Полезная информация для электромехаников / Волькенштейн_1985
.pdfТаким образом, величины D и а численно равны только в рационализованной системе СИ. В нерационализованной системе СГС их числовые значения ужене совпадают. Поэтому при переводе в систему СГС единицы «кулон на квадратный метр» необходимо учитывать, у какой величи ны стоит это наименование, так как, согласно (2) и (4),
имеем |
|
|
|
1 Кл/м2 = |
СГСд, 1 Кл/м2 = 3-10? СГСв/см2. |
3 |
а д а ч а 3. При пропускании тока 4 А через обмо |
|
длинной катушки без сердечника магнитный поток через эту катушку был равен 250 Мкс. Площадь поперечного сечения катушки равна 5 см2. Какое число витков на единицу длины имеет эта катушка?
Решение. Магнитный поток через соленоид определяется
формулой |
<P=p0p/nS; отсюда |
|
|
||
|
|
|
Ф |
( 1) |
|
|
|
|
|
S ' |
|
Подставляя |
числовые |
данные |
Ф=250 Мкс=250-10-8 Вб, |
||
р,0=12,57* 10~г |
Гн/м, |
р=1, /==4 A, |
S = 5 см2—5-10"4 м2, |
||
получим |
|
|
|
|
|
|
|
250-1 0 -8 |
■м' |
1000 м~*. |
|
|
|
12,57-1 0 -7-4 -5 .10- |
|||
З а д а ч а |
4. Плоский конденсатор периодически заря |
||||
жается от батареи аккумуляторов до разности потенциалов 80 В и разряжается через соленоид (без сердечника)'. Пере ключение конденсатора происходит с частотой 100 с-1. Площадь пластин конденсатора равна 100 см2, расстояние между пластинами равно 4,7 мм. Пространство между пластинами заполнено парафином (е=2,1). Соленоид дли ной 25 см имеет 250 витков. Найти среднюю магнитную индукцию в соленоиде.
Решение. При каждом разряде конденсатора через со леноид пройдет количество электричества <?=С[/, где С = = e 0eS/d — емкость конденсатора. Средняя сила тока, иду щего через соленоид, I —qn, где п — частота разрядов конденсатора. Напряженность магнитного поля внутри соленоида H=INll. Магнитная индукция в соленоиде В = =[1фН. Из этих уравнений получим окончательно
g __ роiie0 zS.UnN j.
112
Подставляя числЬвые данные Цо= 12,57* 10"? Гн/м, ц=1, е0=8,85-10-1® Ф/м, е=2,1, S = 100 см® = 10Q- Ю”1 м®, U=80 В, я=100 с-1, N=250, /=25 см=0,25 м и d= 4,7х X10-3 м, получим
п12,57-10-7-1 -8,85-10_12-2,1 *10_2-80-102-250 Тл = 397 пТл.
В"* 0,25-4,7-10-3
§ 9. Электростатика
По закону Кулона сила электростатического взаимодействия между двумя заряженными телами, размеры которых малы по срав
нению с расстоянием г |
между |
ними, |
определяется формулой |
|||
|
|
|
F — |
|
|
|
|
|
|
|
4яе0ел2’ |
|
|
где <7J |
и q2— электрические заряды тел, е — относительная диэлектри |
|||||
ческая |
проницаемость |
среды, |
е0= 8 ,85418782-10-18 Ф/м — электри |
|||
ческая |
постоянная. |
|
|
|
|
|
|
Напряженность электрического |
поля определяется |
формулой |
|||
где |
F — сила, действующая на |
заряд q. Напряженность |
поля точеч |
|||
ного |
заряда |
|
|
|
|
|
£ = __2__
4яе0ел2‘
Напряженность электрического поля нескольких зарядов (например, поле диполя) находится по правилу векторного сложения.
По теореме Гаусса поток напряженности сквозь любую замкнутую поверхность
где — алгебраическая сумма зарядов, находящихся внутри этой поверхности. Соответственно "Ноток электрического смещения сквозь любую замкнутую поверхность
■лъ=2*/-
При помощи теоремы Гаусса можно найти напряженность элект рического поля, образованного различными заряженными телами.
Напряженность поля, образованного заряженной бесконечно длинной нитью,
2я80еа’
где т — линейная плотность заряда на нити, а — расстояние от нити. Если нить имеет конечную длину, то напряженность поля в точке,
находящейсяна перпендикуляре, восставленном из середины нити на
расстоянии а от нее, |
. . г |
|
£ = -тг sin в |
|
2яе0еа* |
где 9 — угол между направлением нормали к нити и радиус-вектором, проведенным из рассматриваемой точки к концу нити.
Напряженность поля, образованного заряженной бесконечно
протяженной плоскостью,
£ = ; <т
*
2е0в ’
где 0 — поверхностная плотность заряда на плоскости. Если пло скость представляет собой диск радиусом R, то напряженность поля в точке, находящейся на перпендикуляре, восставленном из центра диска на расстоянии а от него,
• = — — ( |
а |
2е0е ^ |
V Я2 + а2)• |
Напряженность поля, образованного разноименно заряжёнными параллельными бесконечными плоскостями (поля плоского конденса тора),
£ = — .
е„в
Напряженность поля, образованного заряженным шаром,
4яе0вг2
где q — заряд шара радиусом R и г — расстояние от центра шара, причем r> R.
Электрическое смещение D определяется соотношением
D —в0е£ = о.
Разность потенциалов между двумя точкамя электрического поля определяется работой, которую надо совершить, чтобы единицу поло жительного заряда перенести из одной точки в другую:
U —<pi—фг = — ■
Потенциал поля точечного заряда-
^4яе08г'
где г — расстояние от заряда.
Напряженность электрического поля- н потенциал связаны соот ношением
Е = — 'dq>dr
114
В Случае однородного поля плоского конденсатора напряженность
где U — разность потенциалов между пластинами конденсатора, d — расстояние между ними.
Потенциал уединенного проводника и его заряд связаны соотно шением
q — Cff,
где С — емкость уединенного проводника. Емкость плоского конденсатора
8()8S d '
где S — площадь каждой пластины конденсатора. Емкость сферического конденсатора*
„4n&0erR
~ R~ r ’
где г и R — радиусы внутренней и внешней сфер. В частном случае, когда R— оо,
С— 4яе„ег
—емкость уединенного шара.
Емкость цилиндрического конденсатора
2яе0е£
1п(Я/л)’
где L — высота коаксиальных цилиндров, г и R — радиусы внутрен-' него и внешнего цилиндров.
Емкость системы конденсаторов:
при параллельном соединении конденсаторов
С = Сх+ С2 + С3+ ... ,
при последовательном соединении
_1_
С
Энергия уединенного заряженного проводника может быть най дена по одной из следующих формул:
|
CU2 |
W = 2С ’ |
|
2 ’ |
|
В случае плоского конденсатора энергия |
|
|
ees S y a |
e$t£2Sd |
a*S4 |
W~ 2d ~ |
2 |
2eee* |
Л 5
где S — площадь каждой пластины конденсатора, о — поверхностная плотность заряда на пластинах, U — разность потенциалов между пластинами, d— расстояние между ними. Величина
°2 ~ 2
называется объемной плотностью энергии электрического поля. Сила притяжения между пластинами плоского конденсатора
e0p£2S _ е 0еSU* _ a 2S t ^ 2 — 2d2 —2е„8 ‘
9.1.Найти силу F притяжения между ядром атома водо рода и электроном. Радиус атома водорода г=0,5-10-10 м; заряд ядра равен по модулю и противоположен по знаку заряду электрона.
9.2.Два точечных заряда, находясь в воздухе (е=1) на расстоянии г1=20 см друг от> друга, взаимодействуют с некоторой силой. На каком расстоянии г2 нужно поместить эти заряды в масле, чтобы получить ту же силу взаимодей ствия?
9.3.Построить график зависимости силы F взаимодей ствия между двумя точечными зарядками от расстояния г между ними в интервале 2 ^ г ^ 1 0 см через каждые 2 см. Заряды </i=20 нКл и <72=30 нКл.
9.4.Во сколько раз сила гравитационного притяжения между двумя протонами меньше силы их электростатиче ского отталкивания? Заряд протона равен по модулю и противоположен по знаку заряду электрона.
9.5.Найти силу F электростатического отталкивания между ядром атома натрия и бомбардирующим его прото ном, считая, что протон подошел к ядру атома натрия на расстояние г—6 -10~14 м. Заряд ядра натрия в 11 раз больше заряда протона. Влиянием электронной оболочки атома натрия пренебречь.
9.6.Два металлических одинаково заряженных шарика массой т = 0,2 кг каждый находятся на некотором расстоя нии друг от друга. Найти заряд q шариков, если известно, что на этом расстоянии энергия и^0,_их электростатиче
ского взаимодействия |
в миллион раз больше энергии |
WTр их гравитационного взаимодействия. |
|
Во сколько раз |
энергия Wb)l электростатического |
взаимодействия двух частиц с зарядом q и массой т каждая больше энергии Wn их гравитационного взаимодействия? Задачу решить для: а) электронов; б) протонов.
116
9.8. Построить график зависимости энергии W91l элект ростатического взаимодействия двух точечных зарядов от расстояния г между ними в интервале 2 ^ г^ 1 0 см через каж дые 12 см. Заряды <?!=1 нКл и <?2= 3 нКл; е=1. График по строить для: а) одноименных зарядов; б) разноименных зарядов.
9.9. Найти напряженность Е электрического поля в точ ке, лежащей посередине между точечными зарядами qt=' —8 нКл и д2= —6 нКл. Расстояние между зарядами г—
=10 см; е=1.
9.10.В центр квадрата, в каждой вершине которого, находится заряд q—2,33 нКл, помещен отрицательный за ряд q0. Найти этот заряд, если на каждый заряд q действует результирующая сила F= 0.
9.11.В вершинах правильного шестиугольника распо ложены три положительных и три отрицательных заряда. Найти напряженность Е электрического поля в центре шес тиугольника при различных комбинациях в расположе нии этих зарядов. Каждый заряд q= 1,5 нКл; сторона шес
тиугольника а= 3 см.
9.12.Решить предыдущую задачу при условии, что все шесть зарядов, расположенных в вершинах шестиугольника, положительны.
9.13.Два точечных заряда qi=7,5 нКл и д2= —14,7 нКл
расположены на расстоянии г=5 см. Найти напряженность Ё электрического поля в точке, находящейся на расстояни ях а=3 см от положительного заряда и Ь=4 см от отрица тельного заряда.
9.14. Два шарика одинаковых радиуса и массы подве шены на нитях одинаковой длины так, что их поверхности соприкасаются. После сообщения шарикам заряда дв= =0,4-мкКл они оттолкнулись друг от друга и разошлись на угол 2а=60°. Найти массу т каждого шарика, если рас стояние от центра шарика до точки подвеса /=20 см.
9.15.Два шарика одинаковых радиуса и массы подве шены на нитях одинаковой длины так, что их поверхности соприкасаются. Какой заряд д нужно сообщить шарикам, чтобы сила натяжения нитей стала, равной Т =98 мН? Рас стояние от центра шарика до точки подвеса /= 10 см; масса каждого шарика m—Ъг.
9.16.Найти плотность р материала шариков задачи 9.14, если известно, что при погружении этих шариков в керосин угол расхождения нитей стал равным 2ак=54°.
9.17.Два заряжённых шарика одинаковых радиуса и
массы подвешены на нитях одинаковой длины и опущены
Ш
в жидкий диэлектрик, плотность которого равна р и ди электрическая проницаемость равна е. Какова должна быть плотность р0 материала шариков, чтобы углы расхож дения нитей в воздухе и в диэлектрике были одинаков выми?
9.18.На рис. 16 А А — заряженная бесконечная п
скость с поверхностной плотностью заряда |
сг=40 мкКл/м2 |
||
и В — одноименно заряженный |
шарик |
с мас |
|
сой |
т = 1 г и зарядом q = 1 нКл. |
Какой |
угол |
а с |
плоскостью АА образует нить, на |
кото |
|
рой |
висит шарик? |
|
|
9.19. |
На рис! |
16 |
А А '— заряженная беско |
||||||
нечная |
плоскость |
и |
В — одноименно |
заряжен |
|||||
ный шарик с массой |
т = 0 ,4 мг и |
зарядом |
</= |
||||||
=667 пКл. Сила натяжения |
нити, |
на |
|
которой |
|||||
висит шарик, |
Г=0,49мН . |
Найти |
поверхност |
||||||
ную плотность заряда а на плоскости АА. |
|
||||||||
9.20. Найти силу F, действующую на заряд |
|||||||||
q= 2 СГС?, если заряд помещен: а) |
на |
расстоя |
|||||||
Р н с . 16. нии г=2 см от заряженной |
нити |
с |
линейной |
||||||
плотностью |
заряда |
т= 0,2 |
мкКл/м; |
|
б) |
в |
|||
поле заряженной плоскости с поверхностной |
плот |
||||||||
ностью заряда о=20 мкКл/м2; в) на |
расстоянии |
г= 2 см |
|||||||
от поверхности заряженного |
шара с |
радиусом |
|
Д =2см |
|||||
и поверхностной плотностью заряда о=20 мкКл/м2. Ди электрическая проницаемость среды е=6.
9.21. Построить на одном графике кривые зависимости
напряженности Е |
электрического поля от расстояния г |
в интервале l< /< 5 |
см через каждый 1 см, если поле об |
разовано: а) точечным зарядом 9=33,3 нКл; б) бесконечно длинной заряженной нитью с линейной плотностью заря да т^=1,67 мкКл/м, в) бесконечно протяженной плоскостью
споверхностной плотностью заряда о=25 мкКл/м2.
9.22.Найтн напряженность Е электрического поля на расстоянии г=0,2 нм от одновалентного иона. Заряд иона считать точечным.
9.23.С какой силой Ft электрическое поле заряженной бесконечной плоскости действует на единицу длины заря женной бесконечно длинной нити, помещенной в это поле? Линейная плотность заряда на нити т= 3 мкКл/м и поверх
ностная плотность заряда на плоскости сг=20 мкКл/м2. 9.24. О какой силой Ft на единицу длины отталкивают ся две одноименно заряженные бесконечно длинные нити
с .одинаковой линейной платностью заряда т= 3 мкКл/м, находящиеся на расстбянии г,= 2 см друг от друга? Какую
1Ш
работу At на единицу длины надо совершить, чтобы сдви нуть эти нити до расстояния г2=1 см?
9.25. Две длинные одноименно заряженные нити рас положены на расстоянии т = 10 см друг от друга. Линейная плотность заряда на нитях TI = T2=10 мкКл/м. Найти модуль и направление напряженности £ результирующего электрического поля в точке, находящейся на расстоянии а=10 см от каждой нити.
9.26.С какой силой Fs на единицу площади отталкива ются две одноименно заряженные бесконечно протяженные плоскости? Поверхностная плотность заряда на плоскостях о=0,3 мКл/м2.
9.27.Медный шар радиусом /?=0,5 см помещен в масло. Плотность масла рм—0,8• 103 кг/м3. Найти заряд q шара, если в однородном электрическом поле шар оказался взве шенным в масле. Электрическое поле направлено верти кально вверх и его напряженность Е =3,6 МВ/м.
9.28.В плоском горизонтально расположенном конден саторе заряженная капелька ртути находится в равновесии при напряженности электрического поля £ = 60 кВ/м. За
ряд капли 9=2,4-10~° СГС?. Найти радиус R капли. 9.29. Показать, что электрическое поле, образованное заряженной нитью конечной длины, в предельных случаях переходит в электрическое поле: а) бесконечно длинной за
ряженной нити; б) точечного заряда.
9.30. Длина заряженной нити /=25 см. При каком пре дельном расстоянии а от нити по нормали к середине нити электрическое поле можно рассматривать как поле беско нечно длинной заряженной нити? Ошибка при таком допу щении не должна превышать 6=0,05. У к а з а н и е . Допускаемая ошибка 6= (£ 2—£ I)/£ 2, где Е г — напряжен ность электрического поля бесконечно длинной нити, Et — напряженность поля нити конечной длины.
9.31. В точке А, расположенной на расстоянии а=Ъ см от бесконечно длинной заряженной нити, напряженность электрического поля £=150 кВ/'м. При какой предельной длине / нити найденное значение напряженности будет верным с точностью до 2%, если точка А расположена на нормали к середине нити? Какова напряженность Е элект рического полязв точке Л , если длина нити /=20;см? Линей ную плотность заряда на нити конечной длины считать
.равной линейной плотности заряда на бесконечно длинной нити. Найти линейную плотность заряда т ,на нити.
9.32. Кольцо из проволоки радиусом Д=10 см имеет отрицательный заряд q——£>нКл. Найш напряженности Е
•М9
электрического поля на оси кольца в точках, расположен ных от центра кольца на расстояниях L, равных 0, 5, 8, 10 и 15 см. Построить график £ = /(L ). На каком расстоянии L OT Центра кольца напряженность Е электрического Поля будет иметь максимальное значение? .
9.33. Напряженность электрического поля на оси заря женного кольца имеет максимальное значение на расстоя нии L от центра кольца. Во сколько ,раз напряженнрсть электрического поля в точке, расположенной на расстоянии 0,5L от центра кольца, будет меньше максимального зна чения напряженности?
9.34.Показать, что электрическое поле, образованное заряженным диском, в предельных случаях переходит в электрическое поле: а) бесконечно протяженной плоскости; б) точечного заряда.
9.35.Диаметр заряженного диска L>=25 см. При каком предельном расстоянии а от диска по нормали к его центру
электрическое поле можно рассматривать как поле беско нечно протяженной плоскости? Ошибка при таком допу щении не должна превышать 6=0,05. У к а з а н и е . До пускаемая ошибка 8=(Е2—Е^/Еъ, где Е 2— напряжен ность поля бесконечно протяженной плоскости, Ех— на пряженность поля дйска.
9.36. Требуется найти напряженность Е электрическо го поля в точке А, расположенной на расстоянии а=5 см от заряженного диска по нормали к его центру. При каком предельном радиусе R диска поле в точке А не будет отли чаться более чем на 2% от поля бесконечно протяженной плоскости? Какова напряженность Е поля в точке А, если радиус диска R = l0a? Во сколько раз найденная Напря женность в этой точке меньше напряженности поля беско нечно протяженной плоскости?
9.37.Два параллельных разноименно заряженных диска
содинаковой поверхностной плотностью Заряда на них рас положены на расстоянии d= 1 см друг от друга. Какой пре дельный радиус R могут иметь диски, чтобы между цент
рами дисков поле отличалось от поля плоского конденсато
ра не более чем на 5%? Какую |
ошибку 6 мы допуска |
ем, принимая для этих точек |
напряженность поля рав |
ной напряженности поля плоского конденсатора при
R/d= 10?
9.38. Шарик массой т= 40 мг, имеющий положитель ный заряд q—1 нКл, движется со скоростью v—10 см/с. На какое расстояние г может приблизиться шарик к поло жительному точечному заряду ^#=*1,33 нКл?
120
9.39.До какого расстояния г могут сблизиться два элек трона, если они движутся навстречу друг другу с относи тельной скоростью 1>о=10в м/с?
9.40.Протон (ядро атома водорода) движется со ско ростью н=7,7-10* м/с. На какое наименьшее расстояние г может приблизиться протон к ядру атома алюминия? Заряд
ядра атома алюминия q=Ze, где Z — порядковый номер атома в таблице Менделеева н е — заряд протона, равный по модулю заряду электрона. Массу протона считать рав ной массе атома водорода. Протон и ядро атома алюминия считать точечными зарядами. Влиянием электронной обо лочки атома алюминия пренебречь.
9.41. При бомбардировке неподвижного ядра натрия а-частицей сила отталкивания между ними достигла зна чения 7"=140 Н. На какое наименьшее расстояние г при близилась а-частица к ядру атома натрия? Какую скорость v имела а-частица? Влиянием электронной оболочки атома
натрия пренебречь. |
с зарядами ^= 6,66 нКл |
и qt= |
|
9.42. Два |
шарика |
||
= 13,33 нКл |
находятся |
на расстоянии rt=40 см. |
Какую |
работу А надо совершить, чтобы сблизить их до расстояния га=25 см?
9.43. Шар радиусом Д = 1 см, имеющий заряд q= =40 нКл, помещен в масло. Построить график зависимости U=f(L) для точек поля, расположенных от поверхности шара на расстояниях’ L, равных 1, 2, 3, 4 и 5 см.
9.44. Найти потенциал <р точки поля, находящейся на расстоянии г=10 см от центра заряженного шара радиусом R —1 см. Задачу решить, если: а) задана поверхностная плотность заряда на шаре о=0,1 мкКл/м2; б) задан потен
циал шара фо=300 В. |
* |
|
9.45. Какая работа |
А совершается при перенесении |
|
точечного заряда <7=20 |
нКл |
из бесконечности в точку, на |
ходящуюся на расстоянии г —1 см от поверхности шара ра диусом Д = 1 см с поверхностной плотностью заряда а=
=10 мкКл/м2?
9.46.Шарик с массой т= 1 г и зарядом <7=10 нКл пере мещается из точки 1, потенциал которой <pi=600 В, в точку 2, потенциал которой <р4=0. Найти его скорость в точке 1, если в точке 2 она стала равной vt=20 см/с.
9.47.Найти скорость v электрона, прошедшего разность потенциалов I/, равную: 1, 5, 10, 100, 1000 В.
9.48.При радиоактивном распаде из ядра атома полония вылетает а-частйца со скоростью и=1,6 • 107 м/с. Найти ки нетическую энергию WKа-частицы и разность потенциалов
121