2.2 Нахождение операторного выражения входного сопротивления нагрузки

2.2.1 Вывод выражений схемных функций

Операторные функции формально получаются из комплексных заменой на оператор p:

Схема входного сопротивления нагрузки в операторном виде представлена на рисунке 2.7:

Рисунок 2.9 - Операторная схема исследуемой нагрузки

Формула для нахождения операторного выражения входного сопротивления нагрузки будет выглядеть следующим образом:

	(2.1)

Заменой получим входное сопротивление нагрузки:

	(2.2)

2.2.2 Проверка и анализ выражений схемных функций

Чтобы проверить правильность найденного выражения входного сопротивления, необходимо произвести расчёт операторного выражения сопротивления с учётом размерности элементов цепи:

должно имеет размерность [Ом], что подтверждается произведёнными вычислениями.

Следующий метод проверки заключается в сравнении значений операторного выражения сопротивления на крайних частотах ( ) с предполагаемыми значениями, рассмотренными в пункте 2.1:

Полученные значения сходятся с предполагаемыми ранее, что подтверждает правильность выражения.

2.3 Нахождение частоты и сопротивления резонанса

По определению фазовый резонанс в цепи содержащий реактивные элементы, наступает в том случае, когда входное сопротивление чисто активно. Пользуясь данным утверждением, выделим мнимую часть из функции и приравняем ее к нулю.

Для упрощения расчётов, представим в комплексной форме с коэффициентами a, b, c, d:

Тогда, исходя из полученного выражения , коэффициенты примут следующие значения:

Чтобы выделить комплексную часть из выражения, необходимо умножить дробь в выражении на комплексно сопряжённый знаменатель:

Получим следующее выражение для нахождения резонансных частот:

Подставив значения коэффициентов и решив уравнение относительно частоты, получим следующие корни (решение уравнения с помощью программы Mathcad представлено в приложении А на рисунке 1):

,

где и – посторонние корни, так как значение резонансной частоты может принимать действительные значения больше и не равное нулю. Следовательно, рад/с, а сопротивление Ом.

На рисунке 2.8 представлен график полученной АЧХ нагрузки:

Рисунок 2.10 - График АЧХ

Из графика АЧХ видно, что , , и совпадают с предполагаемыми и вычисленными ранее значениями.

ФЧХ входной функции найдём как арктангенс входного сопротивления нагрузки, умноженный на для получения значений в градусах (рисунок 2.9):

Рисунок 2.11 - График ФЧХ нагрузки

Графики АЧХ и ФЧХ нагрузки (рисунки 3.2 и 3.3) полностью совпадают с предполагаемым расчетом.

Чтобы выполнить учёт потерь, необходимо привести схему к простому параллельному контуру, где элементы и соединены последовательно (рисунок 2.10):

Рисунок 2.12 – Схемы для учёта потерь: а) исходная схема, б) , простой параллельный контур I вида

Резонанс в любой электрической цепи, содержащей L, C, R, наступает, когда частота внешнего воздействующего сигнала совпадает с резонансной частотой самой электрической цепи ( ). Резонанс в такой цепи сопровождается экстремальными значениями токов и напряжений, а также чисто активным входным сопротивлением. Для последовательного контура (элементы L, C, R включены последовательно):

, ,

где – сопротивление потерь контура, равное - полное сопротивление цепи, включающее сопротивление потерь катушки индуктивности и конденсатора, потери на излучение, в соединительных проводах и др.

Расчёт сопротивления потерь контура: