Полезная информация для электромехаников / Волькенштейн_1985
.pdfскорость точки Ох=3 см/с, а при смещении лг2=2,8 см ее скорость иа=2см/с. Найти амплитуду Л и период Т этого колебания.
12.15. Уравнение колебания материальной точки мас сой т = 16 г имеет вид л:= 0,1 sin f - j - ^ м. Построить
график зависимости от времени t (в пределах одного перио да) силы F, действующей на точку. Найти максимальную силу Fraax.
12.16. Уравнение колебаний материальной точки мас сой т = 1 0 г имеет вид х —5 sin ^ t -j— j см. Найти мак
симальную силу Fmax, действующую на точку, и полную энергию W колеблющейся точки,
12.17. Уравнение колебания материальной точки мас
с о й 'т = 16 г имеет вид x = 2sin ^ см. Построить
график зависимости от времени t (в пределах одного перио да) кинетической WK, потенциальной Wn и полной W энер гий точки.
12.18. Найти отношение кинетической энергии WKточ ки, совершающей гармоническое колебание, к ее потен
циальной |
энергии Wa для моментов времени: а) |
/=7У12; |
б) t= T/8; |
в) t=T!6. Начальная фаза колебаний |
ф=0. |
12.19. |
Найти отношение кинетической энергии |
WKточ |
ки, совершающей гармоническое колебание, к ее потен циальной энергии Г п для моментов, когда смещение точки от положения равновесия составляет: а) х= А/4; б) х=А/2‘, в) х=А, где А — амплитуда колебаний.
12.20. Полная энергия тела, совершающего гармоничес кое колебательное движение, W=30 мкДж; максимальная сила, действующая на тело, Fmax= l,5 мН. Написать урав нение движения этого тела, еслй период колебаний Т —2 с
иначальная фаза ср=л/3.
12.21.Амплитуда гармонических колебаний материаль ной точки А = 2 см, полная энергия колебаний W=0,3 мкДж.
При каком смещении х от положения равновесия на колеб-
•лющуюся точку действует сила F = 22,5 мкН?
12.22.Шарик, подвешенный на нити длиной 1=2 м, отклоняют на угол а=4° и наблюдают его колебания. По лагая колебания незатухающими гармоническими, найти скорость шарика при прохождении им положения равно весия. Проверить полученное решение, найдя скорость ша рика при прохождении им положения равновесия из урав нений механики.
182
12.23. К пружине подвешен груз массой /и=10 кг. Зная, что пружина под влиянием силы F.—9,8 Н растяги вается на /= 1,5 см, найти период Т вертикальных колеба ний груза.
12.24. К пружине подвешен груз. Максимальная кине тическая энергия колебаний груза 1^кта* = 1 Дж, Ампли туда колебаний А = 5 см. Найти жесткость k пружины.
12.25.Как изменится период вертикальных колебаний груза, висящего на двух одинаковых пружинах, если от последовательного соединения пружин перейти к парал лельному их соединению?
12.26.Медный шарик, подвешенный к пружине, совер
шает вертикальные колебания. Как изменится период ко лебаний, если к пруншне подвесить вместо медного шарика алюминиевый такого же радиуса?
12.27. К пружине подвешена "чашка весов с гирями. При этом период вертикальных колебаний ^ = 0 ,5 с. Пос ле того как на чашку весов положили еще добавочные гири, период вертикальных колебаний стал равным 7’2=0,6 с. На сколько удлинилась пружина от прибавления этого до бавочного груза?
12.28. К резиновому шнуру длиной /=40 см и радиусом r = 1 мм подвешена гиря массой т=0,5 кг. Зная, что мо дуль Юнга резины Е —3 МН/м2, найти период Т вертикаль ных колебаний гири. У к а з а н и е . Учесть, что жесткость k резины связана с модулем Юнга Е соотношением £ = =SE/l, где 5 — площадь поперечного сечения резины, I — ее длина.
12.29 *). Ареометр массой т= 0,2 кг плавает в жидко сти. Если погрузить его немного в жидкость и отпустить, то он начнет совершать колебания с периодом Т =3,4 с. Считая колебания незатухающими, найти плотность жид кости р, в которой плавает ареометр. Диаметр вертикаль ной цилиндрической трубки ареометра d—1 см.
12.30. Написать уравнение движения, получающегося в результате сложения двух одинаково направленных гар монических колебательных, колебаний с одинаковым перио дом Т = 8 с и одинаковой амплитудой А —0,02 м. Разность фаз между этими колебаниями ф2—фх=л/4. Начальная фа за одного из этих колебаний равна нулю.
12.31. Найти амплитуду А и начальную фазу ф гар монического колебания, полученного от сложения оди
*) Задачи на упругие силы и на математический и физический маятники см. также в §§ 2 и 3 в гл. I.
183
наково направленных колебаний, данных уравнениями
дел = 0,02 sin (5л^ -|-я;/2) м и = 0,03 sin (5л;/-{-я/^) м; 12.32, В результате сложения двух одинаково направ
ленных гармонических колебаний с одинаковыми амплиту дами и одинаковыми периодами получается результирую щее колебание с тем же периодом и той же амплитудой. Найти разность фаз —ср* складываемых колебаний.
12.33. Найти амплитуду А и начальную фазу <р гармони ческого колебания, полученного от сложения одинаково направленных колебаний, данных уравнениями xt=4 sin л/ см и х г=3 sin (л/+л/2) см. Написать уравнение результи
рующего |
колебания. Дать векторную |
диаграмму |
сложе |
|||
ния амплитуд. |
|
результирующего коле |
||||
12.34., |
На рис. 61 дан спектр |
|||||
ния. Пользуясь данными этого |
рисунка, написать урав |
|||||
|
нения |
колебаний, из которых |
||||
|
составлено |
результирующее |
||||
|
колебание. Начертить график |
|||||
|
этих |
|
колебаний. |
Принять, |
||
|
что в |
момент /= 0 |
разность |
|||
|
фаз между этими колебания |
|||||
|
ми ф2—ф1=0. Начертить гра |
|||||
|
фик |
результирующего |
коле |
|||
бания.
12.35.
монических колебаний имеют вид Xi=3 sin 4 л / см и х2=6 sin Ю л/ см. Построить график
этих, колебаний. Сложив графически эти колебания, |
по |
|||||
строить |
график результирующего |
колебания. |
Начертить |
|||
спектр результирующего колебания. |
|
|
||||
12.36. Уравнение |
колебаний |
|
имеет вид х —А sin 2nvtt, |
|||
причем |
амплитуда А |
изменяется |
со временем |
по закону |
||
A =A 0(l-f-cos 2HV2/). |
Из каких |
гармонических колебаний |
||||
состоит |
колебание? |
Построить |
график слагаемых и |
ре |
||
зультирующего колебаний для |
А 0= 4 см, Vi=2 Гц, v2= |
|||||
=1 Гц. Начертить спектр результирующего колебания.
12.37.Написать уравнение результирующего колебания, получающегося в результате сложения двух взаимно пер пендикулярных колебаний с одинаковой частотой v*=v2=
=5 Гц и с одинаковой начальной фазой <pi=<p2=n/3. Ампли туды колебаний равны Лi= 0 ,10 м и Л 2=0,05 м.
12.38.Точка участвует в двух колебаниях одинакового периода с одинаковыми начальными фазами. Амплитуды
колебаний равны Ах= 3 см и А 2= 4 см; Найти амплитуду А результирующего колебания, если колебания совершают
184
ся-. а) в одном направлении; б) в двух взаимно перпендику лярных направлениях.
.. 12,39. Точка участвует в двух взаимно перпендикуляр
ных колебаниях х=2 sin ш/ м |
и у =2 cos иt м. Найти |
|
траекторию результирующего |
движения |
точки. |
12.40. Точка участвует в двух взаимно перпендикуляр |
||
ных колебаниях X= COSJT/ и г/ = сов-=/. |
Найти траекто |
|
рию результирующего движения точки.
12.41. Точка участвует в двух взаимно перпендикуляр ных колебаниях х —sin п /и у = 2 sin (л^+л/2). Найти траек торию результирующего движения точки и начертить ее
снанесением масштаба.
12.42.Точка участвует в двух взаимно перпендикуляр ных колебаниях x=sinn;/ и у=4 sin (я/+я). Найти траек
торию результирующего движения точки и начертить ее
снанесением масштаба.
12.43.Период затухающих колебаний Г=4 с;, логариф
мический декремент затухания и = 1,6; начальная фаза ф= = 0 . При /=774 смещение точки х=4,5 см. Написать урав нение движения этого колебания. Построить график этого колебания в пределах двух периодов.
12.44. Построить график, затухающего колебания, Дан ного уравнением х = sin^ t м.
12.45. Уравнение затухающих колебаний дано в виде
х = 5er°-25<s}n iL f м> Найти скоростью колеблющейся точки
У
вмоменты времени /, равные: 0, Т, 2Т, ЗТ и 471.
12.46.Логарифмический декремент затухания матема тического маятника и =0,2. Во сколько раз уменьшится амплитуда колебаний за" одно полное колебаниемаятника?
12.47.Найти логарифмический декремент затухания к
математического маятника, если за время /= 1 мин ампли туда колебаний уменьшилась в 2 раза. Длина маятника
1=1 м.
12.48.Математический маятник длиной /=24,7 см со вершает затухающие колебания. Через какое время t энер гия колебаний маятника уменьшится- в 9,4 раза? Задачу решить при значении логарифмического декремента зату хания: а) и =0,01; б) х = 1.
12.49.Математический маятник совершает затухающие колебания с логарифмическим декрементом затухания х = =0,2. Во сколько раз уменьшится полное ускорение маят ника в его крайнем положении за одно колебание?
12.50. Амплитуда затухающих |
колебаний |
математиче |
||
ского-маятника за |
время М мин уменьшилась |
вдйое. |
||
Во сколько раз |
уменьшится |
амплитуда |
за |
время |
t—3 мин? |
|
длиной /—0,5 |
м, вы |
|
12.51. Математический маятник |
||||
веденный из положения равновесия, отклонился при пер вом колебании на Xi=5 см, а при втором (в ту же сторо ну) — на х2= 4 см. Найти время релаксации t, т. е. время, в течение которого амплитуда колебаний уменьшится в е раз, где е — основание натуральных логарифмов.
12.52. К вертикально висящей пружине подвешивают груз. При этом пружина удлиняется на Д/=9,8 см. Оття гивая этот груз вниз и отпуская его, заставляют груз со вершать колебания. Каким должен быть коэффициент зату хания б, чтобы: а) колебания прекратились через время /= 10 с (считать условно, что колебания прекратились, если их амплитуда упала до 1% от начальной); б) груз возвра щался в положение равновесия апериодически; в) лога рифмический декремент затухания колебаний был равным
к = 6?
12.53,. Тело массой т= 10 г совершает затухающие лебания с максимальной амплитудой Ашах= 7 см, началь ной фазой ф=0 и коэффициентом затухания 6=1,6 с-1. На это тело начала действовать внешняя периодическая сила F, под действием которой установились вынужденные колебания. Уравнение вынужденных колебаний имеет вид х = 5 sin (Юл/—Зя/4) см. Найти (с числовыми коэффициен тами) уравнение собственных колебаний и уравнение внеш ней периодической силы.
12.54. Гиря массой /л=0,2 кг, висящая на вертикаль ной пружине, совершает затухающие колебания с коэффи циентом затухания 6=0,75 с-1. Жесткость пружины k= =0,5кН/м. Начертить зависимость амплитуды А вынужден ных колебаний гирьки от частоты со внешней периодической силы, если известно, что максимальное значение внешней силы F0= 0,98 Н. Для построения графика найти значение
А для |
частот: со=0, ю=0,5 со„, ш=0,75 а)„, и = и 0, со= |
= 1,5 (в0 |
И св=2(в0, где со„— частота собственных колебаний |
подвешенной гири.
12.55. По грунтовой дороге прошел трактор, оставив следа в виде ряда углублений, находящихся на расстоя нии /=30 см друг от друга. По этой дороге покатили дет скую коляску, имеющую две одинаковые рессоры, каждая из которых лрогибается иа х0= 2 см под действием груза массой тй= 1 кг. С какой скоростью v катили коляску, если
от толчков на углублениях она, попав в резонанс, начала сильно раскачиваться? Масса коляски М —10 кг.
•12.56. Найти длину волны X колебания, период которо
го Г=10~14 с. Скорость распространения колебаний с=
=3 -10е м/с.
12.57.Звуковые колебания, имеющие частоту v=500 Гц
.и амплитуду Л =0,25 мм, распространяются в воздухе. Длина волны Х—70 см. Найти скорость с распространения колебаний и максимальную скорость vmax частиц воздуха.
12.58. Уравнение незатухающих колебаний имеет вид
x = 1 0 sin -|-/ см. Найти уравнение волны, если скорость
распространения колебаний с=300 м/с. Написать и изоб разить графически уравнение колебания для точки, отстоя щей на расстоянии /=600 м от источника колебаний. На писать и изобразить графически уравнение колебания для точек волны в момент времени /= 4 с после начала колеба ний.
12.59.Уравнение незатухающих колебаний имеет вид х= 4 sin 600 nt см. Найти смещение х от положения равно весия точки, находящейся на расстоянии 1=75 см от источ ника колебаний, для момента времени /=0,01 с после на чала колебаний. Скорость распространения колебаний с= =300 м/с.
12.60.Уравнение незатухающих колебаний имеет вид x=sin 2,5л/ см. Найти смещение х от положения равнове сия, скорость v и ускорение а точки, находящейся на рас стоянии /=20 м от источника колебаний, для момента вре мени /= 1 с после начала колебаний. Скорость распростра нения колебаний с=100 м/с.
12.6,1. Найти разность фаз Дф колебаний двух точ отстоящих от источника колебаний на расстояниях 1г= = 10 м и /2= 16 м. Период колебаний 7'=0,04 с; скорость -распространения с=300 м/с.
12.62.Найти разность фаз Дф колебаний двух точек, лежащих на луче и отстоящих на расстоянии 1=2 м друг от друга, если длина волны Х=1 м.
12.63.Найти смещение х от положения равновесия точ ки,-"отстоящей от источника колебаний на расстоянии /= =/./12, для момента времени /=776. Амплитуда колебаний
Л=0,05 м.
12.64.Смещение от положения равновесия точкй, от
стоящей от источника колебаний* на расстоянии /= 4 см, в момент времени /=7У6 равно половине амплитуды. Найти длину X бегущей волны.
187
12.65.Найти положение узлов и пучностей и начер-,, тить график стоячей волны, если: а) отражение происходит от менее плотной среды; б) отражение происходит от более плотной среды. Длина бегущей волны А=12 см.
12.66.Найти длину волны Я, колебаний, если расстоя
ние между первой и четвертой пучностями стоячей волны /= 15 см.
§ 13. Акустика
Скорость распространения акустических колебаний в некоторой среде определяется формулой
с = у щ .
где Е — модуль Юнга среды, р — плотность среды.
Вгазах скорость распространения
с= }ГуД Т/ц,
где р — молярная масса газа, Т — термодинамическая температура газа, R — газовая постоянная, v.—Cp!Cv (Ср — теплоемкость газа при постоянном давлении и С у — теплоемкость газа при постоянном объеме).
Уровень звукового давления Lp (в децибелах) связан с амплитудой звукового давления р соотношением
где ро — амплитуда звукового давления при нулевом уровне громко сти. Уровень громкости L] (в фонах) связан с интенсивностью звука соотношением
- £ / = Ю lg у - .
•й
где / о — порог слышимости (нулевой уровень громкости^ звука. Ус ловно принимается, что / 0= Ю ~ ,г Вт/м2 и рв—2-10-г Па.
По принципу Доплера' частота звука, воспринимаемая наблюда телем, определяется формулой
где v — частота звука, посылаемая источником звука, и — скорость движения источника звука, v — скорость движения наблюдателя, е — скорость распространения звука. Скорость ч>0, если наблюдатель движется по направлению к источнику звука; скорость и > 0, если источник звука движется к наблюдателю.
Частота основного тона струны определяется формулой
188
где / — длина струны, F — сила ее Натяжения, S — площадь eg по перечного сечения, р — плотность материала среды.
13.1.Найти длину волны к основного тона ля (частота v=435 Гц). Скорость распространения звука в воздухе с=340 м/с.
13.2.Человеческое ухо может воспринимать звуки час тотой приблизительно от vi=20 Гц до va=20 000 Гц. Меж ду какими длинами волн лежит интервал слышимости зву ковых колебаний? Скорость распространения звука в воз духе с=340 м/с.
13.3.Найти скорость с распространения звука в стали.
13.4.Найти скорость с распространения звука в меди.
13.5.Скорость распространения звука в керосине с=
=1330 м/с. Найти сжимаемость р керосина.
13.6.При помощи эхолота измерялась глубина моря. Какова была глубина моря, если промежуток времени меж ду возникновением звука и его приемом оказался равным /=2,5 с? Сжимаемость воды (3=4,6-10-10 Па-1, плотность морской воды р=1,03-103 кг/м3.
13.7.Найти скорость с распространения звука в воз духе при температурах t, равных: —20, 0 и 20 °С.
13.8.Во сколько раз скорость сг распространения звука
ввоздухе летом (/=27 °С) больше скорости с2 распростра нения звука зимой (/= —33 °С)?
13.9.Зная, что средняя квадратичная скорость молекул двухатомного газа в условиях опыта и=461 м/с, найти ско рость с распространения звука в газе.
13.10.Найти скорость с распространения звука в двух атомном газе, если известно, что при давлении р = 1,01 х ХЮ5 Па плотность газа р = 1,29 кг/м3.
13.11.Зная, что средняя молярная кинетическая энер гия поступательного движения молекул азота'
=3,4 кДж/моль, найти скорость с распространения звука
вазоте при этих условиях.
13.12.Для определения температуры верхних слоев ат мосферы нельзя пользоваться термометром, так как вслед ствие малой плотности газа термометр не придет в тепловое равновесие с окружающей средой. Для этой цели пускают ракету с гранатами, взрываемыми при достижении опреде ленной высоты. Найти температуру t на высоте Я=20 км от поверхности Земли, если известно, что звук от взрыва, произведенного на высоте /u=21 км, пришел позже, на
А/=6,75 с звука от. взрыва, произведенного на высоте Да= 19 км.
189.
13.13. Найти показатель преломления п звуковых волн на границе воздух — стекло. Модуль Юнга для стекла £ =
=6,9* 10й Па, |
плотность стекла р =2,6* 10s кг/м3, темпера |
|
тура воздуха |
t=20°C. |
угол а полного внутреннего |
18.14. Найтипредельный |
||
отражения звуковых волн |
на границе воздух — стекло. |
|
Воспользоваться необходимыми данными из предыдущей задачи.
13.15.Два звука отличаются по уровню громкости на AL/—1 фон. Найти отношение 1%И\ интенсивностей .этих звуков.
13.16.Два звука отличаются по уровню звукового дав ления на АЬр— 1 дБ. Найти отношение p jp i амплитуд их звукового давления.
13.17.Шум на улице с уровнем громкости Ьп = 70 фон слышен в комнате так, как шум с уровнем громкости
L/2= 40 фон. Найти отношение l\/h интенсивностей зву ков на улице и в комнате.
13.18.Интенсивность звука увеличилась в 1000 раз. На сколько увеличился уровень звукового давления? Во сколько раз увеличилась амплитуда звукового давления?
13.19.Интенсивность звука / = 10 мВт/м2. Найти уро
вень громкости L, и амплитуду р звукового давления.
13.20.На сколько увеличился уровень громкости Lj звука, если интенсивность звука возросла: а) в 3000 раз; б) в 30 000 раз?
13.21.Найти расстояние I между соседними зубцами звуковой бороздки на граммофонной пластинке для тона
ля (частота v=435 Гц): а) в начале записи на расстоянии г—12 см от центра; б) в конце записи на расстоянии г= =4 см от центра. Частота вращения пластинки п= 78 мин-1.
13.22. Найти расстояние I -между соседними зубцами
звуковой бороздки на граммофонной пластинке для: |
a) v = |
||||
= 100 Гц; |
б) v=2000 |
Гц. Среднее |
расстояние |
от |
центра |
пластинки |
г=10 см. |
Частота |
вращения |
пластинки |
|
я = 78 мин-1.
13.23. При образовании стоячей волны в трубке Кундта в воздушном столбе наблюдалось п= 6 пучностей. Ка кова была длина 12 воздушного столба, если стальной стер жень закреплен: а) посередине; б) в конце? Длина стержня lt= 1 м. Скорость распространения звука в стали сг— =5250 м/с, в воздухе сг=343 м/с. .
13.24. Какова была длина h стеклянного стержня в трубке Кундта, если при закреплении его посередине в воз душном столбе наблюдалось « = 5 пучностей? Длина воздуш
но -
ного столба /,=0,25 м. Модуль Юнга для стекла £ = 6 ,9 X XlO1® Па; плотность стекла р= 2,5-10* кг/м*. Скорость распространения звука в воздухе с=340 м/с.
13.25. Для каких наибольших частот применим метод Кундта определения скорости звука,, если считать, что наи меньшее различаемое расстояние между пучностями яг4 мм? Скорость распространения звука в воздухе с=340 м/с.
13.26.Два поезда идут навстречу друг другу со ско ростями i>i=72 км/ч и о2=54 км/ч. Первый поезд дает сви сток с частотой v=600 Гц. Найти частоту V колебаний зву ка, который слышит пассажир, второго поезда: а) перед встречей поездов; б) после встречи поездов. Скорость рас пространения звука в воздухе с=340 м/с.
13.27.Когда поезд проходит мимо неподвижного на блюдателя, частота тона гудка паровоза меняется скачком. Какой процент от истинной частоты тона составляет скачок частоты, если поезд движется со скоростью и=60 км/ч?
13.28.Наблюдатель на берегу моря слышит звук паро
ходного гудка. Когда наблюдатель и пароход находятся в покое, частота воспринимаемого наблюдателем звука v = =420 Гц. При движении парохода воспринимаемая частота v(=430 Гц, если пароход приближается к-наблюдателю, и v2=415 Гц, если пароход удаляется от него. Найти ско рость v парохода в первом и во втором случаях, если ско рость распространения звука в воздухе с=338 м/с.
13.29. Ружейная пуля летит со скоростью и=200 м/с. Во сколько раз изменится.частота тона свиста пули для не подвижного наблюдателя, мимо которого пролетает пуля? Скорость распространения звука в воздухе с=333 м/с.
13.30.Два поезда идут навстречу друг другу с одина ковой скоростью. Какова должна быть их скорость v, чтобы частота свистка одного из них, слышимого на дру гом, изменялась в 9/8 раза? Скорость распространения зву ка в воздухе с=335 м/с.
13.31.Летучая мышь летит перпендикулярно к стене
со скоростью о=6,0 м/с, издавая ультразвук частотой v = =45 кГц.- Какие две частоты звука vi и v2 слышит летучая мышь? Скорость распространения звука в воздухе с—
—340 м/с.
13.32.Какую длину I должна иметь стальная струна радиусом г=0,05 см, чтобы при силе натяжения F=0,49 кН она издавала тон частотой v=320 Гц?
13.33.С какой силой F надо натянуть стальную'струну длиной /=20 см и диаметром d=0,2 мм, чтобы она издавала тон ля. (частота v=435 Гц)?
191