Оглавление

1. Пример выполнения задания для самостоятельной работы 1

1.1. Цель самостоятельной работы 1

1.2. Исходные данные 1

1.3. Задание 2

1.3.1. Часть 1. Анализ спектров исходного сигнала 2

1.3.2. Часть 2. Анализ спектра сигнала на выходе фильтра 3

1.4. Выполнение. Часть 1 3

1.4.1. Анализ сигнала 3

1.4.2. Вычисление спектров исходного сигнала 4

1.5. Выполнение. Часть 2 12

1. Пример выполнения задания для самостоятельной работы

   1. Цель самостоятельной работы

Цель самостоятельной работы на примере заданной периодической функции сигнала освоить методику вычисления спектров сигнала, исследовать прохождение такого сигнала через фильтр нижних частот с использованием спектрального анализа.

2. Исходные данные

Форма исходного сигнала приведена на Рис. 2 .1. Данный сигнал приведён в качестве примера. Для выполнения самостоятельной работы будут выданы индивидуальные сигналы для каждого варианта (см. Таблицу вариантов, стр. 15 и Варианты сигналов, стр. 16) в соответствии с номером в журнале.

Рис. 2.1

Параметры сигнала:

В, мсек (будут заданы индивидуально).

Исходный сигнал пропускается через фильтр нижних частот Баттерворта первого порядка с граничной частотой и коэффициентом передачи на нулевой частоте . Параметры фильтра также задаются индивидуально.

3. Задание

   1. Часть 1. Анализ спектров исходного сигнала

1. Требуется вычислить спектры входного сигнала (амплитудный спектр – обязательно, фазовый спектр факультативно) до гармоники, включая нулевую, т.е. для .

2. Построить вычисленный амплитудный спектр как функцию от частоты гармоник.

3. (Факультативно). Вычислить и построить фазовый спектр исходного сигнала.

4. (Факультативно). Построить исходный сигнал и сигнал 16-ю гармониками (включая нулевую) с использованием вычисленных амплитуд и фаз гармоник.

2. Часть 2. Анализ спектра сигнала на выходе фильтра

1. Записать передаточную функцию ФНЧ Баттерворта

2. Вычислить и построить значения модуля коэффициента передачи заданного фильтра на частотах гармоник сигнала (до 16 гармоники)

3. Вычислить и построить амплитудный спектр сигнала на выходе фильтра с использованием спектра исходного сигнала и модуля коэффициента передачи.

4. (Факультативно). Вычислить и построить фазовый спектр сигнал на выходе фильтра.

5. (Факультативно). Построить сигнал на выходе фильтра с использованием вычисленных амплитуд и фаз гармоник.

4. Выполнение. Часть 1

   1. Анализ сигнала

Сигнал, представленный на Рис. 2 .1 (должен соответствовать своему варианту) можно записать в виде аналитической функции следующим образом:

11\* MERGEFORMAT ()

С учетом заданных значений амплитуды импульса и периода повторения сигнал временная реализация одного периода сигнала представлена на Рис. 2 .2.

Рис. 2.2. Временная реализация одного периода исходного сигнала

В данном случае функция не является ни четной функцией, ни нечетной функцией. Путем смещения этого сигнала по оси времени (оси абсцисс) и оси мгновенных значений (оси ординат) данную функцию можно преобразовать в нечётную функцию. Эти подходы были подробно рассмотрены на семинаре. Поэтому здесь мы рассмотрим непосредственное решение «в лоб», т.е. без промежуточного преобразования и вычисления всех коэффициентов.

2. Вычисление спектров исходного сигнала

Воспользуемся вычислением полного набора коэффициентов разложения (см. (3) в «Материал семинара по спектральному анализу.docx»). Для коэффициентов можно записать:

22\* MERGEFORMAT ()

При выводе окончательного выражения учитывалось следующее:

1. функция описана на 3-х интервалах во времени , поэтому интеграл разбивается на сумму трёх интегралов.

2. 

3. 

Из 2 для n=0 можно записать

При выводе этого выражения учитывалось, что , для этого все дроби были приведены к виду .

Для все всех из 2 можно записать

33\* MERGEFORMAT ()

Можно ограничиться этим результатом, но можно и продолжить преобразования, если воспользоваться тождеством

44\* MERGEFORMAT ()

Тогда получим

55\* MERGEFORMAT ()

Аналогично, вычислим теперь коэффициенты :

66\* MERGEFORMAT ()

Можно ограничиться этим результатом, но можно продолжить дальнейшее преобразование, воспользовавшись тождеством . В результате получим

77\* MERGEFORMAT ()

Для построения амплитудного спектра вычислим амплитуды (и фазы) гармоник. Согласно (9) в «Материал семинара по спектральному анализу.docx» имеем . Для компактной записи выражений для амплитуд и фаз гармоник лучше воспользоваться преобразованными выражениями 5 и 7. В этом случае можно записать

88\* MERGEFORMAT ()

При последнем преобразовании учитывалось тождество .

На Рис. 2 .3 приведен амплитудный спектр исходного сигнала до 16-й гармоники, включая нулевую.

Рис. 2.3. Амплитудный спектр исходного сигнала

Факультативно. Аналогично для фазового спектра получим:

99\* MERGEFORMAT ()

На Рис. 2 .4 приведён фазовый спектр исходного сигнала до 16-й гармоники.

Рис. 2.4. Фазовый спектр исходного сигнала

Факультативно.С учетом полученных амплитуд и фаз гармоник можно записать представление сигнала в виде суммы ограниченного числа гармоник:

1010\* MERGEFORMAT ()

На Рис. 2 .5 приведены временные диаграммы исходного сигнала и восстановленного с 16-ю гармониками. Для иллюстрации влияния числа гармоник на точность спектрального представления сигнала на приведены временные диаграммы исходного сигнала и сигнала, описываемого разным числом гармоник. Здесь визуально видно, что при повышении числа гармоник точность представления сигнала повышается.

Рис. 2.5. Временные диаграммы исходного сигнала и восстановленного с 16-ю гармониками

Рис. 2.6 Временные диаграммы исходного сигнала и сигналов, описываемых разным числом гармоник.