Спецвопрос___Применение метода ГДО при упрочнении ступени вала (1)

Добавил:

Romandxdy Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Самарский Государственный Технический Университет

Предмет:

Математика

Файл:

параметр аппроксимации 1

= 342,04 МПа.

exp (− ( 0))

exp (− (0,378))

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

02.05.2026

Размер:

1.16 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 42 3 4 > Следующая >>>

1 +

(

[ (1 − ) −

]

− (0

−

)) =

∙

[

(1 − ) −

] +

Тогда

1 +

+ 3

( − ) −

[

(1 − ) −

] −

Используя первое условие (9) исключаем

1 +

(1 +

) + 3

( − ) −

[

(1 − ) −

или

(

− ) −

[

(1 − ) −

(17)

1 +

Обозначим левую часть уравнения через ( ), и умножим на

( ) =

(18)

1 +

Заметим, что

′

2−

(

)

(

) =

1 +

(

)

1 +

2−

Выполняя подстановку в (18) получим

(

)

( ) =

2−

Представим в виде дроби и вынесем знаменатель за скобки

(1+)

( ) =

(

+ (

)).

2−

Интегрируя от 0 по имеем


	1	2−
	1	∫ 1+( ) = ( ) + .
	3	∫ 1+( ) = ( ) + .
	3

1+ 0

Перенесем константу в левую часть, которую, в свою очередь, можно представить с учетом дроби, стоящей перед интегралом. Окончательно получаем


	1	2−
( ) =	1	[∫ 1+( ) + ] .	(19)
( ) =	3	[∫ 1+( ) + ] .	(19)
	3

1+ 0

Вработе [20] подробно доказывается, что

lim ( ) = 0 ,

(20)

→0

из которого следует, что константу в (19) можно не учитывать.

Из соотношения (17) также имеет место уравнение

( ) =

(

− ) −

[

(1 − )

−

подставляя которое в правую часть (19) получаем

2−

( )

∫ 1+

{[ ( ) − ( )] −

[

(1 − ) −

]} =

1+ 0

2−

( )

∫ 1+[ ( ) −

( )] −

∫ 1+ [

(1 − ) −

1+ 0

( )

−

] .

Выполним замену после раскрытия скобок во втором интеграле

2−

, =>

1+;

1 +

( )

= [

(1 −

) −

] , =>

= ( )(1 − ) − ( ).

Тогда

2−

∫ 1+[ ( ) − ( )] −

[

(

( )(1 − ) −

2−

−

∫[

( )(1 − ) − ( )]

( ))

] +

1+.

1 +

1+ 0

Сгруппируем интегралы и занесем постоянные множители под скобки

2−

[ ( ) − ( )

(1 − )

( ) −

( )] −

∫ 1+

+ 3

1 +

1+ 0

( ( )(1 − ) − ( )).

−

∙

Приведя подобные под знаком интеграла, окончательно получаем формулу для вычисления окружной компоненты тензора остаточных пластических деформаций


( ) =	1 − 2			2−	[ ( ) − 2 ( )] −
				∫ 1+
		3		∫ 1+
		3
	(1 + )	1+	0
	−[ ( )(1 − ) − ( )].					(21)

Согласно [5] нахождение последней неизвестной величины осевых

остаточных напряжений ( ) также можно выполнить с учетом условия

нулевого суммарного осевого усилия, действующего на образец

∫ ( ) = 0.

(22)

Раскрывая скобки, умножая (14) на и интегрируя в пределах от 0 до имеем

∫ ( ) = 0		∫ − ∫		( ) + ∫ [( ( ) + ( ))] ,

0		0	0		0
или с учетом (22)
						2

	∫ { [( ( ) + ( ))] − ( )} + 0
							= 0.
							= 0.
					2		0
	0

Вынесем постоянную за скобки и выразим полную осевую деформацию
цилиндрического образца 0

	2
0 =	2	∫ {		( ) −	[( ( ) + ( ))]} .					(23)
0 =		∫ {		( ) −	[( ( ) + ( ))]} .					(23)
	2
	2
	0
Теперь можно восстановить поля остаточных напряжений и пластических
деформаций. Предварительная схема выглядит следующим образом
( ) →	( )		→	( ) →		( ),	( ) →	0 →	( ).	(24)

										13

3. МЕТОДИКА УПРОЧНЕНИЯ СТУПЕНИ «ВАЛ ВЕДОМЫЙ»

Как было отмечено ранее, методика поверхностного упрочнения цилиндрических тел с концентраторами напряжений имеет исключительную эффективность по сравнению с упрочненными гладкими телами. В качестве оптимального способа упрочнения ступени детали «Вал ведомый» рассматривается метод ГДО в соответствии с технологией опережающего поверхностного пластического деформирования (ОППД), заключающейся в наведении сжимающих ОН и ПД в приповерхностном бездефектном слое. Далее, соответственно, производится процедура удаления механическим способом части материала с учетом «полезных» ОН с целью их перераспределения в данной зоне с наибольшей эффективностью. С позиции механики образуется концентратор напряжений (канавка), в зоне которого будут отсутствовать остаточные растягивающие напряжения, вызванные, например, процедурой резания металла [1].

Ранее упоминалось о том, что рассматриваемая в данной работе деталь «Вал ведомый» была спроектирована в рамках курсового проекта по предмету «Детали машин и основы конструирования», в котором были выполнены расчеты реакций в подшипниковых опорах, а также нагрузок, действующих на вал. Основные силовые факторы, оказывающие воздействие на рассматриваемую деталь при ее эксплуатации сведены в таблицу 3.

Таблица 3

Сводная таблица нагрузок, действующих на деталь «Вал ведомый»

Параметр	Обозначение	Значение

Окружная сила колеса		7765 Н
	к
Радиальная сила колеса		2862 Н
	к
Осевая сила колеса		1240 Н
	к
Сила тяжести колеса	т к	282 Н
Окружная сила звездочки		7800 Н
	зв
Сила тяжести звездочки	т зв	93 Н

Основная цель выполняемых расчетов заключалась в построении эпюр суммарных изгибающих Σ и крутящих кр моментов (см. рис. 2). Согласно расчетной схеме, опасное место ступенчатого вала идентифицировалось в сечении выточенной по ГОСТ 8820-69 канавки на расстоянии 121,56 мм от правого торца детали. Полученные значения нагрузок в этом сечении были равны Σ = 472,4 Н∙м и кр = 924 Н∙м (см. приложение Б). Эти данные были использованы при определении НДС вала в случае его нагружения.

Рисунок 2. − эпюры суммарных изгибающих и крутящего моментов

Постановка задачи заключается в следующем. Рассматривается ступенчатый вал, изготовленный из стали 45 длиной = 308 мм с поверхностно упрочненным участком методом ГДО по длине наиболее нагруженной ступениупр = 120 мм, радиусом = 30 мм и ослабленный канавкой для выхода шлифовального круга (рис. 3). В качестве эксплуатационной нагрузки рассматриваются действующий в сечении на расстоянии 1 = 121,56 мм от правого торцевого сечения суммарный изгибающий момент = 472,4 ∙ 103 Н ∙ мм и крутящий момент кр = 924 Н∙м, которые приводят к возникновению отрицательно влияющих на прочность вала эксплуатационных растягивающих напряжений. Учитывая, что наличие шпоночных пазов вала определено из проектных расчетов с учетом значительного запаса прочности по известной расчетной методике [4, с.265], а также приняв во внимание лишь действие

образующихся	от	изгибающего	момента	растягивающих	осевых
напряжений = ( ), решение			задачи	сводилось к двухмерной

осесимметричной постановке. В силу этого деталь предварительно рассматривалась без канавки и без учета действия нагрузок в виде осесимметричного поперечного сечения в цилиндрической системе координат ( , , ) с центром в точке и осью вращения (см рис. 3).

Рисунок 3. − Схематическое изображение осесимметричного сечения вала с упрочненной ступенью и расположенным на ней концентратором напряжений в виде канавки

Процесс гидродробеструйного упрочнения наиболее нагруженной гладкой (без канавки) части детали «Вала ведомый» (где в дальнейшем предполагалось вытачивание концентратора напряжений) в рамках имитационного моделирования, основанного на методе численного решения термоупругой задачи [3] реализовывался с помощью рассмотренной в п.2.3 феноменологической модели. Для этого на начальном этапе рассчитывались компоненты тензоров всех ОН и ПД для изотропного упрочнения (к которому относится ГДО). Здесь компоненты зависят только от координаты (полярного радиуса) , т.е. = ( ), = ( ) ( = , , ). Все недиагональные компоненты, в свою очередь, полагаются равными нулю в силу их относительной малости, предполагается отсутствие в поверхностно упрочненном цилиндрическом образце возникающих вторичных ПД в области сжатия. Для их модельного расчета

должна быть определена экспериментальная компонента ОН ( ). Анализ

экспериментальных данных показывает, что для аппроксимации ОН на основе

известной из эксперимента эпюры ( ) можно использовать соотношение

( ) =		− exp (− (	( − )2	)),	(25)
( ) =		− exp (− (		)),	(25)
	0	1	2
			2
где 0, 1 и — параметры, подлежащие определению.
Обозначим через экспериментальное			значение ( ) при		= , а

через 0 — значение глубины слоя = − , при котором экспериментальные

значения ( ) = ( −			0	) = 0.		Другими словами,		экспериментальная
	0		0
зависимость удовлетворяет условиям [5]
		\|			=		= ,	(26)
					=
								16

																\|									= 0.																										(27)
																			= − 0
Используя (25) и (26) получаем
								= 0 − 1exp (− (												( − )2										)) = 0								− 1.													(28)
								= 0 − 1exp (− (																2						)) = 0								− 1.													(28)
																								2
Из соотношений (25) и (27) соответственно
														([ − ( − 0])2																														0		2					(29)
	0 =					− exp (− (																)) =									− exp (−												(		) ) .
	0 =					− exp (− (																)) =									− exp (−												(		) ) .
				0		1										2														0					1
																2
		Далее, выполним решение уравнения (25). Для этого умножим обе стороны
на и проинтегрируем по в пределах от нуля до
																																		( − )2
							∫ ( ) = ∫ − ∫ exp (− (																											( − )2							)) .
							∫ ( ) = ∫ − ∫ exp (− (																																		)) .
															0						1															2
						0									0				0																	2
						0									0				0
Учитывая условие самоуравновешенности (3)
																								( − )2
																								( − )2
									∫ 0 − ∫ 1exp (− (																							)) = 0,
									∫ 0 − ∫ 1exp (− (																		2					)) = 0,
								0							0												2
								0							0
и
																									( − )2
																									( − )2
											0					= ∫ 1exp (− (																	)) .
											0					= ∫ 1exp (− (											2						)) .
															0												2
															0
Преобразуем правую часть и возьмем интеграл
																										2		∫ exp(− 2) = erf( ) + .
		√			2								( − )2															∫ exp(− 2) = erf( ) + .
	∙	√		∙	2		∫ exp (− (						( − )2				)) =									√																						′				=
	∙			∙			∫ exp (− (										)) =						−																											1		=
1	2				√											2							−																											1
					√	0															[									= ;								= (					−			) = −					.	]
						0																								= ;								= (					−			) = −					.


									√			2			∫ exp(− 2) = (− ) ∙																				√							−
			= (− )					∙	√		∙	2																							√		erf (					−					)		=
			= (− )					∙			∙																								2		erf (										)		=
						1		2				√			0																1				2														0
															0																																		0
																−
			= (− ) ∙					√		(erf (						−		) − erf (			− 0								)) = ∙										√	erf (								) .			(30)
			= (− ) ∙					2		(erf (								) − erf (											)) = ∙									2		erf (								) .			(30)
						1		2																											1			2

Таким образом, воспользовавшись (29) и (30) получаем выражение для определения параметра аппроксимации

		2
	0	2	√			(31)
exp (− (		) ) =		erf (	) .
exp (− (		) ) =	2	erf (	) .
			2
						17

Определим радиальные остаточные напряжения ( ) из (4) и (25)

( − )2

( )

∫ [

− exp (− (

))] =

{

∫ −

( − )2

− 1 ∫ exp (− (

)) } = 0 −

∫ exp (− (

)) =

∫ exp(− 2) = erf( ) + .

√

∫ exp(−

−

′

= 0 +

2 ∙

√

= ;

= (

−

) = −

[

]

= +

∙

√

erf (

−

)

∙

√

[erf (

−

)

− erf (

)].

Окончательно принимаем

−

( ) =

−

∙

√

[erf (

) − erf (

)] .

(32)

Найдем параметр аппроксимации по выражению (31), которое является трансцендентным и решается численным (или графическим) методом. Воспользуемся калькулятором Desmos с учётом того, что известны величины = 30 мм (радиус упрочняемой ступени вала) и 0 = 0,378 мм (значение глубины слоя, принимаемое равным аналогичному упрочненному тем же методом ГДО образцу из стали 45 радиусом 1 = 5 мм [3]). Так как выбранный калькулятор выполняет построение графиков вида = ( ), примем параметр аппроксимации= . Перенесем правую часть уравнения (31) и подставим указанные выше известные значения

	0,378 ∙ 10−3	2			30 ∙ 10−3
			√
= exp (− (		)) −		erf (		).
			2 ∙ 30 ∙ 10−3

Приравняв уравнение к нулю, получим корень уравнения = = 0,000164 м = 0,164 ∙ 10−3 м = 0,164 мм (см. рис. 4).

Далее, по известному значению и соотношениям (28) и (29) определяем

Рисунок 4. − Значение параметра аппроксимации

Для идентификации последнего параметра аппроксимации 0 используем соотношение (28)

0 = + 1 = −340 + 342,04 = 2,04 МПа.

Дальнейшая реализация метода численного расчета полей ОН и ПД проводилась по ранее упомянутым зависимостям (25), (32), (23), (21), (10) и (14), которые для удобства отразим ниже в виде системы уравнений:

( )

− exp (− (

( − )2

)) ,

( ) =

−

∙

√

[erf (

)

− erf (

−

)] ,

∫ { ( ) −

[( ( )

+ ( ))]} ,

1 − 2

2−

( ) =

∫ 1+[ ( ) − 2 ( )] −

(1 + )

−[ ( )(1 − ) − ( )],

( ) = −2 ( ),

{( ) = ( 0 − ( )) + ( ( ) + ( )).

Расчет каждой компоненты ОН и ПД выполнялся дискретизацией упрочненного слоя 0 = 0,378 мм с установленным шагом = 0,007 мм с помощью программы Microsoft Excel (см. рис. 5) в пределах 5 мм от наружной упрочненной гладкой поверхности вала.

Рисунок 5. – Расчет компонент полей ОН и ПД в программе Microsoft Excel

На следующем этапе решалась температурная задача в программной конечно-элементной среде ANSYS. Здесь рассчитанные компоненты тензоров остаточных ПД = ( ) ( = , , ) полагались равными температурным деформациям (см. рис. 6)

	( ) =	( ( ))[ ( ) − ]	( = , , , 0 ≤ ≤ ),	(33)
		0

где ( ( )) − коэффициенты температурного расширения;= ( ) − неоднородное температурное поле с малым градиентом температур, не зависящее от закона распределения;

0 = ( 1) = 20 °C − значение температуры в неупрочненной области вала, ограниченное координатой = 1 = 25 мм;

1 = ( ) = 30 °C − значение температуры на упрочненной поверхности ( == 30 мм).

Решение позволило имитировать деформированный вследствие упрочнения слой, определив в пределах 0 ≤ ≤ 30 мм необходимые коэффициенты ( ( )).

Рисунок 6. – Расчет коэффициентов температурного расширения ( ( ))

В результате численного решения температурной задачи в ANSYS были получены поля распределения температур с пересчитанными коэффициентами( ( )) в пределах всей модели вала (см. рис.7).

<<< < Предыдущая 12 / 42 3 4 > Следующая >>>