Министерство цифрового развития, связи и массовых коммуникаций Российской Федерации
Ордена Трудового Красного Знамени федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования
Московский технический университет связи и информатики
___________________________________________________________________
Кафедра «Теории электрических цепей»
Самостоятельная работа по дисциплине ОКАЭЦ по теме «Цифровые фильтры»
Выполнил |
|
|
Студент группы БИК2205 |
_________________________ |
|
Проверил |
|
|
Доцент кафедры ТЭЦ |
_________________________ |
Бакулин М.Г. |
Москва 2023
1. Цель
Цель самостоятельной работы – на примере заданных передаточных функций КИХ-фильтра и БИХ-фильтра освоить методики проверки устойчивости фильтров, вычисления импульсных и амплитудно-частотных характеристик.
2.Исходные данные
Передаточная функция КИХ-фильтра:
HКИХ(z) 1+ -0.8 z-1 1+ -0.3 z-1+ -1.54 z-2
Передаточная функция БИХ-фильтра:
HБИХ(z) 1+ -1.4 z-1 11+1.5 z-1+0.56 z-2
Период дискретизации: T 2 10-3 j 
-1
3.Анализ КИХ-фильтра
Передаточная функция КИХ-фильтра описана выше, в пункте 2.
HКИХ(z) 1+ -0.8 z-1 1+ -0.3 z-1+ -1.54 z-2
3.1. Устойчивость
Поскольку в передаточной функции КИХ-фильтра нет знаменателя, то у неё нет полюсов. Поэтому КИХ-фильтр является всегда устойчивым.
3.2. Нахождение корней
Нулями КИХ-фильтра являются все корни полиномов его передаточной функции. Их можно найти программным путём.
p1(z) 1+ -0.8 z-1 p2(z) 1+ -0.3 z-1+ -1.54 z-2
Для первого полинома:
solve roots1 p1(z) 0 ―→0.8
Для второго полинома:
solve 1.4 roots2 p2(z) 0 ―→ -1.1
Таким образом, нулями передаточной функции будут значения
T
rootsКИХ stack roots1,roots2 = 0.8 1.4 -1.1
3.3 Функциональная схема
Для построения функциональной схемы необходимо представить передаточную функцию в виде одного полинома. Итоговая передаточная функция КИХ-фильтра будет иметь вид:
expand |
|
1.1 |
-1.0 1.3 |
+ 1.232 |
|
|
HКИХ(z) p1(z) p2(z)――→-1.0 |
+1.0 |
|||||
|
|
|
z |
z2 |
z3 |
|
С коэффициентами: |
|
|
|
|
|
|
1.232 |
|
|
|
|
||
coeffs |
-1.3 |
|
|
|
|
|
coeff HКИХ(z)―→ |
-1.1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.0 |
|
|
|
|
|
Это фильтр третьего порядка, который реализуется в виде четырёхзвенного фильтра. Схема фильтра приведена на рисунке 3.3.1.
Рисунок 3.3.1 – Функциональная схема КИХ-фильтра
3.4. Импульсная реакция фильтра |
|
|
|
|
|
|
||||||
Импульсная реакция фильтра – это выходной сигнал фильтра при |
|
|||||||||||
воздействии на входе единичного импульса. Выходной сигнал КИХ-фильтра с |
||||||||||||
найденной передаточной функцией определяется следующим выражением: |
||||||||||||
|
|
y a0 x +a1 x |
+a2 |
x |
+a3 x |
x-3 |
|
|
|
|||
|
|
n |
n |
n-1 |
n-2 |
|
|
|
|
|||
где различные а равны: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
a0 coeff =1 |
a1 coeff =-1.1 |
a2 |
coeff =-1.3 |
a3 coeff =1.232 |
||||||||
|
|
3 |
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
0 |
|
Для вычисления передаточной функции необходимо сформировать входной |
||||||||||||
сигнал для N, которое равно числу звеньев в фильтре: |
|
|
|
|||||||||
|
|
N 4 |
n 1,2 N+1 |
x ‖if n≤1 |
|| |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
n |
‖ |
‖ |
|| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
‖ |
‖1 |
|| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
‖else if n>1|| |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
‖ |
‖ |
|| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
‖ |
‖0 |
|| |
|
|
Импульсная реакция будет равна: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
y a0 |
x +a1 0+a2 0+a3 0=1 |
|
y a0 |
x +a1 |
x +a2 0+a3 0=-1.1 |
|||||||
1 |
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
2 |
1 |
|
|
y a0 |
x +a1 |
x +a2 |
x +a3 0=-1.3 |
y a0 |
x +a1 |
x +a2 |
x +a3 |
x =1.232 |
||||
3 |
|
3 |
2 |
1 |
|
|
4 |
|
4 |
3 |
2 |
1 |
y a0 |
x +a1 |
x +a2 |
x +a3 |
x =0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
5 |
4 |
3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
График импульсной реакции представлен ниже на рисунке 3.4.1. |
|
|||||||||||
|
|
1.25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.75 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
0 |
1 |
|
2 |
|
|
3 |
|
4 |
|
5 |
|
-0.25 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
n |
-0.5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-0.75 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-1.25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-1.5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
Рисунок 3.4.1 – График импульсной реакции КИХ-фильтра |
||||||||||
3.5 АЧХ фильтра |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для вычисления АЧХ фильтра нужно вычислить модуль передаточной |
|||||||||||
функции, как функцию от частоты в диапазоне от нуля до одной периодной. А |
|||||||||||
также осуществить «частотную замену» z. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
f 0,1 1 |
– диапазон частот; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
substitute,z ej 2 π f T |
|
|
|
1.1 ... |
|||||
HКИХ_АЧХ(f) HКИХ(z)――――――→-1.0 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e0.0125663706143 |
||
График АЧХ КИХ-фильтра в диапазоне от нуля до пятисот Гц приведён ниже |
|||||||||||
на рисунке 3.5.1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.65 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.95 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
abs HКИХ_АЧХ(f) |
1.9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.55 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.85 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
50 |
100 |
150 |
200 |
250 |
300 |
350 |
400 |
450 |
500 |
|
|
|
|
|
f |
(s Hz) |
|
|
|
|
|
|
Рисунок 3.5.1 – АЧХ КИХ-фильтра |
|
|
|
|
||||||
4.Анализ БИХ-фильтра
Передаточная функция БИХ-фильтра описана выше, в пункте 2.
HБИХ(z) 1+ -1.4 z-1 11+1.5 z-1+0.56 z-2
4.1. Устойчивость
Поскольку в заданной передаточной функции БИХ-фильтра числитель не зависит от z, то все корни знаменателя будут полюсами передаточной функции. Для этого необходимо найти корни знаменателя.
4.2Нахождение корней
Врассматриваемом БИХ-фильтре полюсы и нули передаточной функции совпадают. Их можно найти программным путём.
p1(z) 1+ -1.4 z-1 p2(z) 1+1.5 z-1+0.56 z-2
Для первого полинома:
solve roots1 p1(z) 0 ―→1.4
Для второго полинома:
solve -0.7 roots2 p2(z) 0 ―→ -0.8
Таким образом, нулями передаточной функции будут значения
T
rootsБИХ stack roots1,roots2 = 1.4 -0.7 -0.8
Условием устойчивости БИХ-фильтра является: все полюсы должны лежать внутри единичной окружности, то есть модуль каждого корная должен быть меньше единицы.
Среди корней имеется один корень, модуль которого больше единицы. Поэтому данный БИХ-фильтр будет неустойчивым.
4.3 Функциональная схема
Для построения функциональной схемы необходимо представить передаточную функцию в виде рациональной дроби, то есть числитель и знаменатель нужно представить в виде соответствующих полиномов. Числитель не зависит от z, следовательно, в числителе полином нулевого порядка. Для вычисления полинома знаменателя необходимо перемножить два полинома.
|
(z) |
1 |
expand |
z |
3 |
|
HБИХ |
――→ |
|
||||
(z) p2(z) |
z3 +0.1 z2 -1.54 z-0.784 |
|||||
|
p1 |
|
||||
С коэффициентами:
0.784 coeffs 1.54 coeff -1 p1(z) p2(z) ―→ -0.1
-1.0
Это фильтр третьего порядка, который реализуется в виде четырёхзвенного фильтра. Схема фильтра приведена на рисунке 4.3.1.
Рисунок 4.3.1 – Функциональная схема БИХ-фильтра
4.4. Импульсная реакция фильтра |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
Импульсная реакция фильтра – это выходной сигнал фильтра при |
|
||||||||||||||||||||||
воздействии на входе единичного импульса. Выходной сигнал БИХ-фильтра с |
||||||||||||||||||||||||
найденной передаточной функцией определяется следующим выражением: |
||||||||||||||||||||||||
|
|
y x +b1 |
y |
|
+b2 |
y |
n-2 |
+b3 |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
n |
n |
|
|
n-1 |
|
|
|
|
n-3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
где различные b равны: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
b1 |
coeff =-0.1 |
|
b2 coeff =1.54 |
b3 coeff =0.784 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для вычисления передаточной функции необходимо сформировать входной |
|||||||||||||||||||||||
сигнал: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1,2 20 |
|
|
x ‖if n≤1 |
|
|
|| |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
‖ |
‖ |
1 |
|
|
|
|| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
k 5,6 20 |
|
|
|
|
‖ |
‖ |
|
|
|
|| |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
‖else if n>1|| |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
‖ |
‖ |
0 |
|
|
|
|| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
‖ |
‖ |
|
|
|
|| |
|
|
|
|
|
Импульсная реакция будет равна: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
y x +b1 0+b2 0+b3 0=1 |
|
|
y x +b1 |
y +b2 0+b3 0=-0.1 |
||||||||||||||||||||
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
y x +b1 |
y +b2 |
y +b3 0=1.55 |
|
y x +b1 |
y +b2 |
y +b3 |
y =0.475 |
|||||||||||||||||
3 |
3 |
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
4 |
4 |
|
|
|
3 |
|
|
2 |
|
1 |
|
|
y x +b1 |
y +b2 |
y +b3 y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
k |
k |
k-1 |
|
|
|
k-2 |
|
k-3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
График импульсной реакции представлен ниже на рисунке 4.4.1. |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
160 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
140 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
120 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
100 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
80 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
60 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
40 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
|
|
|
-20 |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рисунок 4.4.1 – График импульсной реакции БИХ-фильтра |
|
||||||||||||||||||||||
На рисунке 4.4.1 видно, что импульсная реакция фильтра не является |
|||||||||||
затухающей функцией времени. Это подтверждает вывод, что фильтр является |
|||||||||||
неустойчивым. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.5 АЧХ фильтра |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для вычисления АЧХ фильтра нужно вычислить модуль передаточной |
|||||||||||
функции, как функцию от частоты в диапазоне от нуля до одной периодной. А |
|||||||||||
также осуществить «частотную замену» z. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
f 0,1 1 |
– диапазон частот; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
substitute,z ej 2 π f T |
|
|
|
|
|||||
HБИХ_АЧХ(f) HБИХ(z)――――――→ |
|
|
|
... |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
e0.01256637061435917295 |
|||
График АЧХ БИХ-фильтра в диапазоне от нуля до пятисот Гц приведён ниже |
|||||||||||
на рисунке 4.5.1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7.45 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6.8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6.15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5.5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.85 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
abs HБИХ_АЧХ(f) |
4.2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.55 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.95 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
50 |
100 |
150 |
200 |
250 |
300 |
350 |
400 |
450 |
500 |
|
|
|
|
|
f |
(s Hz) |
|
|
|
|
|
|
Рисунок 4.5.1 – АЧХ БИХ-фильтра |
|
|
|
|
||||||
5. Анализ последовательного соединения КИХ-фильтра и БИХ-фильтра
При последовательном соединении фильтров передаточная функция результирующего фильтра будет равна произведению передаточных функций всех фильтров.
HКИХ_БИХ(z) HКИХ(z) HБИХ(z)→ z3 -1.30 1z.1 +2 1.z2323 +1.0-1.0 1z.23 z +0.1 z -1.54 z-0.784
5.1. Устойчивость
Согласно общему определению, результирующий фильтр относится к типу БИХ-фильтров, так как его передаточная функция представлена в виде рациональной дроби и содержит и содержит знаменатель.
Анализ можно упростить, так как корни числителя (корни передаточной функции КИХ-фильтра) и корни знаменателя (корни передаточной функции БИХ-фильтра) уже вычислялись ранее. Необходимо найти совпадающие корни и удалить их.
T
rootsК_Б stack rootsКИХT ,rootsБИХT = 0.8 1.4 -1.1 1.4 -0.7 -0.8
В рассматриваемом примере, имеется общий корень 1.4, поэтому необходимо удалить его из множества корней числителя и знаменателя.
polК_Б 0.8 -1.1-0.7 -0.8
Все оставшиеся корни знаменателя будут полюсами передаточной функции. Поскольку модули всех полюсов меньше единицы, то результирующий фильтр будет устойчивым.
5.2 Нахождение корней
Корни числителя и знаменателя получены а разделе 5.1.
5.3 Функциональная схема
Для построения функциональной схемы необходимо представить передаточную функцию в виде рациональной дроби, то есть числитель и знаменатель нужно представить в виде соответствующих полиномов. Поскольку корни числителя и знаменателя известны, то результирующую передаточную функцию можно записать через корни полиномов.