Имитация Практика №2

Решение задач

Задача 1

Условие:

Группа станций совместно использует канал по протоколу «Чистая ALOHA», поддерживающий скорость 56 Кбит/с. В среднем каждые 10 с любая станция передает пакет данных, даже если на данный момент предыдущий пакет еще не отправлен (т. е. станция заносит пакеты в буфер). Размер каждого пакета равен 3000 бит. Найдите максимальное число станций, которые могут одновременно использовать данный канал. Процесс прибытия пакетов считать пуассоновским.

Решение:

Для протокола «Чистая ALOHA» максимальная нормированная пропускная способность достигается при G = 0,5 и равна ρ_max = 1/(2e) ≈ 0,184. Это означает, что канал может быть использован не более чем на 18,4 % своей емкости.

1. Определим емкость канала (максимальную скорость передачи) R = 56 Кбит/с = 56000 бит/с.

2. Размер пакета b = 3000 бит.

3. Время передачи одного пакета τ = b / R = 3000 / 56000 ≈ 0,05357 с.

4. Нормированная пропускная способность ρ = (b * λ) / R, где λ – суммарная интенсивность успешно переданных пакетов (пакетов/с). При максимальной загрузке ρ = ρ_max = 0,184.

Тогда b * λ = ρ_max * R, откуда λ = ρ_max * R / b = 0,184 * 56000 / 3000 ≈ 3,435 пакетов/с.

Это максимальная суммарная интенсивность успешно переданных пакетов.

5. Каждая станция в среднем передает пакет каждые 10 с, т. е. интенсивность одной станции λ_st = 1/10 = 0,1 пакет/с.

6. Общая интенсивность всех станций (с учетом повторных передач) должна быть такой, чтобы при G = 0,5 достигался максимум. В протоколе «Чистая ALOHA» G – это полная интенсивность (первичные + повторные передачи), и она связана с интенсивностью успешных передач λ соотношением λ = G * e^{-2G}. При G = 0,5 λ = 0,5 * e^{-1} = 0,5 / e ≈ 0,184. Это интенсивность успешных пакетов в единицах времени кадра. Пересчитаем λ в пакеты в секунду: λ (пакет/с) = λ * (1/τ) = 0,184 / τ = 0,184 / 0,05357 ≈ 3,435 пакет/с. Мы уже получили это значение.

Однако в условии сказано, что станции генерируют новые пакеты (первичные) с интенсивностью 0,1 пакет/с каждая. При работе протокола часть пакетов теряется, поэтому для обеспечения максимальной пропускной способности суммарная интенсивность первичных пакетов должна быть равна λ = 0,184 пакет/с в единицах времени кадра (или 3,435 пакет/с). Но поскольку станции не могут генерировать больше, чем они генерируют, то максимальное число станций N определяется из условия, что суммарная первичная нагрузка N * λ_st не превышает λ, иначе система перегрузится и пропускная способность упадет. На самом деле, в протоколе ALOHA первичная нагрузка (интенсивность новых пакетов) обозначается обычно как S (или λ), а полная нагрузка G = S + повторные. Для максимальной пропускной способности G = 0,5, а S = G e^{-2G} = 0,5 e^{-1} ≈ 0,184. Значит, суммарная интенсивность новых пакетов (первичных) не должна превышать 0,184 в единицах времени кадра. В абсолютных единицах это 0,184 / τ = 3,435 пакет/с. Каждая станция дает 0,1 пакет/с, поэтому максимальное число станций N = 3,435 / 0,1 ≈ 34,35. Так как число станций целое, максимальное количество – 34. При 34 станциях суммарная интенсивность первичных пакетов 3,4 пакет/с, что меньше максимальной, система будет работать с пропускной способностью чуть ниже максимальной. При 35 станциях первичная нагрузка 3,5 пакет/с, что уже превышает максимальную достижимую пропускную способность, и канал будет перегружен. Поэтому максимальное число станций – 34.

Ответ: максимальное число станций, которые могут одновременно использовать канал, равно 34.

Задача 2

Условие:

Группа из трех станций совместно использует канал по протоколу «Чистая ALOHA», поддерживающий скорость 56 Кбит/с. Средняя скорость передачи данных станциями равна следующему: R1 = 7,5 Кбит/с, R2 = 10 кбит/с, R3 = 20 Кбит/с. Размер каждого пакета составляет 100 бит. Вычислите нормированный объем информации, которой обмениваются через канал, нормированную пропускную способность, вероятность успешной передачи и скорость поступления успешно переданных пакетов. Процесс поступления пакетов считать пуассоновским.

Решение:

Скорость канала R = 56 Кбит/с = 56000 бит/с. Размер пакета b = 100 бит. Время передачи одного пакета τ = b / R = 100 / 56000 ≈ 0,0017857 с (≈ 1,7857 мс).

Станции генерируют пакеты с разными интенсивностями. Переведем заданные скорости передачи данных (в бит/с) в интенсивности пакетов (пакет/с):

· Станция 1: λ1 = R1 / b = 7500 / 100 = 75 пакет/с.

· Станция 2: λ2 = 10000 / 100 = 100 пакет/с.

· Станция 3: λ3 = 20000 / 100 = 200 пакет/с.

Суммарная интенсивность первичных (новых) пакетов: λ_new = λ1 + λ2 + λ3 = 75 + 100 + 200 = 375 пакет/с.

В протоколе «Чистая ALOHA» полная интенсивность (с учетом повторных передач) G выражается в единицах времени кадра. Нормированный полный информационный обмен G = (b * λ_total) / R = λ_total * τ, где λ_total – полная интенсивность (первичные + повторные) в пакет/с. В условиях задачи не заданы повторные передачи, поэтому предположим, что система работает в стационарном режиме, и полная интенсивность G равна интенсивности первичных пакетов (если нет повторных, то это не так, но в реальности повторные возникают). Однако для расчета обычно используют первичную интенсивность как основу, а затем находят S = G e^{-2G} и т.д. Но здесь даны только первичные интенсивности. Поскольку протокол ALOHA предполагает повторные передачи, то фактическая полная интенсивность G будет больше, чем λ_new * τ, но в условии не указано, как именно происходит повторная передача. Часто в задачах предполагается, что заданная интенсивность – это суммарная интенсивность передаваемых пакетов (включая повторные) или же это первичная нагрузка. В данном случае сказано "средняя скорость передачи данных станциями", что скорее всего означает скорость, с которой станции выдают данные (первичные). Тогда для нахождения характеристик системы нужно сначала вычислить G как λ_new * τ, затем найти S = G e^{-2G} и т.д. Так и поступим.

1. Вычислим λ_total (первичная) в пакетах за время кадра: G = λ_new * τ = 375 * (100 / 56000) = 375 * (1/560) ≈ 0,66964. (Точнее: 375 * 100 / 56000 = 37500 / 56000 = 0,66964). Это и есть нормированный полный информационный обмен G (в единицах времени кадра). То есть G ≈ 0,6696.

2. Нормированная пропускная способность ρ = G * e^{-2G} = 0,6696 * e^{-1,3392}. Вычислим e^{-1,3392}. e^{-1,3392} = 1 / e^{1,3392}. e^{1,3392} ≈ 3,815 (поскольку e^1 = 2,718, e^0,3392 ≈ 1,404, произведение ≈ 3,815). Тогда e^{-1,3392} ≈ 0,2621. Тогда ρ = 0,6696 * 0,2621 ≈ 0,1755. Это нормированная пропускная способность (доля успешно переданных данных от емкости канала).

3. Вероятность успешной передачи P_s = e^{-2G} = e^{-1,3392} ≈ 0,2621.

4. Скорость поступления успешно переданных пакетов (интенсивность успешных передач) λ_success = ρ / τ = 0,1755 / (100/56000) = 0,1755 * (56000/100) = 0,1755 * 560 = 98,28 пакет/с. Можно также через λ_new и P_s: λ_success = λ_new * P_s = 375 * 0,2621 ≈ 98,29 пакет/с.

Ответ:

· Нормированный полный информационный обмен G ≈ 0,6696.

· Нормированная пропускная способность ρ ≈ 0,1755.

· Вероятность успешной передачи P_s ≈ 0,2621.

· Скорость поступления успешно переданных пакетов ≈ 98,3 пакет/с.

Задача 3

Условие:

Докажите, что при использовании чистой схемы ALOHA нормированная пропускная способность не превышает 1/(2е), а максимум наблюдается при нормированном объеме переданной информации, равном 0,5.

Решение:

В протоколе «Чистая ALOHA» нормированная пропускная способность ρ и нормированный полный информационный обмен G связаны соотношением: ρ = G e^{-2G}. Необходимо найти максимум функции ρ(G) на области G ≥ 0.

Для этого вычислим производную dρ/dG:

ρ(G) = G e^{-2G}.

Производная: ρ'(G) = e^{-2G} + G * (-2) e^{-2G} = e^{-2G} (1 - 2G).

Приравняем производную к нулю: e^{-2G} (1 - 2G) = 0. Так как e^{-2G} > 0 для любого G, то 1 - 2G = 0, откуда G = 0,5.

Проверим, что это точка максимума. При G < 0,5 производная положительна (1-2G > 0), функция возрастает; при G > 0,5 производная отрицательна, функция убывает. Следовательно, G = 0,5 – точка максимума.

Вычислим максимальное значение ρ_max = 0,5 * e^{-2*0,5} = 0,5 * e^{-1} = 0,5 / e = 1/(2e). Таким образом, нормированная пропускная способность не может превышать 1/(2e) ≈ 0,184, и максимум достигается при G = 0,5. Что и требовалось доказать.