- •ТЕРМИНЫ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ
- •перечень сокращений и обозначений
- •Введение
- •1. ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗЫ О ПРИНАДЛЕЖНОСТИ ОПЫТНЫХ ДАННЫХ ВЫБРАННОМУ ЗАКОНУ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
- •1.1 Расчёт параметров статистического ряда распределения
- •1.2 Определение числовых характеристик наработок
- •1.3. Построение гистограммы
- •1.4. Нормирование случайной велечины
- •1.6. Расчёт критерия согласия χ² пирсона
- •1.7. Расчёт интегральных функций распределения P(t) и F(t)
- •ЗАКЛЮЧЕНИЕ
- •Контрольные вопросы
- •СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ
МИНИСТЕРСТВО ЦИФРОВОГО РАЗВИТИЯ, СВЯЗИ И МАССОВЫХ КОММУНИКАЦИЙ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Ордена Трудового Красного Знамени федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования Московский технический университет связи и информатики (МТУСИ)
УДК 519.233.5:629.113 Рег. № НИОКТР 000000000006
Рег. № ИКРБС
ОТЧЕТ О ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЕ № 6
ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗЫ О ПРИНАДЛЕЖНОСТИ ОПЫТНЫХ ДАННЫХ ВЫБРАННОМУ ЗАКОНУ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
(заключительный)
по дисциплине Диагностика и надёжность автоматизированных систем
Вариант №11
Выполнил:
студент 4-го курса группы БАП2201 Мягков А.К.
Проверил: к.т.н., доцент Васильева Т.Ю.
Москва 2026
РЕФЕРАТ
Отчет 15 с., 1 кн., 2 рис., 5 табл., 5 источн., 0 прил.
НАДЕЖНОСТЬ, НАРАБОТКА ДО ОТКАЗА, КРИТЕРИЙ СОГЛАСИЯ, КРИТЕРИЙ ХИ-КВАДРАТ ПИРСОНА, НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ, ФУНКЦИЯ ЛАПЛАСА, УРОВЕНЬ ЗНАЧИМОСТИ, ЧИСЛО СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ, ГИСТОГРАММА.
Объектом исследования является статистическое распределение наработок до отказа узлов (агрегатов) автомобиля.
Цель работы – изучение критериев согласия, служащих для проверки гипотезы о выбранном законе распределения, и осуществление проверки принадлежности статистического распределения выбранному закону с помощью критерия согласия χ² Пирсона.
В ходе выполнения лабораторной работы были обработаны экспериментальные данные наработок до отказа, определены основные параметры статистического ряда (математическое ожидание, среднеквадратическое отклонение, коэффициент вариации), построена гистограмма распределения. Произведена проверка гипотезы о принадлежности опытных данных нормальному закону распределения путем вычисления теоретических частот и опытного значения критерия χ², а также осуществлено его сравнение с табличным значением при заданном уровне значимости. Построены графики интегральных функций распределения вероятности безотказной работы P(t) и вероятности отказов F(t).
Результаты работы могут быть использованы для обоснования выбора теоретического закона распределения отказов при расчетах показателей надежности автомобилей, прогнозировании остаточного ресурса узлов и планировании объемов технического обслуживания и ремонта.
2
СОДЕРЖАНИЕ |
|
ТЕРМИНЫ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ............................................................................ |
4 |
ПЕРЕЧЕНЬ СОКРАЩЕНИЙ И ОБОЗНАЧЕНИЙ............................................... |
5 |
ВВЕДЕНИЕ............................................................................................................. |
6 |
1. ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗЫ О ПРИНАДЛЕЖНОСТИ ОПЫТНЫХ ДАННЫХ |
|
ВЫБРАННОМУ ЗАКОНУ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ................................................... |
7 |
1.1 РАСЧЁТ ПАРАМЕТРОВ СТАТИСТИЧЕСКОГО РЯДА |
|
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ..................................................................................... |
7 |
1.2 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЧИСЛОВЫХ ХАРАКТЕРИСТИК НАРАБОТОК...... |
7 |
1.3. ПОСТРОЕНИЕ ГИСТОГРАММЫ........................................................... |
8 |
1.4. НОРМИРОВАНИЕ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛЕЧИНЫ................................... |
8 |
1.5. РАСЧЁТ ТЕОРЕТИЧЕСКИХ ЧАСТОТ ПОПАДАНИЯ НАРАБОТОК |
|
В ИНТЕРВАЛЫ.......................................................................................... |
9 |
1.6. РАСЧЁТ КРИТЕРИЯ СОГЛАСИЯ Χ² ПИРСОНА.................................. |
9 |
1.7. РАСЧЁТ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ P(T) И |
|
F(T)............................................................................................................. |
10 |
ЗАКЛЮЧЕНИЕ..................................................................................................... |
12 |
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ.............................................................................. |
13 |
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ............................................ |
15 |
3
ТЕРМИНЫ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ
В настоящем отчете о лабораторной работе применяют следующие термины с соответствующими определениями:
Критерий согласия |
– статистический критерий, служащий для |
|
проверки гипотезы о предполагаемом законе |
|
распределения случайной величины |
Критерий хи-квадрат (χ²) |
– критерий согласия, позволяющий оценить |
Пирсона |
меру расхождения между опытными |
|
(эмпирическими) и теоретическими частотами |
|
распределения случайной величины |
Нормальный закон |
– закон распределения непрерывной случайной |
распределения |
величины, плотность вероятности которого |
|
описывается кривой Гаусса и определяется |
|
двумя параметрами: математическим |
|
ожиданием и среднеквадратическим |
|
отклонением |
Уровень значимости (α) |
– вероятность того, что величина критерия |
|
согласия в результате случайных отклонений |
|
опытных частот от теоретических превысит |
|
табличное значение при условии, что |
|
проверяемая гипотеза верна |
Число степеней свободы (S) |
– параметр, определяющий количество |
|
независимо варьируемых элементов в выборке, |
|
используемый для нахождения табличного |
|
значения критерия согласия |
Функция Лапласа Ф(z) |
– функция, показывающая вероятность |
|
попадания нормированной нормальной |
|
случайной величины в интервал от 0 до z |
Теоретическая частота (miтеор) – ожидаемое число попаданий случайной |
|
|
величины в i-й интервал, рассчитанное на |
|
основе предполагаемого теоретического закона |
|
распределения |
Гистограмма распределения |
– графическое представление статистического |
|
ряда, состоящее из смежных прямоугольников, |
|
площади которых пропорциональны частотам |
попадания случайной величины в соответствующие интервалы наработки
4
ПЕРЕЧЕНЬ СОКРАЩЕНИЙ И ОБОЗНАЧЕНИЙ
В настоящем отчёте о лабораторной работе применяют следующие сокращения и обозначения:
χ²опыт |
– опытное (вычисленное) значение критерия согласия Пирсона |
χ²табл |
– табличное (критическое) значение критерия согласия Пирсона |
miоп |
– опытное (фактическое) число попаданий случайной величины в i-й |
|
интервал |
miтеор |
– теоретическое число попаданий случайной величины в i-й интервал |
k |
– количество интервалов статистического ряда |
α– уровень значимости
S |
– число степеней свободы |
r |
– число параметров теоретического закона распределения |
R |
– размах выборки |
h |
– величина интервала |
t |
– наработка до отказа |
tcp |
– средняя наработка до отказа (математическое ожидание) |
σ(t) |
– среднеквадратическое отклонение наработки |
v |
– коэффициент вариации |
zi |
– нормированная случайная величина (относительное отклонение) |
N |
– объём выборки (общее число наблюдений) |
P(t) |
– вероятность безотказной работы (интегральная функция |
|
надёжности) |
F(t) |
– вероятность отказа (интегральная функция распределения отказов) |
Ф(z) |
– функция Лапласа |
5
ВВЕДЕНИЕ
Эффективность использования и техническая эксплуатация автомобилей связаны с оценкой надёжности их элементов. Наработка до отказа узлов и агрегатов не является величиной постоянной и представляет собой случайную величину, зависящую от множества факторов (качество изготовления, условия эксплуатации, нагрузочные режимы). Для описания закономерностей возникновения отказов и математического обоснования расчетов показателей надёжности применяются теоретические законы распределения случайных величин (нормальный, Вейбулла, экспоненциальный и др.) [1, 2].
Правильный выбор теоретического закона распределения является ключевым этапом, однако предварительный подбор закона осуществляют лишь визуально по виду гистограммы и значению коэффициента вариации, что не даёт количественной оценки достоверности такого выбора. Для строгой математической проверки правдоподобия выдвинутой гипотезы о принадлежности опытных данных выбранному закону используются критерии согласия. Наиболее распространенным и универсальным при обработке результатов эксплуатационных наблюдений является критерий хиквадрат (χ²) Пирсона, который позволяет оценить меру расхождения между эмпирическими (опытными) и теоретическими частотами распределения [3, 4].
Целью лабораторной работы является изучение критериев согласия, служащих для проверки гипотезы о выбранном законе распределения, и освоение методики проверки принадлежности статистического распределения опытных данных нормальному закону с использованием критерия согласия χ² Пирсона.
6