Полезная информация для электромехаников / Волькенштейн_1985

п=720 об/мин. Найти угловое ускорение « колеса и число оборотов N кодеса за это время.

1.4#. Колесо, вращаясь равнозамедленно, за время f==l мин уменьшило свою частоту с «*=300 об/мин до h t= 180 об/мин. Найти угловое ускорение е колеса и число оборотов N колеса за это время.

. 1.49. Вентилятор вращается с частотой п=900 об/мин. После выключения вентилятор, вращаясь равнозамедлен­ но, сделал до остановки N —75 об. Какое время / прошло

Через какое время / после начала движения нормальное

1.52. Точка движется по окружности радиусом /? = 10 см

спостоянным тангенциальным ускорением ах. Найти тан­ генциальное ускорение ах точки, если известно, что к кон­ цу пятого оборота после начала движения линейная ско­ рость точки ц=79,2 см/с.

1.53.Точка движется по окружности радиусом /?=10 см

спостоянным тангенциальным ускорением ах. Найти нор­

мальное ускорение ап точки через время /=20 с после на­ чала движения, если известно, что к концу пятого оборота после начала движения линейная скорость точки и= =10 см/с.

• 1.54. В первом приближении можно считать, что элект­ рон в атоме водорода движется по круговой орбите с ли­ нейной скоростью v. Найти угловую скорость со вращения электрона вокруг ядра и его нормальное ускорение ап.

ускорением е=3,14 рад/с2. Найти для.точек на ободе коле­ са к концу первой секунда после начала движения: а) уг­ ловую скорость ь>; б)-линейную скорость у; в) танген­ циальноеускорение ах, г) нормальное ускорение, Оа,

Ш

$Щффя№ ai е) угол с& сост;аапяЬшй'дактрром

гдеС =0,1 см/с*Н№вйти нормальное ап и тангенциальное ах ускорения точки в момент, когда линейная скорость точ­

мость пути от времени дается уравнением s=A—Bt+Ct2, где 5 = 2 м/с и С=1 м/с2. Найти линейную скорость о точ­ ки, ее тангенциальное ах, нормальное ап и полное а уско­ рения через время /=?3 с после начала движения., если из­

что через время t—2 с после начала движения вектор пол­ ного ускорения точки, лежащей на 'ободе, составляет угол

висимость угла поворота радиуса колеса от времени дает­

рез время t~2 с после начала движения: а) угловую ско­ рость со; б) линейную скорость н; в) угловое ускорение е; д) тангенциальное ах и нормальное ап ускорения.

1.61. Колесо радиусом R —5 см вращается так, что за­ висимость угла поворота радиуса колеса от времени дается уравнением ф=A+Bt+Ct2-1rDt3, где D—1 рад/с3. Для то­ чек, лежащих на ободе колеса, найти изменение танген­ циального ускорения Аах за единицу времени.

- 1.62. Колесо радиусом /?= 10 см вращается так, что зависимость линейной скорости точек, лежащих на ободе

23

к концу второй секундыдвижения для точек, лежащих на ободе колеса, нормальное ускорение ап=3*46* 10* м/с*.

1.64. Во сколько раз нормальное ускорение ап точки, лежащей на ободе вращающегося колеса, больше ее тан­ генциального ускорения ах для того момента, когда вектор полного ускорения точки составляет угол а =30° с векто­ ром ее линейной скорости?

§ 2. Динамика

Основной закон динамики (второй закон Ньютона) выражается уравнением ,

F dt = d(mv).

Если масса т постоянна, то

„dv

г= т * —- = та, dt

где а — ускорение, которое приобретает тело массой т под действием силы F.

Работа силы F при перемещении s может быть выражена формулой

A = ^F s ds,-

S

где Fs — проекция силы на направление перемещения, ds — длина перемещения. Интегрирование должно быть распространено на все перемещение s. В случае постоянной силы, действующей под углом а к перемещению, имеем . '

/4 = F s c o s a , -

где a — угол между силой F и перемещением s. Мощность определяется формулой

"dt ’

Вслучае постоянной мощности

где А — работа, совершаемая за время t.

Мощность может быть определена также формулой

N = Fvcos a,

т. е. произведением скорости движения на проекцию силы на направ­ ление движения.

Для кинетической энергии тела массой т, движущегося со ско-. ростью V, имеем

24

Формуйыдля потенциальной анергий5имеютразный види зависимости

miVi+ mtVt+ . . . + mnv„= const.

При неупругом центральном ударе двух тел с массами пц и т* общая скорость движения этих тел после удара может быть найдена по формуле

При криволинейном движении сила, действующая на материаль­ ную точку, может быть разложена на две составляющие: тангенциаль­ ную и нормальную. Нормальная составляющая

является центростремительной силой. Здесь v — линейная скорость движения тела массой т, R — радиус кривизны траектории в данной точке.

Сила, вызывающая упругую деформацию х, пропорциональна деформации, т. е.

F = kx,

где k — жесткость (коэффициент, численно равный силе, вызывающей деформацию, равную единице).

Потенциальная энергия упругого тела

Две материальные точки (т. е. такие тела, размеры которых малы по сравнению с их взаимным расстоянием) притягиваются друг к другу с силой

25

м. Найти начальную скорость о, автомобиля и сй*у ториояйшия F. ' ■ :

2.7.Поезд массой /й=500 т, двигаясь равяовамедлёйЯо,

,в течение времени /= 1 мин уменьшает свою скорость от Ui=4Q км/ч до Ot==28 км/ч. Найти силу тормошения. F.

2.8.Вагон массой т = 2 0 т движется с_начальной ско­

ростью о0=54 км/ч. Найти среднюю силу F, действующую на вагон, если известно, что вагон останавливается в те­ чение времени: а) /=Г мий 40 с;-б) /=10 с; в) 1 с.

2.9/ Какую силу F надо, приложить к вагону, стоящему на рельсах, чтобы вагон стал двигаться равноускоренно и за время /=30 с прошел путь s— 11 м? Масса вагона т—16 т.

Во время движения на вагон действует сила трения F,

тр>

равная 0,05 действующей на него силы тяжести'mg.

2.10.Поезд массой т—500 т после прекращения тя паровоза под действием силы трения FTp=98 кН останав­ ливается через время /= 1 мин. ,С какой скоростью i>0 шел поезд?

2.11.Вагон массой т—20 т движется равнозамедленно,

имея начальную скорость п0=54 км/ч и ускорение а = = —0,3 м/с2. Какая сила торможения F действует на ва-‘ гон? Через какое время / вагон остановится? Какое рас­ стояние s вагон Пройдёт до остановки?

2.12. Тело массой - т = 0,5 кг движется прямолинейно, причем зависимость пройденного телом пути s от времени t ' дается уравнением я=Л —Bt+Ct2—Dt3, где С= 5 м/с2 и D = 1 м/с3. Найти силу F, действующую на тело в конце первой секунды движения.

2.13. Под действием силы F=10 Н тело движется прямо­ линейно так, что зависимость пройденного телом пути s от времени / дается уравнением я=Л —Bt+Ct3, где С=

=1 м/с2. Найти массу т тела.

2.14.Тело массой т—0,5 кг движется так, что зависи­

мость пройденного телом пути &от времени t дается уравне­ нием s=A sin со/, где Л = 5 см и ©=л рад/с. Найти силу F, действующую на тело через время /=(1/6) с после начала движения.

2.15. Молекула массой т = 4 ,6 5 -10“26 кг, летящая по нормали к стенке сосуда со скоростью i>=600 м/с, ударяется о стенку и упруго отскакивает от нее без'потери скорости. Найти импульс „силы КД/, полученный стенкой за время удара.

2.16. Молекула массой т=4,65-10~2в кг, летящая со скоростью у=600 м/с, ударяется о' стенку сосуда ПОД уг-

2 7

ломсс=60°кнормали иуйруго отскдкивает от нее без по­ тери скорости. Найти импульс силы FAt, полученный стеикойзд время удара.

4 2.17. Шарик массой т—0,1 кг, падая с некоторой высо­ ты, ударяется о наклонную плоскость и упруго отскакива­

момента удара шарика о плоскость до момента,' когда он будет находиться в наивысшей точке траектории?

2.18. Струя воды сечением 5 = 6 см2 ударяется о стенку под углом,а =60° к нормали и упруго отскакивает от нее без потери скорости. Найти силу F, действующую на стен­ ку, если известно, что скорость течения воды в струе v—

=12 м/с.

2.19.Трамвай, трогаясь с места, движется с ускорением

а—0,5 м/с2. Через время /==12 с после начала движения мотор выключается и трамвай движется до остановки равиозамедленно. Коэффициент трения на всем пути &=0,01. Найти наибольшую скорость и и время t движения трамвая.

Каково его ускорение а при равнозамедленном движении? Какое расстояние s пройдет трамвай за время движения?

2.20. На автомобиль массой m = 1 т во время движения действует сила трения FTp, равная 0,1 действующей на него силы тяжести mg. Какова должна быть сила тяги F, раз­ виваемая мотором автомобиля, чтобы автомобиль двигался* а) равномерно; б) с ускорением а—2 м/с2?

2.21.Какой угол а с горизонтом составляет поверх­ ность бензина в баке автомобиля, движущегося горизон­ тально с ускорением а—2,44 м/с2?

2.22.Шар на нити подвешен к потолку трамвайного вагона. Вагон тормозится, и его скорость за время /= 3 с

равномерно уменьшается от о1=18 км/ч до е2= 6 км/ч. На какой угол ос отклонится при этом нить с шаром?

2.23. Вагон тормозится, и его скорость за время /=3,3 с равномерно уменьшается от щ=47,5 км/ч до и2=30 км/ч. Каким должен быть предельный коэффициент трения k между чемоданом и полкой, чтобы чемодан при торможе­ нии начал скользить по полке?

2.24.Канат лежит на столе так, что часть его свешивает­ ся со стола, и начинает скользить тогда, когда длина све­ шивающейся части составляет 1/4 его длины. Найти коэф­ фициент трения k каната о стол.

2.25.На автомобиль массой т ~ \ т во время движения действует.сила трения FTp, равная 0,1 действующей нашего

28

сила тяжести mg. Найти силу тяги F, развиваемую мото* ром автомобиля, если автомобиль движется с постоянной скоростью: а) в гору с уклоном 1 м на каждые 25 м пути; б) под гору с тем же уклоном. '

2.26. На автомобиль массой т —1 т во время движения действует сила трения Fxp, равная 0,1 действующей на него силы тяжести mg. Найти силу тяги F, развиваемую мото­ ром автомобиля, если автомобиль движется с ускорением

а= 1 м/с2 в гору с уклоном 1 м на каждые 25 м пути.

2.27.Тело лежит на наклонной плоскости, составляю­ щей с горизонтом угол а=4°. При каком предельном коэф­ фициенте трения k тело начнет скользить по наклонной, •плоскости? С каким ускорением а будет скользить тело по плоскости, если коэффициент трения 6=0,03? Какое время t потребуется для прохождения при этих условиях пути s=100 м? Какую скорость v тело будет иметь в конце пути?

2.28.Тело скользит по наклонной плоскости, состав­ ляющей с горизонтом угол а =45°. Пройдя путь s=36,4 см, тело приобретает скорость о=2 м/с. Найти коэффициент трения k тела о плоскость.

2.29.Тело скользит по наклонной плоскости, состав­ ляющей с горизонтом угол а =45°. Зависимость пройден­ ного телом пути s от времени t дается уравнением s=Ct%,

где С=1,73 м/с2. Найти коэффициент трения k тела о пло­

нитью и перекинуты через невесомый блок. Найти ускоре­ ние а, с которым движутся гири, и силу натяжения нити Т. Трением в блоке пренебречь.

2.31. Невесомый блок укреплен на конце стола (рис. 1). Гири 1 и 2 одинаковой массы ш1= ш 2=1 кг соединены нитью

I

Рис. 1.

остол 6=0,1. Найти ускорение а, с которым движутся гири,

исилу натяжения нити Т. Трением в блоке'Пренебречь.

2.32.Невесомый блок укреплен в вершине наклонн плоскости (рис. 2), составляющей с горизонтом угол а —30°.

.29

'2.42. Шофер автомобиля, умеющего мессу я»"*1 t, на­ чинает тормозить на расстоянии s=25 м от препятствия на дороге. Сила трения в тормозных -колодках автомобиля F^a.3,84 кН. При какой предельной скорости о движения автомобиль успеет остановиться перед препятствием? Тре­ нием' колес о дорогу пренебречь. ’

2.43.Трамвай движется с ускорением а=49,0 См/с2. Найти, коэффициент трения k, если известно, что 50% мощ­ ности мотора идет на преодоление силы трения и 50% — на увеличение скорости движения.

2.44.Найти работу А, которую надо совершить, чтобы

2.45.На автомобиль массой М = \ т во время движения действует сила трения Frp, равная 0,1 действующей на него силы тяжести, mg. Какую массу т бензина расходует дви­ гатель автомобиля на то, чтобы на пути s=0,5 км увели­ чить скорость движения автомобиля -от Ui=10 км/ч до о2=40 км / ч? К. п . д. двигателя rj=0,2, удельная теплота сгорания бензина <7=46 МДж/кг.

2.46.Какую массу т бензина расходует двигатель авто­ мобиля на пути s=10O км, если при мощности двигателя Л/= 11 кВт скорость его движения о=30 км/ч? К. и. д. дви­

вестно, что при скорости движения и=40 км/ч двигатель потребляет объем К= 13,5 л бензина на пути s= 100 км и что развиваемая двигателем мощность ЛГ=12 кВт. Плот-, ность бензина р=0,8-10* кг/м3, удельная теплота сгорания бензина <7=46 МДж/кг.

2.48. Камень массой т —I кг брошен вертикально вверх с начальной скоростью о0=9,8 м/с-. Построить график за­ висимости от времени t кинетической WK, потенциальной Wn и полной W энергий камня для интервала O^.i^.2 с че­ рез 0,2 с (см. решение 1.11).

2.49. В условиях' предыдущей задачи построить график зависимости от расстояния h кинетической Wu, потенциаль­ ной Wn и полной W энергий камня.

2.50 *). Камень падает с некоторой высоты в течение вре- , меня /=1,43 с. Найти кинетическую и потенциальную

*) Напомним, что сопротивлением воздуха следует пренебречь, если оно не задано в условии.