Sintez_LC_ARC_i_tsifrovykh_filtrov

1.v(p) – должен быть полиномом Гурвица, то есть его корни располагаются в левой половине плоскости комплексной переменной p=α+j·Ω (требование устойчивости цепи);

2.w(p) – должен быть или чѐтным, или нечѐтным полиномом (для ФНЧ w(p) – чѐтный, чтобы не было полюса ослабления при ω=0; для ФВЧ w(p) – нечѐтный);

3.h(p) – любой полином с вещественными коэффициентами.

2.2. НОРМИРОВАНИЕ ПО СОПРОТИВЛЕНИЮ И ЧАСТОТЕ.

Численные значения параметров элементов L, C, R и граничных частот реальных фильтров могут принимать, в зависимости от технических условий, самые различные значения. Использование в вычислениях одновременно малых и больших величин приводит к значительной погрешности вычислений.

Известно, что характер частотных зависимостей фильтра не зависит от абсолютных величин коэффициентов функций, описывающих эти зависимости, а определяется лишь их соотношениями. Значения коэффициентов определяются значениями параметров L, C, R фильтров. Поэтому нормирование (изменение в одинаковое число раз) коэффициентов функций ведѐт к нормированию величин параметров элементов фильтра. Таким образом, вместо абсолютных значений сопротивлений элементов фильтра берут их относительные величины, отнесѐнные к сопротивлению нагрузки R2 (или R1).

Кроме того, если нормировать значения частот относительно граничной частоты полосы пропускания (чаще всего используется именно это значение), то это ещѐ более сузит разброс величин, используемых в вычислениях, и повысит точность вычислений. Нормированные

Для примера рассмотрим сопротивление последовательно соединѐнных элементов L, C, R: Z R j ωL ωC1

Введѐм в последнее выражение нормированные значения частот:

Истинные (денормированные) значения параметров элементов определяются:

11

Изменяя значения f1 и R2, можно из исходной схемы получать новые схемы устройств, работающих в других диапазонах частот и при других нагрузках. Введение нормирования позволило создать каталоги фильтров, что во многих случаях сводит сложную проблему синтеза фильтра к работе с таблицами.

2.3. ПОСТРОЕНИЕ ДУАЛЬНЫХ СХЕМ.

Дуальными величинами, как известно, являются сопротивление и проводимость. Для каждой схемы электрического фильтра может быть найдена дуальная ей схема. При этом входное сопротивление первой схемы будет равно входной проводимости второй,

2.4. АППРОКСИМАЦИЯ ЧАСТОТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК.

На рисунках 2.1.1 – 2.1.3 представлены графики функций рабочего ослабления фильтра нижних частот (ФНЧ), фильтра верхних частот (ФВЧ), полосового фильтра (ПФ). На этих же графиках показаны уровни требуемого ослабления. В полосе пропускания f0…f1 задаѐтся максимально допустимое значение ослабления (так называемая неравномерность ослабления)

А; в полосе непропускания f2…f3 задаѐтся минимально допустимое значение ослабления AS; в переходной области частот f1…f2 требования к ослаблению не предъявляются.

12

Прежде чем приступить к решению задачи аппроксимации производят нормирование требуемой характеристики рабочего ослабления по частоте, например для ФНЧ и ФВЧ:

Искомая аппроксимирующая функция должна удовлетворять условиям физической реализуемости и достаточно точно воспроизводить требуемую частотную зависимость рабочего ослабления. Существуют различные критерии оценки погрешности приближения, на которых основаны различные типы аппроксимации. В задачах аппроксимации амплитудно-частотных характеристик наиболее часто используют критерии оптимальности Тейлора и Чебышѐва.

2.4.1. Аппроксимация по критерию Тейлора.

В случае применения критерия Тейлора искомая аппроксимирующая функция имеет

где ε2 Ω2 NБ (j ) 2 - квадрат модуля функции фильтрации;

NБ – порядок полинома (принимает целочисленное значение);

ε – коэффициент неравномерности. Его величина связана с величиной ∆А -

Фильтры с частотными зависимостями ослабления (2.16) называются фильтрами с

максимально плоскими характеристиками ослабления, или фильтрами с характеристиками Баттерворта, впервые применившего аппроксимацию по критерию Тейлора при решении

Выражение (2.18) представим в операторной форме, используя преобразование jΩ→ pˆ :

13

чѐтного порядка. Таким образом, условия физической реализуемости выполняются.

2.4.2. Аппроксимация по критерию Чебышѐва.

При использовании для аппроксимации по Тейлору степенных полиномов Ω2·NБ получается хорошее приближение к идеальной функции вблизи точки Ω=0, но для того чтобы обеспечить достаточную крутизну аппроксимирующей функции при Ω>1 приходится увеличивать порядок полинома (а, следовательно, и порядок схемы).

Лучшую крутизну в переходной области частот можно получить, если в качестве аппроксимирующей выбрать не монотонную функцию (рис. 2.4), а функцию колеблющуюся в диапазоне значений 0 … А в полосе пропускания при 0<Ω<1 (рис. 2.7).

Наилучшая аппроксимация по критерию Чебышѐва обеспечивается применением полиномов Чебышѐва PN(x) (рис. 2.6). В интервале -1 < x < 1 отклонения аппроксимирующих функций от нулевого уровня равны ±1 и чередуются по знаку.

14

Порядок полинома должен быть целым числом, поэтому получившееся значение необходимо округлить до ближайшего большего целого значения.

Квадрат модуля рабочей передаточной функции (нормированное значение)

Поскольку нули ослабления (они же – корни полинома Гурвица) располагаются в полосе пропускания, в это выражение надо подставить выражение (2.21) для значений частот полосы пропускания.

Выражение (2.25) представим в операторной форме, используя преобразование jΩ→ pˆ :

Комплексно-сопряжѐнные корни в комплексной плоскости располагаются на эллипсе. Полином Гурвица образуют только корни с отрицательной реальной составляющей:

NЧ

v(pˆ) (pˆ pˆ k ) . k 1

полиномом чѐтной степени. Условия физической реализуемости выполняются.

2.5. РЕАЛИЗАЦИЯ АППРОКСИМИРУЮЩЕЙ ФУНКЦИИ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЦЕПЬЮ.

Один из методов решения задачи реализации основан на разложении в цепную дробь функции входного сопротивления

16

Процедура разложения описана в литературе: [1, глава 16], [2, глава 20] [3, глава 15]. Кратко пояснить разложение в цепную дробь можно следующим образом.

Функция ˆ ˆ представляет собой отношение полиномов. Сначала выполняется

Zвх (p)

деление полинома числителя на полином знаменателя; затем полином, который был делителем, становится делимым, а полученный остаток становится делителем, и так далее. Полученные при делении частные образуют цепную дробь. Для схемы на рисунке 2.8 цепная

дробь имеет вид (при ˆ =1):

R2

Если необходимо, можно от полученной

схемы перейти к дуальной.

2.6. МЕТОД ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЧАСТОТНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ.

Метод преобразования частотной переменной используется для синтеза ФВЧ и ПФ. Преобразование применяется только к нормированным частотам Ω.

2.6.1. Синтез ФВЧ. Сравнивая характеристики ФНЧ и ФВЧ на рисунках 2.9 и 2.10, можно заметить, что они взаимно обратные. Это означает, что если выполнить замену частотной переменной

17

5.Выполнить денормирование параметров элементов синтезированного ФВЧ.

2.6.2.Синтез ПФ. На рисунке 2.1.3. изображена симметричная характеристика рабочего ослабления полосового фильтра. Так называется характеристика, геометрически

симметричная относительно средней частоты f0 f1 f1 f2 f2 .

Чтобы синтезировать ПФ с использованием метода преобразования частотной переменной, необходимо выполнить следующее.

1.Для перехода от требуемой симметричной характеристики ПФ к нормированной характеристике ФНЧ-прототипа (и воспользоваться уже известной методикой синтеза), необходима замена частотной переменной (рисунок 2.11)

Рис. 2.11.

2.Синтезировать нормированный ФНЧ-прототип по методике, представленной в разделах

2.4 и 2.5.

3.От схемы ФНЧ-прототипа перейти к схеме ПФ с нормированной характеристикой путѐм

замены каждого индуктивного элемента в продольной ветви ˆ на последовательное

LФНЧ

соединение индуктивного и емкостного элементов с параметрами

соединение индуктивного и емкостного элементов с параметрами (рис. 2.12)

19

Рис. 2.12.

4. Выполнить денормирование параметров элементов

2.7. АКТИВНЫЕ ФИЛЬТРЫ.

Активные фильтры характеризуются отсутствием катушек индуктивности, так как свойства индуктивных элементов можно воспроизвести с помощью активных схем, содержащих активные элементы (операционные усилители), резисторы и конденсаторы. Такие схемы обозначаются: ARC-схемы. Недостатками катушек индуктивности являются низкая добротность (большие потери), большие габариты, высокая стоимость производства.

2.7.1. Основы теории ARC-фильтров. Для линейного четырѐхполюсника (в том числе – линейного ARC-фильтра) соотношение между входным и выходным напряжением (в операторной форме) выражается передаточной функцией по напряжению:

где w(p) – чѐтный (К·р0 для ФНЧ) или нечѐтный (для ФВЧ) полином,

v(p) – полином Гурвица порядка N.

Для ФНЧ передаточную функцию (нормированную величину) можно представить в виде произведения сомножителей