Метод дихотомии (половинного
деления)
Более эффективны методы, основанные на так называемой минимальной стратегии
Начальный интервал неопределенности составляет:
L0 = xmax – xmin
Рассчитывают значение функции у при двух значениях аргумента х: х1 и х2 расположенных вблизи середины
интервала на расстоянии друг от друга
Метод дихотомии (половинного |
|
|||||||||
деления) |
|
|
|
|
|
.д. |
|
|
||
|
Следующая пара расчетов дает новый интервал, |
|
|
|
||||||
|
Интервал (х1-хmin) исключается из области |
|
|
|
||||||
|
|
Из рисунка видно , что у1 |
> у2, |
|
|
|
|
|
||
Расчет продолжают до тех пор, пока интервал не сузится до |
|
|||||||||
|
неопределенности. Тогда новый интервал |
|
|
|
||||||
|
|
следовательно оптимум лежит в |
|
|
|
|
||||
|
величины, сравниваемой с |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
неопределенности составит: |
|
|
|
|
|
|
|||
y |
|
интервале (хmax-x1) |
|
|
|
|
L1 = (xmax |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
- x1) |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
У1 |
у |
|
|
у4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
у6 У3 |
|
|
|
|
||
|
|
|
2 У5 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Xmin |
|
х5 |
х6 х3 |
х4 |
|
|
Xma |
x |
|
|
х1 |
х2 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
(xmax + xmin)/2 |
|
|
)/2 |
|
|
|||
|
|
|
(x |
+ x(x)/2+ x |
x |
|
||||
|
|
|
|
1 |
4 1 |
max |
|
|
|
|
Метод золотого сечения
Существует метод Фибоначчи, который значительно эффективнее метода дихотомии
Числа Фибоначчи определяются по формуле:
Fi = Fi-1 + Fi-2 ; F0 = 0 ; F1 = 1
Недостатком метода Фибоначчи является необходимость предварительного выбора числа расчетов
Этого недостатка лишён метод золотого сечения
L1 L2 k
L0 L1
Коэффициент 0,618 получается из условия постоянства отношения интервалов
неопределенности
L1 L2 k L0 L1
Из этого выражения получим соотношения
Тогда подставив значения L1 и L2 в уравнение L0=L1+L2 получим
или
Решив уравнение, получим
k |
1 |
|
1 |
1 |
0,5 1,118 0,618 |
|
2 |
|
4 |
|
|
Следует отметить, что значения х2 и х3 совпадают, а |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
следовательно: у = у |
|
|
|
|
|
|
сечения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Метод золотого2 3 |
|
|
|
|
|
|
и х2, |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
Рассчитывают значения у в двух точках х1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
НовыйЯсино,тервалчто |
L делится(х на- хтри) ч |
содержитпо правилу |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
Таким образом, при1 |
пос едующих1 min шагах рассчитывается |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
Новый интервалнеопределенности |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
Начальный интервал |
|
|
|
|
от |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
расположенных на расстоянии 0,62L0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
лишь одно дополнительное значение |
|
|
|
и у |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
золотогоэкспериментальногосечения |
значения |
функции |
у. Поэтому |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
минимального |
|
|
|
|
|
|
|
|
равен |
L1 |
= xmax |
- x1 |
= |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
максимального знач ний |
х |
|
, т.е. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
данный интерв |
|
исключается из |
интервала |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
неопределенности |
|
|
|
|
|
не |
|
|
||||||||||||||||||||
Так расчет продолжается до тех пор, пока интервал L |
i |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
Вычисляются значения |
у |
при х3 |
и х4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
y |
при значениях |
х: |
|
|
|
|
|
0,62L0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
неопределенности |
|
|
= (xmax - xmin) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
L0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
сузится до заранее заданной величины |
х |
|
= х |
|
|
|
- 0,62 L |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
х |
= х |
|
|
|
- 0,62 (х |
|
- х |
|
мах |
|
1 |
|
|||||||||||||||
|
|
|
мах |
мах |
|
3 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
min |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
х |
|
= x |
|
|
|
|
+ 0,62(x |
|
x |
= x |
min |
|
+ 0,62 L |
1 |
|
||||||||||||
|
|
|
2 |
min |
|
max |
- x 4 |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
min |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
У |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
у =У |
|
у4 |
|
|
|
у6 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
0,62L0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=У5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
3 |
|
|
0,62L0 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
X |
min |
|
|
|
|
|
х1 |
|
|
|
|
х2=х х х4=х х6 |
|
|
X |
|
|
x |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
ma |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сравнение различных методов
Отношения начального L0 и
полученного после 20 расчетов интервалов неопределенности L0/L20 по методу:
1) |
половинного деления |
- 1024 |
2) |
Фибоначчи |
- 10946 |
3) |
золотого сечения |
- 9349 |
Поисковые методы для 
функции многих переменных
Задача поиска экстремума функции многих переменных, заданная уравнением у = f(х1, х2, ..., хr), значительно сложнее, чем для функций одной переменной
Эта сложность связана тем, что функции многих переменных имеют ряд локальных минимумов (или максимумов)
Кроме того, движение к минимуму связано с движением по пологому “оврагу”
Метод сканирования практически не применим для функции многих переменных, в связи с большим числом расчетов
Типы рельефа
а - овальный, б – овражный, в – сложный
Метод Гаусса – Зейделя (метод покоординатного поиска)
По этому методу осуществляют последовательный поиск по каждой переменной, фиксируя остальные
Например, меняют переменную х1 до тех пор, пока у не пройдет через наилучшее значение
Далее х1 фиксируют на найденном наилучшем уровне и начинает изменять х2 при неизменных остальных переменных
Такой “просмотр” проводят r раз, последовательно меняя каждую из r переменных
Для нахождения экстремума по одной переменной могут быть использованы методы
половинного деления, золотого сечения
