде
( ) =				0	+		( −	) +			( −		)( − )+. . . +			( − )( −
				0		1	0	2				0		1		0
). . . ( −			).													(5.15)
1	−1
Используя понятие обобщенной степени, запишем выражение (5.15) в виде:
( ) =				0	+		( −	)[1] +				( − )[2]		+. . . +	( − )[ ]. (5.16)
				0		1	0				2		0			0

Чтобы полином был определен, нужно найти коэффициенты , = 0, . Полагая = 0 в выражении (5.16), получим

	(	) =	=	.	(5.17)
	0	0	0

Чтобы найти коэффициент 1, составим первую конечную разность:

( ) = 1 + 2 2 ( − 0)[1]+. . . + ( − 0)[ −1].

Полагая = 0, получим:

( 0) = 0 = 1 ,

откуда
=		0		.									(5.18)
=				.									(5.18)
1

Для определения коэффициента 2										составим вторую конечную разность:
2 ( )	= 2! 2					2	+ 2 3 2	3	( −	)[1]+. . . + ( − 1) 2			( − )[ −2].
						2		3	0				0
Положив = 0, получим:
							2		( ) =	2 = 2! 2	2	,
									0	0	2
откуда
		2
2 =			0		.								(5.19)
2 =		2!	2		.								(5.19)
		2!
									59

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 126 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Численные методы

#
13.05.202614.74 Кб0График выполнения лаб2024.docx
#
13.05.2026162.4 Кб0Лаб-практикум 2021(Мацкевич, Семенова).docx
#
13.05.20262.56 Mб0Пособие_по_ЧМ_КФУ.pdf
#
13.05.2026756.98 Кб0ЧМ Практикум 2021 (Семенова, Сосновиков).docx