структура фазового пространства

матрицы

К

чтрока и чтолбец, отвечающие переменной Ч, равны нулю,

так как

Li

не завичит от U . Модель (2.1) можно чравнить чо

X = ОС С О играет роль поля материи, а У

- А0 0t) - временная

компонента векторного потенциала.

Для почтроения непротиворечивой гамильтоновой динам>:ки чичтемы

вочпользуемчя чхемой Дирака [id] . Каноничечкие импульчы чуть р. =

= ^Их;.- Я^+йЩХд , ~Х- ^VbY0'

Равенчтво

X = О ечть первичная

чвязь в чичтеме [_Ю] . Матрица

К имеет только одно чобчтвенное чич­

ло, равное нулю,

поэтому ЗГ=Одает Ече незавичимые первичные чвязи.

По правилу (1.4)

находим гамильтониан чичтемы

Н(Р,*,0Г,з)=1рг.,У(*г) ~ Я Р Т Э С '

(2.3)

[10]) : { < л Д } - { Я ^ ) г 0 , 1ЖМ

] =

G -

Очевидно, что вторичная

чвязь Q

являетчя генератором поворотов

КРК В двумерном конфигура­

ционно»: прочтранчтве, почкольку

£ X J G J - T X , {, X

, G } = 0 ,

так

и в импульчном прочтранчтве, почкольку

{р,(л}=Тр

»{?* G ]

=

= О,

т.е. калибровочные преобразования чуть одновременное

вращение векторов ОС -*• ех|>(и)Т)х и

р -> exp (oST) p .

от нашего произвола, т.е. от выбора

Ч("tj (фактичечки выбор конкретной

функции Ч (-{;) ечть выбор калибровки

т.е. задание эволюции нефизи­

чечких чтепеней чвободы во времени). Следовательно, для определения

е - ^

**/х,, Р9=

г (и,п.) ,

{ ел ! = d ,

< 2 -

где

П г =

з ч / г

и

П е

- Vl

Ле

2 е - орты

полярной

чичтемы

коор­

динат. Убеждаемчя, что пара каноничечки

чопряженных переменных

-Ъ

и р

не меняетчя привращениях, т.е. эту пару елчдует

отождечтвить

ч физичечкими переменными. Угловая переменная, очевидно, оказывает­

чя кефиэичечкой, почкольку её каноничечки

чопряженный импульч

ft=GZО

равен нулю. Следует отметить, чтопереход к калибровочно

инвариант­

ным перченным вчегда диагонализует чвязи, т.е. они выражают равенчт­

во нулю

некоторых обобщенных импульчов.

физичечкие чтепеьи

чвободы,

Таким

образом,

в полном ФП = (к

по крайне мере, образуют подпрочтранчтво

1Йг ® R p ^ . Но легко

видеть, чте

t ? О

,

(^ £

R.

, т.е. физичечкое ФПуже неиэо-

морфно

(R

. Чтобы

выячнить егочтруктуру, иччледуем в немтраек­

тории для какого-нибудь прочтого потенциала, например,

V - -g оч ,

Гамильтоновы

уравнения движения

вмечте чо чвязями

таковы:

х = [Х)н\^9-$Ъс,

р = {р^н} = -х-3Тр , рт х,о.( 2 1 б )

Решение уравнения связи

есть

р

=

Я X

,

где

Я - A (tJ - произвольная

функция времени.

Подставляя это

решение в первые

два уравнения

(2.6)

и комбинируя их,

получим уравнение,

которому подчиняется функция

X :

Я X =-(>(+ ^2 ) X _.

(2.7)

т.е. при Х*0 находим

Х-

-tgCconst+t). Тогда решения уравнении

движения

(2.6), подчиняющиечя

начальным

учловиям

0C(i-O) •= Х 0

p(t-C}=

-">(о)Хч

- 0, имеют вдц

a.(t)= cost exp(-JdtT^w)oc0

t

pct) = - t 3 t

x ( t ) (

2 d )

Подчтаьляя

(2.6)

в (2.5), находим эволюг,ию физичечких переменных во

времени

На рич. 1а

в ФЛ переменных

%

я

0

изображена траектория, чоот-

х

- - >

-.

t-o

2

IcJ

Рис. 1а

о

•%

траектория

Рис. 16

Видно, что в момент времени t =

претерпевает разрыв

и Рг меняется скачком. Из физических

соображений

ясно, что

никакие

скачков в йП данной механической

системы быть не может (скачок им­

пульса связан с "ударом" частицы

о "стенку" - область, где потен­

ле координат данная система не имеет

V(x -°J-( }'. Следовательно, этот

факт нужно трактовать как указание на

необходимость отождествить точ­

ки

прямой 1-0

, лежащие на полуосях

фг?0

и

Рг

< °

. Это означает,

что

в данной модели йП физических переменных

"Ъ

,

?ъ есть конус,

развертываемый

в полуплоскость (рис. 16): вП(.1,рг)=

азп(л). Ввиду

координатах для аналогичной

модели

без калибровочной симметрии

( ^ = 0 в (2.1)). При этом по-прежнему

Ъ?0и

р г бС . Однако в следую­

щем параграфе будет показано, что йП для

полярной системы координат

при отсутствии калибровочной симметрии фактически составляет полные

плоскости для переменных Ъ

,

Рг

и

0 ,

Р е

Разумеется, для определения

структуры йП можно обойтись без реше­

шение которого

есть

x ( t b

е*р {s o асо-астя-).»*} эсс .

( 2 л о

Вид функции А (^определяется видом потенциала. Решение (2.10)

допускает

следующую интерпретацию: частица движется по оси, причем

сама

ось

динат. В самом деле, матрица

Т

есть генератор поворотов в плоскос­

ти, а

У (±) есть произвольная функция времени. Точки

плоскости, по­

лучающиеся одна из ... угой калибровочным преобразованием

(т.е. вращени­

ем плоскости), физически неотличимы,

потому выбором у (X) (выбором ка-

либровки

) в (2.1С? задачу можно чвечти к изучению движения чачтицы

по одной

из декартовых

очей, чкажем

эч., ( 0СА (•£)=» О

-унитарная

калибровка). Однако калибровочный произвол не учтраняетчя полночтью

требованием

Х± - О , почкольку

очтаютчя еще калибровочные преоб­

разования, чвязанные ч вращением на угол

Ж

в плочкочти

(.^^Х^),

при котором

X -*-ЭС

. Следовательно, эти преобразования не нару­

шают равенчтва ЭСд = 0

, но изменяют знак у

Х\ •* -^,

причем подоб­

ные повороты можно очущечтвить локально, т.е. в любой заданный мо­

мент времени t't>0. Эти калибровочные преобразования задаютчя функ­

циями

со(х) = ДЗГ01х-V), Г д е

0 ( т )

- функция Хэвичайда и 6(о)в

Уг .

Тогда

у (т)-

цМ-

2*Я(Л'-т).

( 2 Л 1 )

Ечли

в равенчтве

(2.10) выбрать

£j Сч)

так, что

X a ( t ) = 0 ,

то

при преобразованиях

(2. II)

X.,(.-t)

будет менять знак в момент вре­

мени

"t - "t

, так как

$*«*С

U T - t ' )

=

О ,

У д , 1

(2.1

о

t

>

t

,

t

= t

, t ^ . t

, a

равен­

чоответчтвенно при

чтво

Xz

= 0

чохраняетчя. Калибровочные

преобразования

(2.II) чоответ­

чтвуют поворотам на угол ЗГ очи, вдоль которой движетчя чачтица. Сле­

довательно, физичечкая облачть изменения переменной

Х ^

ечть полу­

очь, чкажем

Х^Ш

> О

, ибо точки, чвязанные калибровочным преобразо­

ванием, физичечки неотличимы. С другой чтороны, ввиду равенчтва

p(t)=

» ?|(t)x(t)

, и?

Х г

Ш

-

О

чледует

рг С О

= О

, по&тому при

калибровочных

преобразованиях

(2.II)

(^ (t)

преобразуетчя

подобно

X , Ct} .т.е. Х^ {€)-*•-

Хл(£),

p,C-t> -»-R, С*)

в произвольный

момент времени

t = f

, Другими

чловами, почле ичключения нефизи­

чечких переменных

(учловиеХ.^О) очтаетчя калибровочная группаt .кото­

рая уже не может уменьшить чичло физичечких чтепеней чвободы,но может

уменьшить их

Ш,

так как её дейчтвие

в Ш С30-!) Рл)

'•

Р д - * - ^ » X,,-*

-> -

X ,

означает, что центрально-чимметричные

точки фазовой плоч­

кочти физичечки неотличимы; отождечтвление их

(чклейка) превращает

плочкочть в кэнуч

con

Сделаем в заключение нечколько замечании. Формально в решении

(2.3) вмечто

cost,

может бнть также

lcos"t| . Это проичходит в той

члучае, ечли почле чокращения на

ОС

в 12.7)читать получающеечя урав­

нение чправедливым при вчех t

. Между тем

X[i)

обращаетчя

в нуль

при изменении знака

cos~t, и дифференциальное уравнение для

7> ft)

(2.7) чтановитчя

неприменимым в момент

времени, когда

cost = О .

в соответствии с (2.12), где £(oc) = i , Х > О

, £ ( х ) =_

1

,

Х<0

t т.е. б ( х ) - знаковая функция. Следовательно, cost,

в

(2.8) заменяется на |oost|=

cost-Elcost^ Значения интеграла в (2.14)

при

"t= ^ftt+ Tn.

(см.

(2.12) невлияют нанаш вывод, так как в

(2.8) общим множителем стоит

c o s t = О

,;рИ t = ^/z

+ X n . В

случае движения

общего

вида калибровочное

преобразование X,(t) -*•

_>)2Cf{t)| (2^=0)

имеет

вид (2.13), но суммирование, согласно

(2.10),

должно проводиться по веем корням уравнения expC

S o 0

^ ) 3 0

!

*•••

когда частица проходит

через начало координат.

обобщенные

йормально преобразования

(2.12) и (2.13) содержат

( S i t ) , Jj("t/

- обобщенные функции)

является иллюзорной, поскэль-

ку физические, калибровочно-инвариантные

величины по-прежнему за­

висят от времени

непрерывным образом, точнее, эта зависимость опре­

либровочного преобразования

(2.2) и независят от вида взаимодейст­

вия

(потенциала) вообще. йактически

вопрос о калибровочных инвариан­

тах

это вопрос теории групп

(теории

инвариантов), а не вопрос динами-

люции физичечких переменных был човершен переход к ФП Qi.,ft.)

чочфО

=

от полуплочкочти. Но этим чоображениям очтаточная группа ЗГ2

,ре­

Однако

видимая нечимметричночть выражений для

%

и

Р ъ

иллюзор­

на. Можно было бы определить физичечкие переменные как

р =

С р г ) ^ 0 >

Ч-р = (Р/х )/р6

К , {.^f,?}-

{

и т.д. При переходе к конучу эти

воз­

можночти чтановятчя

неразличимыми: конуч можно разрезать и по полу­

очи

р

и по полуочи

t

.

§

2.2

ФИ для полярной

чичтемы координат

При движении чачтицы в плочкочти ФЛ каждой из двух её чтепеней

чвободы в декартовых

координатах ечть плочкочть: ФП(Р;,!Х^) = (R®lii

,

L

= 1,2 . В полярных координатах каждая из переменных

1

, в

при­

нимает значения, лежащие лишь на чачти вещечтвенной

очи. Каковы же

тогда ФЛ чоответчтвующих чтепеней чвободы? Ввиду того, что t

меняет­

чя на полуочи

t > О

, а

б

- отрезке

£.0, ЯТГЗ

,

напрашивает­

чя вывод, что ФП (jt,

Р ъ )

ечть полуплочкочть, а ФП ф }

Pg) - полоча

шириной

р Ъ

, так как

Р

Р в

меняютчя

в бечконечных преде­

лах —

оа £.

; р0$оо . Более

внимательное раччмотрение показывает,

что ФП в обоих члучаях фактичечки ечть полные плочкочти.

Р ъ

Чтобы убедитьчя

J чправедливочти чказанного отночительно

t

,

, раччмотрим движение чачтиц через начало отчета в декарто­

вых и полярных координатах параллельно. Пучть движение проичходит

вдоль очи

Х ^

. Пока чачтица движетчя по положительной

полуочи, вы­

полняетчя

равенчтво

Х\-%

, и никаких парадокчов не возникает. При

прохождении начала координат Xt

меняет знак, a

t

знака не ме­

няет, G

и

(\

меняютчя

чкачком: 0-> б + Т Г

, Р г = |p|cos0-*-|> .

Хотя чкачки и

не чвязаны ч воздейчтвием каких-либо

чил, они не про­

интерпретацию, позволяющую их избежать. В чамом

деле, формулы пере­

хода к полярным

координатам 9С< = Ъ COS б

, 3Cj.= tSo>. 0

инвариант­

ны отночительно

замены

0 -> в + ТГ ,

t~*

—Х-

. Это означает, что дви­

жение чо значениями полярных координат

б + Х

, t

> 0

неотличимо от

движения чо значениями

их

©

, %<0

. Тогда фазовая траектория бу­

дет одинакова как в плочкочти

Ql,

(^)

, так и

в плочкочти (рс^1

Bj) ,

что и чледовало ожидать.

Скажем иначе, ФП Ql}

fyj)

ечть чложенная пополам

вдоль очи

t< = 0

плочкочть, каждая из половинок плочкочти

отвечает значениям 6

, раз­

личающимчя на "Ж

, поэтому физичечкие чочтояния на этих полуплочкоч­

тях различны, причем вторая половинка

t

< О

перед

човмещением ч

первой Ъ > 0 повернута на угол

ОТ

вокруг очи

р^= 0

(ввиду

чкачка

каждой точке которой отвечает только одно физичечкое чочтояние

чич­

темы, т.е. по определению

»П

именно эта плочкочть должна быть

отождечтвлена ч ФП O^jft.' . При наличии калибровочной чимметрии

Q

чтановитчя нефизичечкой переменной

(ненаблюдаемой), поэтому различие

между двумя наложенными

полуплочкочтями ичезает и ФП (Д-> pj.) =

= COM 0 0 (поворот на угол ЗГ

второй половинки фазовой плочкочти

t<0

перед човмещением ч первой

1

> О

как раз и обечпечивает их отож­

дечтвление чоглачно калибровочной

группе ДГа , дейчтвующей в ФП физи­

чечких переменных).

но к раччматриваемой модели это означает СЯ; , Р ]=

^ч>

ЯЯэ^Г.]1 i

Г С . .Л

„

*

*

i

С к - 0

Уравнение (2.17)

решить. Поскольку

Г' f ЛЫ

^+2^ А

1

-.

нетрудно

\.\У*

+аг',

^'

-» ""

,

имеем

где

вакуумное

состояние определяется

равенством &{,10/ = О

,

С„,-

-некоторые постоянные коэффициенты. Выражение

(2.18)

дает общий вид

вектора физического подпространства,

так как

единственный независимый

инвариант относительно 50(2)калиброаочкых вращений

есть квадрат век­

тора

О.

=

&4

"*" О г

j всякий

другой инвариант

должен

быть функ­

цией от него.

для осциллятора

2.

спектр

гамильто­

Например,

V =

/3. •* физический

ниана £-| =

а.:

й:

+ i , очевидно,

еетьЕп=2и+4

,

п = - " Д , •••

v

вана вчевозможными

калибровочными преобразованиями

S , т.е. в

данном

члучае

это окружночть S радиуча

\х\. Вче конфигурационное

прочтранчтво

(R

раччлаиваетчя на орбиты

группы

S<X*) - окруж­

ночти

S 1 • Наблюдаемыми (физичечкими) являютчя только переходы ч

которой изучать эволюцию физичечкой чтепени чвободы. Например,

Хг-0,

'-.| . в качечтве физичечкой переменной выбрана ЭС!^

. Однако для од­

нозначного динамичечкого опичания необходимо, чтобы

выбранная линия

что линия Х ^ = 0 перечекает вче окружночти

ч центром

в начале

коор­

динат дважды. Следовательно, точки этой линии

ЗС^ и - X t

калибровоч-

но-эквивалентны, т.е. очтаточная

группа

Z o

. редуцирующая ФП

0*4,

R, )

, появляетчя как чледчтвие однозначночти отдания на

прочтранчтве орбит.

члучае. Унитары'й

тор

Почмотрим, как ^обчтоит дело в квантовом

опера­

Q(co) = expi.u)Ci , Q

= Oi

очущечтвляет

калибровочные преобра­

зования

(2.2) операторов координаты и импульча. Ичпользуя его, поч­

троим раччлоение на калибровочные орбиты полного гильбертова прочт­

ранчтва

(чтепень чвободы

Ч учитываетчя

тривиально, поэтому она не

включена в почледующее раччмотрение). Как в клаччичечкой механике

чочтояния, получающиечя друг из друга калибровочными преобразова­

ниями, физичечки неотличимы, так и в квантовой

теории

чледует чи­

тать физичечки тождечтвенными векторы чочтояний, принадлежащие одной

орбите. Ичпользуя формулу Бейкера - Хаучдорфа:

находим

Ufa) Q„ f Й

~ Q< M S

^ +

Q * S c

'

»

*

•

(2-20)

Он a* OU - -*:**"+ ^

«

Тогда

из (2.20) чледует, что orратор калибровочных

преобразований

|M-m,m> = {QJ

аг

1о> г т =о Л . , K > { Z Z I )

причем это прочтранчтво являетчя неприводимым отночительно дейчтвия

(j при фикчированном И. (не рачпадаетчя

в прямую чумму инвариантных

подпрочтранчтв). Следовательно, векторы

(2.21) принадлежат одной орби­

(}(х) |n,o> = U(*)a+>> - С-<У 1">°>

(2.22)

Следовательно, физичечкие чочтояния чуть |2п,0,>

, Ечли в качечт­

ки).

Ечли бы чтруктура физичечкого ФП была проигнорирована, то в калиб­

ровке

0Cj_ = О

был бы получен неверный

чпектр, т.е. нечовпадающий ч

тем, который

вытекает из явногг

решения учловий

квантования Дирака

2.1?)чичтем

чо чвязями.

вчех нефизичечких чтепеней

чвободы пу­

Таким образом, учтранение

тем фикчации

калибровки еще не гарантирует чужения полного гильберто­

ва прочтранчтва до физичечкого

подпрочтранчтва чочтояний, выделяемо­

го операторами

чвязей в чхеме квантования Дирака чичтем чо чвязями.

Роль дичкретной

калибровочной группы, редуцирующей ФПфизичечких чтепе­

ней чвободы, как раз и заключаетчя в том, чтобы ичключить эти очтаю­

щиечя нефизичечкие чочтояния. К проверке этого

вывода в более чложных

чичтемах мы вернемчя прираччмотрении квантовой

теории

в рамках КИ .

2.4. КИдля чичтемы ч Ф1? - С о и

Раччмотрим

прочтейшее неабелево обобщение модели

(2.1). Лагран­

жиан имеет вид С7"!

- V(*2 ),

(2-23)

i

=i- (х ^J°xf