лабы / Дз_лаб_29_пример
.pdf
Пример выполнения домашнего задания к лабораторной работе №29
Формирование и детектирование частотно-модулированных сигналов.
1.Исходные данные (вариант 8)
C 2.5 10-9 F – ёмкость конденсатора частотного модулятора;
R0 3.4 103 Ω – начальное сопротивление частотного модулятора;
F 103 Hz – циклическая частота модулирующего сигнала;
Q2 4.6 |
– добротность второго колебательного контура |
|
детектора. |
Также в качестве исходных данных необходимо переснять вольт-омную характеристику (ВОМ) модулятора:
ER – таблица численных значений исходной вольт-омной
(V) |
|
характеристики. |
0.5 |
R0 |
|
1.0 |
2 R0 |
|
1.5 |
3 R0 |
|
2.0 |
4 R0 |
|
R (kΩ)
14 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.5 |
0.65 |
0.8 |
0.95 |
1.1 |
1.25 |
1.4 |
1.55 |
1.7 |
1.85 |
2 |
E (V)
Рисунок 1.1 – График вольт-омной характеристики модулятора
2.Расчёт статической модуляционной характеристики
2.1 Получение значений сопротивления
Для дальнейших расчётов удобно представить исходную ВОМ как линейную функцию с некоторыми параметрами:
R(E) a+b E |
– функция, описывающая исходную ВОМ. |
Чтобы найти коэффициенты a и b необходимо решить систему уравнений следующего вида:
R a0+a1 |
E |
solve,a0,a1 |
|
0.0 |
6800.0 Ω |
|||
coeff |
0 |
0 |
―――→ |
|||||
R a0+a1 |
E |
|
|
|
|
V |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
Тогда получим, что коэффициенты функции ВОМ равны:
a coeff |
=0 |
1 |
b coeff |
= 6.8 10 |
3 1 |
0,0 |
|
A |
0,1 |
|
A |
Итоговая функция, описывающая исходную ВОМ, будет иметь вид (с учётом размерностей коэффициентов):
R(E) b E
2.2Получение значений для построения СМХ:
Врамках лабораторной работы статическая модуляционная характеристика – это зависимость частоты от напряжения смещения. Она описывается следующей формулой, где каждому значению напряжения смещения соответствует значение частоты.
ω |
1 |
– формула, описывающая СМХ частотного модулятора. |
|
C R |
(E) |
Для построения СМХ необходимо выбрать границы диапазона напряжения смещения, а также шаг значений напряжения смещения, по которым будет построена СМХ. В рамках лабораторной работы, границы диапазона и количество точек будут равны:
lb 0.5 V |
rb 2.0 V – границы диапазона напряжения смещения; |
stp |lb|100+|rb| =0.025 V – шаг напряжения смещения.
Тогда итоговый диапазон напряжения смещения и итоговая формула |
|||||||||||
для построения СМХ примут вид: |
|
|
|
|
|
|
|
||||
E lb,lb+stp rb |
– |
итоговый диапазон напряжения смещения; |
|||||||||
ω(E) |
1 |
– итоговая формула для построения СМХ. |
|||||||||
|
C R(E) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Построение СХМ и снятие с неё необходимых параметров |
|||||||||||
График СМХ строится по описанным выше формулам. Он представлен |
|||||||||||
ниже на рисунке 3.1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
rad |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ω(E) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.19 10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.1 10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.01 10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9.2 10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8.3 10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7.4 10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6.5 10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5.6 10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.7 10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.8 10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.9 10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.5 |
0.65 |
0.8 |
0.95 |
1.1 |
1.25 |
1.4 |
1.55 |
1.7 |
1.85 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E (V) |
Рисунок 3.1 – График найденной СМХ модулятора |
|||||||||||
По графику необходимо определить границы рабочего участка: линейного участка с наибольшей крутизной. В рамках лабораторной работы, размах рабочего участка не должен превышать 0.7 Вольт.
Для удобства расчётов, границы рабочего участка были взяты следующим образом:
Eмин 0.5 V |
– левая граница рабочего участка; |
Eмакс Eмин+0.5 V=1 V – правая граница рабочего участка.
Далее необходимо найти напряжение смещения в рабочей точке. Оно вычисляется по следующей формуле:
Eрт Eмакс+Eмин =0.75 V
2
Также необходимо найти частоты границ рабочего участка и частоту в рабочей точке. Для этого значения найденных выше напряжений смещения подставляются в формулу СМХ (при этом, при минимальном напряжении смещения будет максимальная частота и наоборот):
ωмакс ω Eмин = 117.647 103 rad s
ωмин ω Eмакс = 58.824 103 rad s
ωртм ω Eрт = 78.431 103 rad s
–максимальная частота рабочего участка;
–минимальная частота рабочего участка;
–частота в рабочей точке.
Далее необходимо найти коэффициент частотной модуляции. Для этого необходимо найти девиацию частоты, а также перевести циклическую частоту модулирующего сигнала в круговую.
В рамках лабораторной работы девиация частоты рассчитывается по следующей формуле:
ωд ωмакс-ωртм= 39.216 10 |
3 rad |
– девиация частоты. |
|
s |
|
Перевод циклической частоты модулирующего сигнала в круговую осуществляется по следующей формуле:
Ωн 2 π F= 6.283 10 |
3 rad |
– круговая частота модулирующего |
|
s |
сигнала. |
Тогда коэффициент частотной модуляции будет равен:
mчм ωд =6.241 – частотный коэффициент модуляции.
Ωн
Необходимо рассчитать максимально допустимую амплитуду |
|||||||||||||
модулирующего сигнала. Это можно сделать по следующей формуле: |
|||||||||||||
|
|
|
bm |
|
Eмакс-Eмин |
=0.25 V |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для визуального представления, ниже, на рисунке 3.2, представлен график |
|||||||||||||
СМХ модулятора с обозначенным рабочим участком. |
|
|
|||||||||||
rad |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ω(E) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.176 1050.5 |
|
|
0.85 |
|
1.2 |
|
|
|
|
|
|
|
1.19 10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.1 10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.01 10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9.2 10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8.3 10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7.4 10 |
6.92 104 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6.5 10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5.6 10 |
4.902 104 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.7 10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.8 10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.9 10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.5 |
0.65 |
0.8 |
0.95 |
1.1 |
1.25 |
1.4 |
1.55 |
1.7 |
1.85 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E (V) |
Рисунок 3.2 – График СМХ модулятора с обозначенным рабочим участком |
|||||||||||||
4.Анализ ЧМ сигнала
Модулирующий сигнал имеет следующий вид:
U(t) cos Ωн t s V
Смодулирующей частотой Ωн, равной:
Ωн= 6.283 103 rad s
4.1 Временная диаграмма ЧМ сигнала |
|
|
|
ЧМ сигнал во временной области выражается описывается |
|
||
следующей формулой: |
|
|
|
Sчм(t) bm cos ωртм t+mчм sin Ωн t |
|
||
Временная диаграмма ЧМ сигнала в диапазоне t 0 s,10-6 |
s 10-3 s |
||
представлена ниже на рисунке 4.1.1. |
|
|
|
Sчм(t) (V) |
|
|
|
0.25 |
|
|
|
0.2 |
|
|
|
0.15 |
|
|
|
0.1 |
|
|
|
0.05 |
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
1 10 2 10 3 10 4 10 |
5 10 6 10 7 10 8 10 9 10 |
0.001 |
-0.05 |
|
|
|
-0.1 |
|
|
|
-0.15 |
|
|
|
-0.2 |
|
|
|
-0.25 |
|
|
|
|
t |
(s) |
|
Рисунок 4.1.1 – График временной диаграммы ЧМ сигнала |
|||
4.2 Частотная область
Так как коэффициент частотной модуляции много больше единицы, модуляция будет широкополосной. Тогда модулированный сигнал в частотной области будет выражаться через функции Бесселя.
Sшчм |
(t) bm J0 mчм cos ωртм t s |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
mчм +1 |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
∑ |
-1 |
cos |
ωртм-n Ωн |
Jn |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
t s |
|
n,mчм |
|
|||||||
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
mчм +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ ∑ |
cos ωртм+n Ωн t s Jn n,mчм |
|
|
||||||||||||
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где Jn n,mчм – это функция Бесселя первого рода n-ого порядка от аргумента mчм.
Ширина спектральной диаграммы будет определяться примерным соотношением Δω 2 ωд, так как при n>mчм+1, значения функции
Бесселя будут сравнительно малы, и их значениями можно пренебречь.
Спектр ШЧМ сигнала будет представлять собой ряд гармоник с амплитудами:
Cn(n) |bm Jn |n|,mчм | – амплитуда n-ой гармоники спектра ШЧМ сигнала;
На частотах:
ωn(n) ωртм+n Ωн – частота n-ой гармоники спектра ШЧМ сигнала;
В обоих вышеописанных формулах n – номер гармоники. Тогда диапазон n будет равен:
n - round mчм -1,- round mчм round mчм +1
Итоговая спектрограмма ЧМ сигнала представлена ниже на рисунке 4.2.1.
Cn(n) (V)
3.445 104 |
7.843 104 |
1.224 105 |
0.095
0.087
0.078
0.07
0.061
0.053
0.044
0.036
0.027
0.019
0.01
3.4 10 .3 105.2 106.1 107 107.9 108.8 109.7 10.06 10.15 10.24 10
ω (n) rad n
s
Рисунок 4.2.1 – График спектрограммы ЧМ сигнала
На спектрограмме ЧМ сигнала маркерами отмечены: частота самой первой (по отсчёту слева направо) гармоники, частота несущей («нулевой» гармоники) и частота самой последней (по отсчёту слева направо) гармоники.
5.Расчёт СХД детектора на расстроенных контурах
Врамках лабораторной работы статическая характеристика детектирования (СХД) – это зависимость постоянной составляющей тока от частоты. Для расчёта её значений необходимо знать характеристики частотного детектора.
Для корректной работы детектора необходимо выполнение нескольких условий:
1.На частоте несущей СХД должна быть равна нулю;
2.На резонансной частоте одного из колебательных контуров детектора должен быть минимум СХД, а на другой – её максимум;
3.Ток в рабочей точке СХД должен быть околонулевым.
При выполнении вышеописанных условий, а также правильном подборе рабочего участка СХД детектирование будет осуществляться максимально точно с минимальным коэффициентом нелинейных искажений (КНИ).
5.1Расчёт параметров контуров детектора
Врамках лабораторной работы для детектирования ЧМ сигнала применяется детектор на расстроенных контурах, резонансные частоты которых выбирают в зависимости от частоты несущей и девиации частоты ЧМ сигнала:
ωр1 |
ωртм-ωд= 39.216 103 |
rad |
– резонансная частота первого контура; |
|
|
s |
|
ωр2 |
ωртм+ωд= 117.647 103 |
rad |
– резонансная частота второго контура. |
|
|
s |
|
Далее необходимо найти добротность первого колебательного контура (добротность второго колебательного контура дана изначально). Её можно найти из первого вышеописанного условия корректного детектирования, так как на частоте несущей модули сопротивлений контуров будут равны, то добротность первого контура можно выразить из равенства:
|Z1 ωртм | |Z2 ωртм |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
|
Q1 |
|
ωртм-ωр1 |
2 2 |
|
Q2 |
|
ωртм-ωр2 |
2 |
|
+ 2 |
ωр1 |
|
1+ 2 |
ωр2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Тогда добротность первого колебательного контура будет равна (необходимо взять положительный корень полученного уравнения):
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
solve,Q1 |
|
|
Q1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
float,3 |
|
-1.53 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
――→ |
|
1.53 |
||
2 |
|
|
ωртм-ωр1 |
|
2 2 |
1 |
|
Q2 |
|
ωртм-ωр2 |
2 |
|||
|
1+ 2 Q1 |
|
ωр1 |
|
|
+ 2 |
ωр2 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Q1 |
Q1 |
=1.53 |
– |
полученная добротность первого контура. |
|
|||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Когда добротности обоих контуров известны, можно найти амплитуды сопротивлений этих контуров на любой частоте:
Z1(ω) |
|
|
1 |
|
|
– амплитуда сопротивления |
|
|
|
ω-ωр1 |
2 |
||
2 |
|
Q1 |
первого контура; |
|||
|
1 |
+ 2 |
ωр1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z2(ω) |
|
|
1 |
|
|
– амплитуда сопротивления |
|
|
|
ω-ωр2 |
2 |
||
2 |
|
Q2 |
второго контура; |
|||
|
1 |
+ 2 |
ωр2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Зная амплитуды сопротивлений резонансных контуров, можно найти максимально допустимую амплитуду тока. Для этого надо разделить максимально допустимую амплитуду напряжения ЧМ сигнала на суммарную амплитуду сопротивлений обоих резонансных контуров на резонансной частоте одного из контуров:
Im |
bm |
=0.125 A |
|
ωр1 +Z2 ωр2 Ω |
|||
Z1 |
|
5.2 Расчёт значений СХД
После нахождения параметров контуров, можно найти значения СХД на любой частоте.
Итоговая формула СХД имеет вид:
I0(ω) Im Z2(ω)-Z1(ω) – формула, описывающая СХД исследуемого частотного детектора.
В качестве диапазона частот при построении СХД достаточно взять диапазон частот с левой границей на резонансной частоте первого контура и с правой границей на частоте второго контура.
Тогда диапазон частот для построения СХД будет иметь вид:
ωСХД ωр1, ωр1+1 rads ωр2
6. Построение графика СХД и снятие с неё необходимых параметров
Необходимо построить график СХД частотного детектора. По построенному графику определить рабочий участок СХД, рабочую точку на рабочем участке. По рабочей точке определить допустимую девиацию частоты и коэффициент нелинейных искажений.
6.1 Построение СХД
Построение СХД осуществляется по вышеописанным формулам и значениям. ЕЁ график представлен ниже на рисунке 6.1.1. Так же на графике, для наглядности, отмечены значения резонансных частот контуров, а также показана несущая частота; отмечены, найденные ниже, частоты границ рабочего диапазона.