ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Анализ задач с 4.1 по 4.10 показал, что нормальный закон распределения требует обязательного учета параметров рассеивания (среднеквадратического отклонения и коэффициента вариации). Было установлено, что вид функции Лапласа жёстко задает вероятности безотказной работы и отказа. Также на практике было подтверждено, что использование нормального закона ограничено физическим смыслом и применимо в основном для оценки периодов приработки и старения изделий, когда отказы носят закономерный характер износа.

В задачах 4.12 и 4.13, решённых с применением экспоненциального закона, продемонстрирована простота математического аппарата. Показано, что главным свойством данного закона является постоянство интенсивности отказов во времени, что позволяет легко пересчитывать вероятность безотказной работы в среднюю наработку на отказ и наоборот. Это распределение оптимально описывает внезапные отказы в период нормальной эксплуатации систем.

При решении задач 4.11 и 4.14 по закону Вейбулла была выявлена гибкость данного распределения. За счет параметра формы α закон Вейбулла способен описывать как убывающую, так и возрастающую интенсивность отказов, что делает его универсальным инструментом для моделирования жизненного цикла объектов со сложным характером изнашивания. Расчет средней наработки потребовал применения гамма-функции, что подтверждает математическую сложность, но высокую точность данного метода.

Полученные результаты позволяют сделать вывод о том, что правильный выбор теоретического закона распределения на основе статистических данных является критически важным этапом проектирования автоматизированных систем, так как использование неверной модели может привести к ошибкам в оценке надежности в несколько раз.

17

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Что представляет собой закон распределения случайной величины? Ответ: Закон распределения случайной величины – это

математическое описание, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины (в надежности — наработки до отказа) и соответствующими им вероятностями появления этих значений.

2.Для расчета каких показателей и технических систем применяется нормальный закон распределения?

Ответ: Применяется для описания постепенных отказов, возникающих вследствие износа, старения материалов или усталости. Используется для оценки надежности систем на этапе старения (конечный участок кривой жизни) и для описания рассеивания параметров качества при массовом производстве.

3.Расчет показателей надежности, подчиняющихся нормальному закону распределения.

Ответ: Расчет ведется с использованием функции Лапласа Ф(Up).

Определяется квантиль Up = , затем по таблицам находится Ф(Up).

Вероятность безотказной работы P(t) = 1 – Ф(Up), вероятность отказа Q(t) = Ф(Up), а интенсивность отказов λ(t) находится как отношение плотности вероятности f(t) к P(t).

4.Для расчета каких показателей и технических систем применяется экспоненциальный закон распределения?

Ответ: Применяется для описания внезапных отказов сложных систем

впериод нормальной эксплуатации, когда интенсивность отказов постоянна (λ = const). Характерен для электронных и электротехнических элементов, не подверженных постепенному износу.

5.Расчет показателей надежности, подчиняющихся экспоненциальному закону распределения.

Ответ: Вероятность безотказной работы рассчитывается по формуле

18

P(t) = e–λt. Вероятность отказа Q(t) = 1 – e–λt. Средняя наработка на обратна интенсивности отказов Mt = . Частота отказов f(t) равна интенсивности отказов λ.

6.Для расчета каких показателей и технических систем применяется закон распределения Вейбулла?

Ответ: Является универсальным законом. При разных параметрах формы описывает все три периода жизненного цикла (приработку, нормальную эксплуатацию, старение). Широко применяется для механических систем (подшипники, зубчатые передачи) и деталей, подверженных усталостному разрушению.

7.Расчет показателей надежности, подчиняющихся закону распределения Вейбулла.

Ответ: Вероятность безотказной работы P(t) = . Интенсивность отказов λ(t) = α∙λ∙tα–1. Для расчета средней наработки до отказа Mt

применяется гамма-функция Mt = .

8.Для расчета каких показателей и технических систем применяется гамма-распределение?

Ответ: Применяется для описания времени наработки до отказа систем с резервированием (особенно с нагруженным резервом), а также для анализа систем с многоступенчатым процессом деградации и при оценке времени восстановления отказавших объектов.

9.Расчет показателей надежности, подчиняющихся гаммараспределению.

Ответ: Расчет вероятности безотказной работы P(t) осуществляется через табулированные значения неполной гамма-функции. Интенсивность отказов λ(t) вычисляется как отношение плотности распределения f(t) к вероятности безотказной работы P(t) с использованием параметров формы и масштаба.

19

10.Для расчета каких показателей и технических систем применяется логарифмически нормальное распределение?

Ответ: Применяется для описания процессов, скорость развития которых пропорциональна уже достигнутому уровню деградации (например, рост трещин, коррозия, износ). Используется для оценки ресурса деталей машин, работающих в условиях переменных нагрузок.

11.Расчет показателей надежности, подчиняющихся логарифмически нормальному распределению.

Ответ: Логарифм наработки до отказа подчиняется нормальному закону. Расчет P(t) ведется по функциям Лапласа с подстановкой логарифмов

времени: Up = . Вероятность безотказной работы P(t) = 1 –

Ф(Up).

20