МИНИСТЕРСТВО ЦИФРОВОГО РАЗВИТИЯ, СВЯЗИ И МАССОВЫХ КОММУНИКАЦИЙ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Ордена Трудового Красного Знамени Федеральное государственное образовательное бюджетное
учреждение высшего профессионального образования Московский технический университет связи и информатики
Кафедра «Направляющие телекоммуникационные среды»
«ВВЕДЕНИЕ В ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ»
Лекция 6 Математическое моделирование
2025 г.
План лекции:
1)Математическая модель, общие понятия
2)Классификация математических моделей
3)Этапы построения математической модели
2
ВВЕДЕНИЕ
Математическое моделирование социальных, экономических и производственных процессов и систем является одним из важнейших средств познания природы самых разнообразных систем.
В настоящее время использование математического моделирования стало особенно актуальным, так как деятельность предприятий осуществляется в условиях конкуренции, в которой успеха добиваются те, кто наиболее эффективно использует ресурсы, а также стала доступной вычислительная техника, которая дает возможность реализовывать алгоритмы вычислений любой сложности.
Для внедрения математического моделирования и информационных технологий в практическую деятельность нужны специалисты, которые глубоко разбираются в сущности проблем и способны формализовать возникающие задачи и профессионально владеют математическими методами и соответствующим программным обеспечением.
3
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
Моделирование – это процесс построения модели объекта и исследования его свойств путем исследования модели.
Математическая модель – совокупность уравнений или других математических соотношений, отражающих основные свойства изучаемого объекта или явления в рамках принятой умозрительной физической модели и особенности его взаимодействия с окружающей средой на пространственно-временных границах области его локализации.
Математические модели различных процессов строятся, как правило, на языке дифференциальных уравнений, позволяющих наиболее точно описать состояние процесса в любой точке пространства в произвольный момент времени.
Основные свойства математических моделей
•адекватность
•простота, указывающие на степень соответствия модели изучаемому объекту и возможности ее реализации.
Процесс формулировки математической модели называется постановкой задачи 4.
ОПРЕДЕЛЕНИЯ
Математическое моделирование – процесс построения и изучения математических моделей
Обобщенная математическая модель (ОММ) описывает зависимость между исходными данными и искомыми величинами
.
5
ЭЛЕМЕНТЫ ОММ
Y
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ОБЪЕКТА
L
множество входных данных (переменные) X, Y;
X — совокупность варьируемых переменных; Y — независимые переменные (константы)
|
множество выходных данных |
G(X,Y) |
(переменных) G (X, Y) |
(совокупность функций, |
|
|
включающую (при |
|
необходимости) целевую |
|
функцию |
X |
математический оператор |
L, определяющий |
|
операции над этими данными (полная система |
|
|
математических операций, описывающих численные |
|
|
или логические соотношения между множествами |
|
|
входных и выходных данных) |
6 |
СТЕПЕНЬ СООТВЕТСТВИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ОБЪЕКТУ
Математическая модель никогда не бывает тождественна рассматриваемому объекту и не передает всех его свойств и особенностей. Она является приближенным описанием объекта.
Точность соответствия определяется степенью соответствия адекватности модели и объекта.
При построении математической модели выдвигают дополнительные предположения — гипотезы. Модель поэтому еще называют гипотетической.
Основным критерием применимости модели является эксперимент.
Критерий практики позволяет сравнивать гипотетические модели и выбирать из них наиболее подходящую.
Процесс моделирования значительно легче реализуется при использовании наборов готовых моделей. Аналогичными называют объекты и процессы, описываемые одинаковыми по форме уравнениями, содержащими различные физические величины и параметры, связанные между собой одинаковыми операторами.
Степень соответствия описания реальному процессу определяется полнотой учета возмущающих воздействий. При отсутствии или незначительности возмущений, действующих как внутри, так и вне объекта, можно однозначно определить влияние входных и управляющих
параметров на выходные.
7
КЛАССИФИКАЦИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
По сложности объекта исследования
ПРОСТОЙ
внутреннее строение объекта не рассматривается и составляющие его элементы и подпроцессы не учитываются.
СИСТЕМА
Объект-система является совокупностью взаимосвязанных элементов, которые взаимодействуют с окружающей средой как с единым целым.
В зависимости от оператора модели
ЛИНЕЙНАЯ |
ПРОСТАЯ |
|
При наличии линейной |
Если модель - функциональная |
АЛГОРИТМИЧЕСКАЯ |
зависимости выходных |
зависимость в виде |
|
параметров от входных |
алгебраического выражения |
В случае построения |
|
|
имитатора модели |
НЕЛИНЕЙНАЯ |
СЛОЖНАЯ |
поведения объекта с |
помощью алгоритма |
||
При наличии нелинейной |
Модель, включающая |
|
зависимости выходных |
системы дифференциальных |
|
параметров от входных |
и интегральных соотношений |
|
8
КЛАССИФИКАЦИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
В зависимости от входных и выходных параметров
9
КЛАССИФИКАЦИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
Если состояние системы меняется со временем, то модели называют динамическими, в противном случае — статическими.
Статическое моделирование служит для описания состояния объекта в фиксированный момент времени, а динамическое — для исследования объекта во времени.
Детерминированные – имеют строго однозначную связь между физическими величинами, характеризующими состояние системы в какой-либо момент времени: позволяют однозначно вычислить и предсказать значения выходных величин по значениям входных параметров и управляющих воздействий.
Неопределенные – изменение определяющих величин происходит случайным образом и значения выходных величин находятся в вероятностном соответствии с входными величинами и не определяются однозначно.
10