Интенсивность отказов λ(t)
Определение: отношение плотности распределения f(t) к вероятности безотказной работы P(t).
Формула:
λ(t)=P(t)f(t).
Статистическая оценка:
λ(t)=Nср(t)⋅Δtn,
где Nср(t) — среднее число исправно работающих образцов в интервале Δt.
Гамма‑процентный ресурс Tpγ
Определение: наработка, в течение которой объект не достигнет предельного состояния с вероятностью γ (в %).
Пример: Tp90 — наработка, при которой 90 % образцов остаются работоспособными.
Взаимосвязи между критериями
P(t)+Q(t)=1.
f(t)=−P′(t) (производная от P(t) по времени).
λ(t)=P(t)f(t).
Практическое применение
Эти критерии позволяют:
прогнозировать сроки службы оборудования;
планировать замену компонентов;
оценивать риски отказов;
сравнивать надёжность различных систем.
Пример расчёта Пусть в испытании участвуют N0=100 образцов. За t=1000 часов отказало n(t)=5 образцов. Тогда:
P(1000)=100100−5=0,95 (95 %);
Q(1000)=1−0,95=0,05 (5 %).
Важные замечания
Для точного расчёта критериев необходимы статистические данные об отказах.
Выбор конкретного критерия зависит от задачи (например, для критичных систем важнее P(t), а для массового оборудования — Tср).
На практике часто используют экспоненциальное распределение отказов, при котором λ(t)=λ=const, а P(t)=e−λt.
Расчет критериев надежности для невосстанавливаемых систем
Часть 1 Задача 1
Пусть на испытании находилось N0 образцов невосстанавливаемой системы. Через промежуток времени t часов отказало R образцов. Требуется определить вероятность безотказной работы P(t). Исходные данные приведены в таблице 1.
Таблица 1. Исходные данные
№ вар. |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
N0 |
1000 |
1200 |
2000 |
3000 |
4000 |
5000 |
1500 |
2500 |
4500 |
3500 |
t, ч |
100 |
200 |
300 |
250 |
400 |
150 |
120 |
450 |
230 |
220 |
R |
200 |
150 |
400 |
250 |
500 |
400 |
300 |
200 |
120 |
230 |
Задача 2
Пусть на испытании находилось N0 образцов невосстанавливаемой системы. Через промежуток времени t часов отказало R образцов. Требуется определить вероятность отказов Q(t). Исходные данные приведены в таблице 2.
Таблица 2. Исходные данные
№ вар. |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
N0 |
1250 |
1300 |
2400 |
2500 |
4100 |
5400 |
1500 |
2500 |
4800 |
3700 |
t, ч |
140 |
100 |
330 |
250 |
420 |
180 |
120 |
500 |
250 |
240 |
R |
300 |
250 |
400 |
270 |
504 |
420 |
300 |
100 |
100 |
300 |
Задача 3
Пусть на испытании находилось N0 образцов невосстанавливаемой системы. Вероятность безотказной работы систем за t часов P(t). Определить вероятность отказов систем за t часов. Исходные данные приведены в таблице 3.
Таблица 3. Исходные данные
№ вар. |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
N0 |
1250 |
1300 |
2400 |
2500 |
4100 |
5400 |
1500 |
2500 |
4800 |
3700 |
t, ч |
140 |
100 |
330 |
250 |
420 |
180 |
120 |
500 |
250 |
240 |
P(t) |
0,5 |
0,67 |
0,7 |
0,72 |
0,8 |
0,81 |
0,83 |
0,87 |
0,9 |
0,93 |
Задача 4
Пусть на испытании находилось N0 образцов невосстанавливаемой системы. Через промежуток времени t часов отказало R образцов. Требуется определить частоту отказов a(t). Исходные данные приведены в таблице 4.
Таблица 4. Исходные данные
№ вар. |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
N0 |
1500 |
1600 |
1700 |
1800 |
1900 |
2000 |
2100 |
1500 |
1550 |
1900 |
t, ч |
180 |
190 |
200 |
210 |
250 |
230 |
300 |
250 |
150 |
220 |
R |
200 |
100 |
50 |
70 |
85 |
78 |
30 |
90 |
120 |
130 |
Задача 5
Пусть на испытании находилось
1500 образцов невосстанавливаемой системы.
Через промежуток времени 250 часов
отказало 300 образцов. Требуется определить
интенсивность отказов
(t).
Задача 6
Пусть на испытании находилось 1000 образцов некоторой невосстанавливаемой системы, и отказы фиксировались через каждые 100 часов работы, результаты представлены в таблице 5. Требуется определить: вероятность безотказной работы, вероятность отказов, интенсивность отказов и частоту отказов на каждом участке времени, а также построить графики зависимости всех вышеперечисленных параметров от времени.
Таблица 5. Результаты испытаний
№ вар. |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
R, штук |
|||||||||
0-100 |
50 |
60 |
40 |
75 |
85 |
80 |
35 |
45 |
40 |
73 |
100-200 |
40 |
48 |
32 |
60 |
68 |
64 |
28 |
39 |
33 |
65 |
200-300 |
32 |
38 |
26 |
48 |
54 |
51 |
22 |
32 |
25 |
50 |
300-400 |
25 |
30 |
20 |
38 |
43 |
40 |
18 |
25 |
21 |
45 |
400-500 |
20 |
24 |
16 |
30 |
34 |
32 |
14 |
22 |
18 |
29 |
500-600 |
17 |
20 |
14 |
26 |
29 |
27 |
12 |
21 |
17 |
25 |
600-700 |
16 |
19 |
13 |
24 |
27 |
26 |
11 |
16 |
15 |
23 |
700-800 |
16 |
19 |
13 |
24 |
27 |
26 |
11 |
16 |
14 |
23 |
800-900 |
15 |
18 |
12 |
23 |
26 |
24 |
11 |
17 |
12 |
23 |
900- 1000 |
14 |
17 |
11 |
21 |
24 |
22 |
10 |
14 |
11 |
22 |
1000- 1100 |
15 |
18 |
12 |
23 |
26 |
24 |
11 |
15 |
12 |
24 |
1100- 1200 |
14 |
17 |
11 |
21 |
24 |
22 |
10 |
14 |
11 |
22 |
1200- 1300 |
14 |
17 |
11 |
21 |
24 |
22 |
10 |
12 |
11 |
22 |
1300- 1400 |
13 |
16 |
10 |
20 |
22 |
21 |
9 |
13 |
10 |
20 |
1400- 1500 |
14 |
17 |
11 |
21 |
24 |
22 |
10 |
15 |
11 |
22 |
1500- 1600 |
13 |
16 |
10 |
20 |
22 |
21 |
9 |
14 |
10 |
20 |
1600- 1700 |
13 |
16 |
10 |
20 |
22 |
21 |
9 |
13 |
10 |
20 |
1700- 1800 |
13 |
16 |
10 |
20 |
22 |
21 |
9 |
13 |
10 |
21 |
1800- 1900 |
14 |
17 |
11 |
21 |
24 |
22 |
10 |
14 |
11 |
22 |
1900- 2000 |
12 |
14 |
10 |
18 |
20 |
19 |
8 |
11 |
9 |
19 |
2000- 2100 |
12 |
14 |
10 |
18 |
20 |
19 |
8 |
11 |
9 |
19 |
2100- 2200 |
13 |
16 |
10 |
20 |
22 |
21 |
9 |
11 |
9 |
21 |
2200- 2300 |
12 |
14 |
10 |
18 |
20 |
19 |
8 |
12 |
10 |
19 |
2300- 2400 |
13 |
16 |
10 |
20 |
22 |
21 |
9 |
13 |
10 |
21 |
2400- 2500 |
14 |
17 |
11 |
21 |
24 |
22 |
10 |
14 |
11 |
22 |
2500- 2600 |
16 |
19 |
13 |
24 |
27 |
26 |
11 |
16 |
13 |
28 |
2600- 2700 |
20 |
24 |
16 |
30 |
34 |
32 |
14 |
21 |
16 |
34 |
2700- 2800 |
25 |
30 |
20 |
38 |
43 |
40 |
18 |
26 |
20 |
39 |
2800- 2900 |
30 |
36 |
24 |
45 |
51 |
48 |
21 |
29 |
25 |
45 |
2900- 3000 |
40 |
48 |
32 |
60 |
68 |
64 |
28 |
40 |
33 |
63 |
t,
ч
Задача 7
В процессе эксплуатации 1000 систем учитывалось число отказов каждые 100 часов, результаты представлены в таблице 6. Определите среднее время исправной работы за: а) 900 часов; б) 600 часов; в) 300 часов.
Таблица 6. Результаты эксплуатации
t, ч |
0-100 |
100-200 |
200-300 |
300-400 |
400-500 |
500-600 |
600-700 |
700-800 |
800-900 |
R |
20 |
25 |
35 |
50 |
30 |
50 |
40 |
45 |
47 |
Средняя наработка до отказа определяется по формуле:
Где
– средняя наработка до наступления
отказа;
-
число отказов
Задача 8
Какова вероятность безотказной работы системы в начальный момент времени?
Задача 9
На испытание поставлено N0 образцов. За период времени t часов произошло Rс сбоев. Необходимо определить вероятность бессбойной работы образцов. Результаты испытаний представлены в таблице 7.
Таблица 7. Результаты испытаний
№ вар. |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
N0 |
100 |
200 |
230 |
150 |
220 |
120 |
130 |
140 |
150 |
120 |
t, ч |
10 |
20 |
40 |
30 |
50 |
15 |
30 |
60 |
50 |
12 |
Rс |
5 |
10 |
12 |
16 |
20 |
25 |
20 |
2 |
5 |
7 |
Задача 10
На испытание поставлено 5 образцов. Первый проработал безотказно 1 час, второй 3 часа, третий 2 часа, четвертый 4 часа, пятый 1 час. Необходимо определить среднее время безотказной работы.
Пример выполнения лабораторной работы № 1.
Решим первый вариант задачи. Определим сначала вероятность безотказной работы для всех отрезков времени:
где N0 – количество образцов в начальный момент времени,
R(t) – количество отказов образцов.
…………………………………………………………………………………………..
На основании полученных результатов строим график зависимости безотказной работы системы от времени (рисунок 1).
Рисунок 1 – Зависимость вероятности безотказной работы системы от времени
Затем рассчитаем вероятность отказа:
………………………………………………………………………………
По полученным данным строится график зависимости вероятности отказов системы от времени (рисунок 2).
Рисунок 2 – Зависимость вероятности отказов системы от времени
Теперь определим частоту отказов системы на отрезках времени:
………………………………………………………………………………...
По полученным данным строится график зависимости частоты отказов системы от времени (рисунок 3).
Рисунок 3 - Зависимость частоты отказов системы от времени
Теперь определим интенсивность отказов на отрезках на отрезках времени:
……………………………………………………………………………………….
Построим график зависимости интенсивности отказов системы от времени (рисунок 4).
Рисунок 4 - Зависимость интенсивности отказов системы от времени