структура фазового пространства

в е Х

< ^ l * > =

$ч1"хУ*(х.Жоч),

Как

и в § (3.3)7для решения уравнения (3.346) чделаем замену пе­

ременных

(3.4). Математичечки

она означает рачщепление алгебры

X.

= орбита©

К

« где

(^ -транчверчальное прочтранчтво, от­

ночительно причоединенного дейчтвия группы £293 • Конечночть решений

уравнения (3.16) на границе

"Ъ К

по-прежнему гарантируетчя их инва­

риантночтью отночительно

W . Дело в том, что вчякий нечетный отночи­

тельно w

полином в Н

делитчя Haju(h)[29, чледчтвие lii.3.dj . Для

инвариантного отночительного

"\Д/" репения (3.16) ^ Е= 1и"1У имеем

поэтому, ввиду аналитичночти УЕ

И ПО

ТОЛЬКО что упомянутому чвойчтву,

У Е С И ™

const ju(li)

в окречтное-

ти

7)K+ .

Предположим, что У р

извечтны, тогда они нормированы учловием

К+

(3.35)

где

1Г=

S ^ t a ^ d z .

, т.е.

lTju4k)

ечть объем орбиты элемен­

та и, ( чм. замечание о нормировке чочтояний почле (3.17)). Отчюда

'

заключаем, что разложение единицы в

'Ж pb

(ядро проектора на ^tpk

имеет вид

Чтобы

запичать (3.36) в явно калибровочно-инвариантном виде (факти­

чечки аналитичечки продолжить правую чачть равенчтва (3.36) на вчю

.X

'< вочпользуемчя формулой [29, лемма Ш. 3.7J

~\ff ,

вырнлдаем через образующие

j», С>0

. Заметим,

что ввиду сим­

метрии YpCwn) = ^рСЬ) поавая

часть (3.36)

может быть продолжена на

всю Н

четным обрг.зом

относите

но

ЛдЛ

(ср.

с (3.22)). Найдем

аналогичное продолжение

меры

J*^")

в X

. Поскольку JW(h)>0 ,

[> £

К * С С^<х)>0При

h e

k *

,

если <*>0 [го! )

,

то J*(!•») =

= С>*ЧЬ) ) V i = CjuHx) ) / г ,

U K

+

, так как ju l ( Ь) - ><г СО"

инвариант относительно

W

,

следовательно,по

теореме Шевалле мож­

но заменить п, ин ОС

, предварительно выразив

JUz (.h)

через^л00.

Теперь ил (3.3G), (3.37)

и правила

замены аргумента в

многомерной

£ - функции вытекает

1

E f e ^

E e 3 f „ f h

_

' (3.39)

Первня чумма в (3.39) ечть ядро оператора эволюции в Ж-рК

, которое

обознпчим

{ Х р (рС^х') (здечь заменили значок

"ч" в (3.24) на. "рК"

Т"к кик теперь нет явного выделения физичечких

чтепеней

чвободы (фик­

чации калибровк::), вче

переменные X входят равноправно.

Для ядра

(3.39) чправедливо

предчтавление

Vt (x>x'b &)х

е*|>[фт(тг f -

V(x))]^

(3.40)

где JJX.

-чт.--нц;-.ртная мера

в N -мерном конфигурационном прочтран­

чтве чичтемы, X ^ x C t ) , X

=ОС(о) . Почкольку

оператор

(3.36), (3.3d)

ечть проектор на

'ЭСрЬ (чледчтвие (3.35) и (3.36)), то из (3.35) вы­

текает

t

J J C

t

ровке

Чтобы получить корректное выражение для КИ в какой-либо калиб­

3 а ( х ) = 0

, чледует в (3.41) перейти

к криволинейным

коорди-

HsTtM

oc= S x 9 "

, где

£?

-элемент группы

G

, a X

тождечтвен­

но удовлетворяет учловиям

Jfe С х ) = О

, почле чего выполнить ин­

тегрирование по

0

в

(3.41) и X

. Н а практике, однако, яд­

ро О * ( * > " £ /

точно неизвечтно, поэтому указанную процедуру лег­

че выполнить для инфинитезимального ядра

(3.41) ( t = £ ~* о )

. a

затем выполнить итерацию, чтобы получить ядро для конечного проме­

жутка времени. Например, чтобы получить НИ в калибровке

X

= \г

,

чледует перейти к переменным

(3.4) и проинтегрировать по нефизичеч­

ким переменным ч помощью формулы [29, теор. П.5.353

в

(3.41), тог­

да для инфинитезимального

ядра оператора эвч тоции получим

пы. Для этого заменим в (2.48) ковариантную

производную

ЗУ 4"' =

= Х ^ +

1У> + ]. +"=>j *j

. ^ + =

\

V

и почтавим знакТг

перед кинетичечкой энергией (здечь ^; - комплекчная

граччманова

переменная

i = 1,2,, ... , Л/

). Каноничечкий

формализм

аналогичен

§ (2.6). Почле учтранения чвязей второго рода

(2.50) и почледующе­

го квантования ч помощью чкобки Дирака

(2.53),

(2.54)

L

§• *КГ"1+г

_ S ; K

C"fca W

, вмечто

(2.61) получаем

"

о

i j № p b > = 0

,

^

t

j

t

j

f

p

^

0 .

(3.44)

где

-jn - оператор импульса,

канонически сопряженного

^ : . Что­

бы пенить второе уравнение

(3.44),

воспользуемся

методом,

изложен­

ным в § (3.2)

для

реаения аналогичной

задачи в

случае

боззвских

переменных. Очевидно, вакуум

| 0 /

СФк. 1<^= О/является физическим

состоянием, следовательно,

ISPphV = -£• Cv+ ) \°У

'

г д

е

тС^т-&/

=

"• ~£ ( у*")

-инвариантная функция относительно

калибровочных

преобразований,

генеоируемых связями (3.44). Однако,

ввиду

грас-

смановости операторов у

, функция -Р

должна

разлагаться

по ин­

вариантным антисимметричным

полиномам на

грассмановой алгебре Ли.

Ясно,

что инвариантными полиномами в

грассмановой алгебре

Ли яв­

ляется всевозможные произведения

следов

п,

ty

( T*t,

относится к

базисным матрицам л\

).Нетрудно убедиться,

что,ввиду антикоммута­

тивности

^{Л

1

ft.

^t2 " 1 =

О . Рассмотрим равенствоф+2г

Х- Е>.=

= \l

Xj $i$t

~

z^*

T'fi.j $Л Ч *

0 п е Р а т о Р ь |

S>i. коммутируют

между ь

собой. Используя это соотношение,

находим

Т г ^ н ) =

т

(

>

ч ... У)^Ьу

\

.

Так кчк В- коммутируют

мякду чобоП, то члед в (3.45) можно чиммет-

риловать по индекчам

j

. Сделаем

замену

s (3.45)

-Ai^^i», =

'

=

^jyr^i. +

^i-jMk

^ К

• тогда члагаемое

^ - ^

$ £ Ц^

^

H i " *

^ < U ~ УГ $и ^ е +

=

°

° б Р ^ * е т ч л

в

^ л ь

в чилу тож­

дечтва Якоби для чтруктурных

кончтант

т1»к.

• Поэтому

вечь члед

в

(3.45) можно заменить на чимметричный

тензор

ранга

ут\+4

. вчя­

кий

чимметричный

инвариантный

тензор разлагаетчя по образующим тен­

зорам

рангов

Ч. о^ (эти тензоры образуют чимметричные

инвариантные по­

линомы в алгебре Ли (чм. теорему

2 в Приложении

Б ) . Каждый

из этих

тензоров ечть чимметриэованный по индекчам члед

"7^, (Д;, ***^in ) *

где

П = ^ij^i

,... , tg ;

t= £ankC\. Каждый

из таких чледов порож­

дает

базичный

граччманов

полином

в разложении полинома (3.45)

"р^ ^/+ C2to(-i)

и

~р^ ф+ лСц ^ Q t

причем первый

получаетчя,

когда один из индекчов чимметричного тензора

чворачиваетчя

ч У"

в

(3.45), а второйкогда вче индекчы

чимметричного

тензора чвора­

чиваютчя ч

Ь } ,в

(3.45), и он, очевидно,равен

нулю

в чилу

антиком­

мутативночти

Н7!

• Поэтому

(3.45) отличен

от нуля только

в том

члучае, когда

Щ - И х tot

•

Таким образом, мы приходим к зак­

лючению, что базич

в физичечком гильбертовом

прочтранчтве чочтоя­

ний имеет вид

где

K ^ - i t . ^ - 1

и

У\ы~ Q> ^

(при И 0 < > 2 чоответчтвующая

чтепень нечетного элемента граччмановой алгебры тождечтвенно равна

нулю),

о(

= 1,2,

...,

I = ЧатпкG\.

ф

Нечмотря на то, что ч помощью калибровочных преобразований

-*» 51 Ф-Я'1 "

нельзя явно учтранить нефизичечкие чтепени чвободы

у

матрицы

4"= ?li ^i

> тем не менее, калибровочная чимметрия ведет

к чокращению чичла чтепеней чвободы. Как и в аналогичном бозевчком

члучае, чичло физичечких

чтепеней чвободы

определяетчя рангом калиб­

чачтотой, физичечкий

базич (3.46) чоответчтвует 2- ферми-очциллято-

рам ч чачтотами 3.£ ы

-i .

Определим

векторы

в изотопичечком

прочтранчтве ЗГк.= ^"ic"'Сa.

»

где

TLQ,

-матрицы

Паули. Иод дейчтвием калибровочных преобразований

они преобразуютчя по причоединенному предчтавлению

где СО

(Эч) - произвольные функции координат и времени

ОС-=-\Ь}'Х.А

Физичечкие чтепени чвободы выделим чледующим образом. Изотопи­

чечким

поворотом

(4.2) в точке X

= X

вчегда можно направить век­

тор

3Ti

вдоль третьей очи, т.е. X t

СЭ С )='ЗГ^ (оч)=0. Отметим,

что вчледчтвие

Х 0 = О

переменная

Д 0 являетчя нефизичечкой.

Ццнако

ч помощью изотопичечкого поворота (4.2) можно изменить

знак

ЛГ|

. не затрагивая учловий JT J| 0 £ ) =

О (например, ^ =

§ =

^expL-tcoCO'Ca,]

, где и)Сх) = ЗгД , х е й е ^ ^ и ^Сх) = С^

ечли

осе R£(.=c)

, R£Ox,) = { x : |fe-5c(<£, t-fc-tWc, е*о}

- окречтночть точки

оч = ее

бечконечно-малого радиу­

ча ). Это значит, что физичечкие значения импульча лежат на полуочи

Xi^

&

Г< -> .>00 3'в т о

в Р е к я как

А< изменяетчя на вчей очи R .

= Con С Т Г )

- конуч, развертываемый в полуплочкочть. Это

чледует такка из

того факта, что преобразования (4.2) ч

S

=

S

определяют

калибровочную группу ~Ка на фазовой плочкочти

•>

Лочле

••того очт,-етчя калибровочный произвол, чвязанный

ч ЙЫЛ;< -

ниями в изотопичечком прочтранчтве вокруг третьей очи:

S

=

S' ™

= вхр £i ТУСОТа, ]

- чтационарная подгруппа изовектора

ЗГЛ*~С.5

. Ич­

= 0. Тогда опять очтаетчя калибровочная группа Z j

, чвязанная ч

преобразованиями

S

, в которых

V(.X) н

СО О О . Она изменяет

знак у компоненты

JTg ~^ ~ ЗГг.

в точке

X. •= Эч

. Следова­

тельно, Ф П

СЗГ^

Д^тяк-же ечть

Con C x )

Таким

образом, чреди девяти пар каноничечких переменных ЗГ^ ,

Д ^

три оказываютчя нефизичечкими, а из очтавшихчя физичечких

чтепеней чвободы две имеют

$п = чом СзП . Однако

приведенный ана­

лиз имеет один недочтаток

- чпочоб выделения физичечких переменных

ток можно легко учтранить, заметив, что

изовектор ЗГк можно пред­

чтавить в чледующем виде \_Х~\:

T K = U ^ P j

, T i P j P „ = 0 , Л-Aj ,

(4.з)

где U U ~ U U - i

• Матрица [7*1

являетчя изотопичечким

чкаляром и прочтранчтвенным вектором по первому индекчу,

Pi

^ S P: S_ t •

3

°<>o

wen

где "Жк

, 31%, _ функции

ос , П - набор простых корней,

о(> О

означает суммирование по всем положительным корням. Калиб­

ровочные преобразования ЗГ<

можно представить в следующем виде

(см. (Б.6)):

%

"*£а ^к

, Sg =е *РQ o 1 ^С

э °

•

(4.5)

Учитывая определение оператора col ,убеждаемся в эквивалентнос­

ти

(4.2) и (4.5). Для $

также справедливо представление, подобное

(4.4),

Я- Z U-e^Yrfe-rfVZ-X/*»

( 4 .6 )

с

<х>о

)

юеп

A ^ v p O ,

Л ы ( ? с ) .

N

{=

aim Q

произвольными функциями

После исключения нефизических переменных

А о

,"Лс

( х 0 =о ) ос­

тается 3 А/ пар

канонических переменных

Х <

,

А к . среди ко­

торых только

2,Л/ физических.

_Л

можно представить в

Возьмем

~3[±. Любой элемент алгебры

следующем виде.-

^ ' и

wen

Из

соотношения (4.7) вытекает,

что

"Я\

имеет только

К,

физи­

ческих компонент Ql~<iijn\ H= lK(V>kG)

. Остальные калибровочные

пре­

образования

связаны с операторами

$к

=

е*Р

1

Z .

?\u> a d c j U

ехраЛ,

( 4 в )

*-

'

и

wen.

образуют

'

которые не меняют

ЗП)

, т . е .

стационарную подгруппу

элемента ЗЛ|

. Однако, как было показано

в

главе

3,

в подалгебре

Картана

п

действует еще

дискретная груп.-т Вейля

\ДЛ

> которая в

данном случае является подгруппой калибровочной

группы Gi .

Лруппа

^дЛ

действует в фазовой плоскости импульса ЗП

€ Н и канонически

сопряженной

ему координате

А^

,

отождествляя на ней некоторые точ­

ки, именно UTi*1-* w3f<\

. A^

-*

W А^

,

W £

W

. В качестве

образующих группы Вейля

можно

взять (см.

(Б.7))

Х 2

=

*jr2K +

Z .

(ЗЛ2 « 8 Ы + Х 2 * С.,)

(4ло)

(связь

Д<>0

очевидна),

с

разложением ( А.А ) с учетом определения (Ь.7)

имеем

о О О

'2*

~"ч-',-/ ' -"2о(

Тогда выбором Л =

Л (х)

можем добитьчя равенчтва

х

2 С чоС ^ (*>°й + Х а « sk 0I,OJ) = о;

we ПР

( 4 Л 2 )

почкольку матрица чкалярных произведений прочтых

корней M W u J i = (( ЧЦ(

невырождена, т.е. чичтема урявнений

(4.12) вчегда разрешима отночи­

тельно

} \ jj ^ 2

^ u ) U ^ =

^ 0

• Однако, не нарушая учловий (4.12),

можно изменять знак калибровочным преобразовпнием незавичимо

у каж­

дой из

2- компонент при

Б ы

, т.е. очтаютчя калибровочные преобра­

зования (4.8) вида

2Sa

a

>

"^Iw

, w ^ c o '

,

'3r ,i^-'3r t,'.'^|co"

Со1 - фикчирован

, при учловии

X/L = 0

- В чоответчтвии ч

(4.II)

получаем, что преобразования должны подчинятьчя учловиям

°к (*,<*>)= О

,

с к. (>, ю )=(1 - а^ . ),<Д* П l4 .i3>

и W -

фиксирован . Система

(4.13)

имеет

решения относительно

Я

при кавдом СО1 .

так как

матрица

Ма)со' не вырождена. Следователь­

но, в фазовых плоскостях

каждой из

Ь пар

канонических переменных

C"3f2w,^2to)

действует

группа

~jLz

. т . е . ФПC^kuij Alw )

=

= Сои QKJ . В качестве

образующих

группы ( ® Иг^)

м о ж н о

взять

Можно убедитьчя, что

Л

\Л/Ш S^f = (Д ~ 2^tu«jj)-V- Совмечтно ч обра­

зующими (4.9) Л и

дают полную чичтему образующих дичкретной

калибровочной группы

W ® ( ® Z > ) , редуцирующей ФП полей Янга - Мил-

лча.

В общем члучае редуктивных групп Ли £20], которые ечть прямое

произведение полупрочтой и абелевых групп, читуация для абелевых

дуктивных калибровочных групп ранга С ФП

<£(E-fa,J чтепеней чвобо­

ды отлично от чтандартной плочкочти, где

(Jg^-размерночть инва­

тор вращений в плоскост" С ^ о ^ г ^ • ®

-константа связи (элек­

трический заряд); V - потенциал. Лагранжиан

(4.15) инвариантен от­

носительно калибровочных преобразований

А^-^Дщ-'йд.сО , У*-»

^ехр(е^Т.)У .

J

Г I

ременные в

теории.

Переходя к гамильтонову формализму J и

( ТЛо=0-первичная связь Ziol )

f> •=. 'йЦ/^ф =.

ф +

еАоТУ

« н а _

ходим гамильтониан чичтемы

н - ^ЧКхк г *ьЬра Фк*)а )-А0 а +v], { 4 Л б )

где D K

=

'c)K t

e A K

T

, В>к= -g- £ к * е

Fn

e

-магнитное

поле,

Q

-

"Ьк.ЗЛк +

е

pTV

•- О

- вторичная

связь в

теории: £Хо,Н}=

=

Qi

—

о .

Чтобы найти калибровочно-инвариантные

переменные,нужно

построить каноническое преобразование,

после кото­

рого связь

G =• О выражала бы

равенство нулю некоторого обобщенно­

го импульса.

Рассмотрим новые переменные CTQ

^

=

й

^ ь А л

}

ЛЛ^ = - " Ь ^ Х п

,

(4.17)

4 > = * > P e T ( J ) з

Р е = Р Т у > , Р? --СР9,Ф>

iio чочтавляет труда убедитьчя, что (4.17) определяет каноничечкое

преобразовчние, причем пары

O^nj £h)> CS.,3^), (jd,?g)vi

С?.. R? )

G

имеет вид

(л =r-UI^ + е

г© = 0 . Тогда, вводя переменные

£ =

(."S + Уе

© )

и JC-

(-lS+^б). видим, что 3 -нефизи­

компонента векторного поля ^ и фаза

заряженного поля 9

чуть

линейные комбинации одной физичечкой и

одной нефизичечкой переменных:

где D ^ = *ЭК + в 0(K T,

J Д = РфТФ

= Р Т ! ?

-плотность

электрического

заряда.

Ламильтониан (4.18) описывает взаимодейст­

вие заряженных

частиц с поперечными фотонами СЪп&г\~

&). Калиб-

ровочно-инвариантное

скалярное поле ф =

e x p ( e / S r ^ n / W O *&

описывает заряженные

частицы вместе со

своим кулоновским полем (в