МИНИСТЕРСТВО ЦИФРОВОГО РАЗВИТИЯ, СВЯЗИ И МАССОВЫХ КОММУНИКАЦИЙ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Ордена Трудового Красного Знамени Федеральное государственное образовательное бюджетное
учреждение высшего профессионального образования Московский технический университет связи и информатики
Кафедра «Направляющие телекоммуникационные среды»
|
«ВВЕДЕНИЕ В ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ» |
|
Лекция 7 |
|
Применение информационных |
|
технологий для получения |
|
математической модели по результатам |
2024 г. |
экспериментов |
План лекции:
1)Понятие регрессионной зависимости
2)Получение стандартной математической модели (ММ) в табличном процессоре и математическом приложении
3)Проверка адекватности ММ
2
Понятие регрессионной зависимости
Регрессия (от лат. regressio – обратное движение) – зависимость среднего значения какой-либо величины от некоторой другой величины или от нескольких величин.
В отличие от функциональной зависимости y = f(x), когда каждому значению независимой переменной x соответствует одно определенное значение y, при регрессионной связи одному и тому же значению х могут соответствовать в зависимости от случая различные значения величины y. Если при каждом значении х = хi определяется ni значений yi1, yi2, …,yin величины Y, то зависимость средних арифметических Yni от хi является регрессией в статистическом понимании этого термина.
Если представить этот процесс, то при проведении экспериментов выполняется несколько измерений, затем считается среднее и именно эти средние и выступают в качестве Yi.
3
Определение средних характеристик в программе Excel
В курсе высшей математики вы изучите элементы статистической обработки данных, такие как среднее арифметическое, дисперсия и среднеквадратическое отклонение.
1. Среднее значение – центр распределения случайных величин (для расчета в
табличном процессоре используется функция СРЗНАЧ(Диапазон ячеек)) = σ =1 .
2. Дисперсия – абсолютная характеристика рассеяния случайной величины (для расчета в табличном процессоре используется функция ДИСП В.(Диапазон ячеек))
|
|
|
2 |
= σ |
( −) |
. |
|
|
|
||
|
|
|
|
=1 −1
3 Среднее квадратическое отклонение – абсолютная характеристика рассеяния случайной величины (для расчета в табличном процессоре используется функция
СТАНДОТКЛОН.В(Диапазон ячеек)) = |
. |
4
Определение средних характеристик в программе Mathcad
Определение средних характеристик в программе Mathcad осуществляется с
помощью встроенных функций:
-mean(V) – среднее арифметическое значений вектора V;
-var(V) – дисперсия для генеральной совокупности;
-Var(V) – дисперсия для выборочной совокупности;
- |
stdev(V) – среднеквадратическое отклонение генеральной совокупности |
( ); |
- |
Stdev(V) – среднеквадратическое отклонение выборочной совокупности |
( ). |
5
Самыми распространенными математическими моделями, подбираемыми для описания зависимости выходного параметра от входного фактора, являются полиномиальная,
степенная, экспоненциальная и логарифмическая. Реже используют тригонометрические функции.
Регрессионная полиномиальная математическая модель, получаемая по данным активного эксперимента с традиционным методом планирования, имеет следующий полиномиальный
вид:
Подбирать начинают с наиболее простого вида: |
|
||||
• |
уравнения-полинома первой степени |
|
= 0 + 1 , |
||
• |
затем полинома второй степени = |
0 |
+ |
+ |
2 |
|
|
1 |
2 |
|
|
= +
=
• затем полинома третьей степени |
= |
0 |
+ |
+ |
2 + |
3; и т.д. |
|
|
1 |
2 |
3 |
|
степенная математическая |
|
= |
|
логарифмическая математическая |
||||
модель |
|
|
|
модель |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
экспоненциальная математическая модель |
|
= |
|
= |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Получить эмпирическую математическую модель, означает понять ее вид и
определить коэффициенты |
6 |
|
АППРОКСИМАЦИЯ
Метод определения коэффициентов основан на минимизации суммы квадратов отклонений экспериментальных значений Y от соответствующих расчетных значений YR, и называется методом наименьших квадратов.
* - экспериментальные точки
•- расчетные точки
Процесс нахождения функции или математической модели, которая как можно точнее описывает зависимость выходного параметра от входного фактора называется аппроксимация
7
Получение математической модели в программе Excel
Для определения коэффициентов регрессии следует построить точечную
диаграмму в табличном процессоре и добавить линию тренда.
Линия тренда – геометрическое отображение средних значений
анализируемых показателей, полученное с помощью какой-либо функции. Линия
тренда – это функция аппроксимации, рассчитанная с применением типовых
математических функций.
Для построения точечной диаграммы следует выделить ячейки, в которых содержатся значения параметров X и Y. (Вкладка Вставка – Диаграммы – Точечная)
8
Щелкнув правой кнопкой мыши по построенным точкам, выберите пункт «добавить линию тренда», в результате появится диалоговое окно.
В нем следует определить вид функции, также установить флажок «показывать уравнение на диаграмме» и «поместить на диаграмму величину достоверности аппроксимации». В результате на точечный график будет нанесена линия тренда.
Чем ближе значение R2 к 1, тем точнее подобрана
функция
9
Аппроксимация в системе MathCAD
Можно провести аппроксимацию в системе MathCAD, которая позволяет использовать при моделировании не только одиночные функции, но и их комбинации.
Для этой цели служит функция linfit(Vx,Vy, F), где Vx, Vy – векторы координат узловых точек, F – вектор, в котором содержатся функции f1(x), f2(x), f3(x), …, fn(x), записанные в символьном виде.
Результатом действия аппроксимации является итоговая функция, представляющая собой сумму функций fi(х) с соответствующими коэффициентами Ki, т.е.
|
= |
∙ |
|
+ |
∙ |
|
+ |
∙ |
|
+ + |
∙ ( ). |
|
1 |
1 |
|
2 |
2 |
|
3 |
3 |
|
|
|
Функция linfit(Vx,Vy,F) – возвращает вектор коэффициентов Ki.
10