структура фазового пространства

если

А

и

О-четные функции грассмановых

(2.52)

канонических перченных,

то

р

= 1 , если хотя быодна из функций

Д

и В

- нечетная, то

р = 0,

Очевидно, что (2.52) вытекает изантикоммутивности произ­

водных пограссмановш переменным, импульсы (2.50) канонически сопря­

жены

соответствующим координатам относительно

скобки (2.51).

При наличии

в теории связей второго рода необходимо перейти отскоб­

ки

Пуассона к скобке Дирака [10j , чтобы избавиться отнефизичес­

ких переменных. Скобка Дирака строится так, чтобы она обращалась о

нуль для любых двух величин, одна из которых

есть связь второго ро­

да. Можно убедиться, что скобка

2.53)

этому требование удовлетворяет.

Найдем скДбку Дирака для переменных

Ф

и

Ф+

(2.54)

Поэтому

Tgtи

Т Аудобно выбрать в качестве новых канонических пе­

ременных, а импульсы

ТГо,iTTo/-*- исключаются

изтеории с помощью

связей

(2.50). Таким

образом, связи второго рода в теории сократили

полное число степеней

свободы на

2 ,поскольку \^ы уже неканони­

ческая

координата, а канонический

импульс. Отметим, что скобка дира-

ка (2.53) также обладает свойством

(2.52).

Помимо связей второго рода в теории имеется связь первого ро-

да 3 L = * Ь Ц А л = 0

. Гамильтониан системы

имеет вид

Н -

V С О ) - а *Ч * •

(2-55)

(2.56)

После подстановки

уравнение (2.56) примет вид

^ = -г*Л'(^).

(2.57)

Теперь воспользуемся уравнением связи Y

Q, Т = О

,следовательно,

ф * Ц/, =<f_ vjf , так как ф и 4»

отличаются фазовым множи­

во времени полностью определяется эволюцией

ф 4

if Г-и

О) 1

(2.56)

Более ^того, ввиду грассмановости переменных

Ц ^

можем написать

У й й * Yi) = CJ + 2 Л ? 1 + $ 1

< ^

. - Л - константе\ тогда

нетрудно увидеть, чтовторое слагаемое не дает вклада в уравнения

движения, так как *f. = О

(аналогично

i^s»,

= О

). Поэтому

l|> (t) = exp -icut + i^ JJt^(c) J ^ (о)

(2.59)

Кроме того, с помощью уравнения связи

*ч '4 ~ '2 •» можно выразить

образующие Ц ^ (t) через Ц^(t) и

ф *(fc) .Действительно,имеет

место равенство

й4 (£) - ^CtH< W +

taW

\Ct),

где комплексные функции

Я|j(t) удовлетворяют условию

t"Л 1

г

—(Лд.I *• •= "1 . В момент

ьремени

Г" О

всегда можно считать

^ ( t ' o )

л

, поскольку модуль

I X J G O J

-•= О

MOHHJ

включить в начальное значение

^

I0 )

или, что то же

самое,

в

4j Со)

. Но тогда из

(2.59) следует, что

Лд(*)=0,

Д, (Ь)

=

гекрС^аС S*°tt{jCc))H

йг (о) - ^iCe)

. Та1им образом, весь произвол

з начальных условиях для

^

исчезает,и эволюция

%Ш

однознач­

но определяется

Ц^

, например, в калибровке

Я^О

4-. tt)» *KCi).

В отличие от бозевского случал здесь нельзя выбором функции

#Сс)

(выбором калибровки) обратить в нуль одну из координат, так как

Ул

грассмаковы, но, тем не менее, калибровочная симметрия сокращает

число физических степеней свободы и в случае ферми-систем.

Обратимся теперь к вопросу о структуре йП единственной степени

свободы в данной теории. Исходя из структуры решений

(2.59), спинор

т(£) можно

представить в виде Yo<Ct) = ?,*(£) (6*+i. G a

) (нет

суммирова­

ния по

ос

), где б^^обраэующие

грассмановой

алгебры,

Е*

Cfc)_

-

комплексные функции

времени. Определим

йП Ok*,, ^ii*)

как сово­

купность точек плоскости

С Re Z^ C"t),

3 m Zd(p).

Данное

определение

аналогично бозевскому

случаю, так как плоскость

С 3 ^ р) можно рассмат­

ривать как плоскость ( Re О, , Зпл 0. ) , где 0,=

(х+£р)//?,

( Л ,

Q."*} = - I

(ср. с

(2.54)).

всегда можно добиться

равенства

Выбором калибровки

(выбором ^(т))

'К . Ш™ l*" ft) (следствие

(2.49)и(2.59))и, не нарушая его, можно из­

менять знек у физической компоненты

й -* - 4i локально во времени

с по­

мощью остаточных калибровочных преобразований

(2.II) из группы

~Z.,-

Следовательно, центрально-симметричные

точки на фазовой

плоскости

.

(

R e Z ^ f l w Z i t O )

калибровочно-эквивалентны, т .е.

й П ( ¥ 4 . , + 1 > С 0 П Э Д

Отметим, что при

преобразованиях

равенчтво <\>л =

Цг

, очевидно, не нарушаетчя. Следчтвием

коничноч-

ти ФП

V H , ^ / О

, как и в бозевчком члучае, являйчя удвоение чач­

тоты физичечких колебаний. Отметим, что в члучае граччмановых пере­

менных имеетчя калибровка, в которой

очтаточная

группа Z„

отчут­

чтвует, во, тем не менее, физичечкая

чачтота колебаний по-прежнему

равна £i+> . Дейчтвительно, калибровочным преобразованием

(2.49) мож­

но добитьчя

равенчтва ^ Сх) =

•

Од

. Тогда

% (±) = %(о) и

<^(i) =

=

rixp^-aiwt)

^

(о)

чоглачно

(2.59). Теперь нельзя чо­

вершать преобразования

(2.II), так

как они нарушают равенчтво

Y2 Ct)=

лирует ч чачтотой .2СО . Можно чказать, что конуч 4П ($4

4 + ") в этом

Р - 1+

<- '"> f J J>

Г

(2.60)

Связи первог«ого рода выделяют физичечкие чочтояния

Л

Л L

A

1 ( 1 / ^ = О .

(2.61)

Алгебра (2.60)

может быть реализована на функциях

двух комплексных

грассмановых

переменных <©*№> = У(©*)= У0

+ ^

Q* + ^ а 0 * 0 / :

Скалярное произведение определяется следующим

образом.

<4|у>= Jde^e"^-

[ф(е*)]%(е*) ,

( 2 .6 2 б )

где я " о(У = (лЩаъл

и « 2

flfi #

Ичпользуя правила интегрирования по

граччмановым переменным [ll,22] , найдем <СФ№у> = Ф^^Ро +

Ф * ^*+

+ ф ч г * У7.?"

•Соотношения (2.62) определяют голоморфное предчтавле­

ние дляграччмановых чтепеней чвободы [ll,23j.

В этом предчтавлении

второе уравнение (2.61) легко решаетчя .

Почкольку Уц<\/+=.

6 * % е * - 6 * % Л то имеем

< e * t V > «

% + ^ е Л е Л .

<2-63)

Почле квантования появляетчя проблема упорядочения в гамильтониане

чичтемы. Из чоображений эрмитовочти гамильтониана оператор

<\>+ty

в (2.55) чледует заменить на т-(_Ф+<$-Н7 т )= 4*++ - i

в чоответчтвии

ч определением

(2.62а). Тогда уравнение Шредингера запичываетчя в

виде

Нетрудно проверить, что решениями уравнения (2.64) являются:

\Q\E^>=i-j

Е0 =-о0+^; <Q*\E,\=

6* (*-^),Е^0,

т.е. однофермионное состоя­

ние двукратно вырождено, и < е * | Е 2 >

=

6,,* 0 * , Ц г = ш + т г .

Все состояния ортонормированы относительно скалярного произведения

(2.626). Из (2.63) следует, что базис

в физическом

подпростран­

стве образуют векторы

<^6*|t 0 ^ - Отметим

также, что разность

между двумя физическими уровнями системы

Д Ef.K - Е г " С 0 = 2idравна

удвоенной частоте ферми-осциллятора в полном соответствии с

тем,

что йПединственной физической степени

свободы есть

С Л п С ж ) .

Аналогично находим ядро оператора эволюции

U^

в полном

гильберто­

вом пространстве состояний, базис

в котором образуют решения урав­

нения (2.64),

irt(e*e) = е*°\ ifae * \ е

» л

е ' £ л

в л и

Дополнительное (второе) слагаемое

в правой

части

(2.66) посрав­

ду

(2.65) и (2.66). Можно убедиться прямым вычислением в справедли­

вости следующего равенства:

~*~

U t V ,6) -

[dfdS t9"9'

[J^fiOQC^e) , (2.67)

где

оператор

Q

симметризует по группе £% ,подобно аналогично­

му

выражению

дли бозевских переменных

(2.33) и (2.34)

выми переменными также

ведет к модификации КИ. Отметим, что для

ядра (2.66) справедливо

стандартное представление КИ \ll\

.

t

*

на квантовой динамики соответствующей

системы с плоским йП, но с до­

полнительным

требованием инвариантности всех физических величин

относительно

преобразований

из дискретной калибровочной группы, реду­

цирующей физическое йП данной системы.

Хотя в этой главе все эти утверждения были проверены только

для моделей,

где физическое

йП было

С О И С з г ) , а остаточная дис­

кретная группа совпадала с

^Ц[п , тем не менее, в следующей главе

будет показано, что D - 5) имеют общий

характер.

Раччмотрим чичтему ч лагранжианом [24,253

где S)± ^ C = X + u y ^ ^ C ' J

- ковариантная производная (оч =^v,

X

, У

- динамичечкие переменные, элементы алгебры Ли ^

ка­

либровочной, полупрочтой, компактной группы

G|

в ортогональном

базиче: 0С= 7i I X{. ,

^ # i ? U

, Тъ 0

^

)= St j , [\/Vj>

= T C J K ^ K

, ЧЬК = i,2,...; Л/rdunCi, | у к - чтруктурные кончтанты; У-

- потенциал. Лагранжиан (3.1) инвариантен отночительно калибровоч­

ных преобразований

где

il=-Si-Ct) €

Q

, ечли

V(l l X

Л"1 ) = V(*0 . Фактичечки

это теория Янга - Миллча в прочтранчтве времени

(0 + I) ч потенциа-

лами

flj;

в AJ

(t)

.где %i

= AJ(t),

a

X± = OCd(i)

игра­

И = £"Ггр* + VQ*) - Т г(^ СочрЙ.

чз.3)

Ясно, что система содержит

А/

первичных связей £>|о] ЗГ-

О

и

Л/

вторичных связей

X = "{X,ri} -fcXvp^sGjsO.Bce

связи являются свя­

зями первого рода[4о]; J"G;,G;^~^."к^к

>н

о

н е

в

о е

о н и независимы.

Используем следующий метод для выделения

физических переменных.

Любой элемент

ОС € .X

может быть представлен в виде £20, с. 459]

ЗС= SkS~\

S = e*pZ , U H ,

(3.4)

где 2 £. X. \

Н

- элемент ортогонального дополнения к подалгебре

Картана Н

. Из

(3.2) следует, что

Z

- нефизические переменные

(преобразования

с

Н Е

Н

не меняют

W

). Поэтому физические

геременные

в теории есть п . - ~кыta*= Н

, где С ^o<j^p J=

0»

вто­

<*,£

= 1,2, ...,

l-

di.m H = tankG. Таким образом, среди

/V

ричных связей

Gi j = О

только

М-

Ч

являются независимыми.

Ввиду связей

\_ р^Х^ ~ О

матрица

X

и

р

могут быть диаго-

нализованы одновременно. Отсюда заключаем, что импульс

Р^

, ка­

нонически сопряженный fa, в (3.4), также принадлежит подалгебре

Картана. Перейдем

теперь к изучению структуры Ш С По Рк.' . Извест­

но, что в подалгебре Картана действует группа Вейля \[

\_Z0, с. 469],

которая

образована всевозможными отражениями относительно гипер­

плоскостей, ортогональных простым кирнемСд

[20](см. также

Приложение Б). iVi дискретная rpvnna^c другой стороны, является под­

группой

калибровочной группы G

t подобно группе

2 а

в

моделях

предыдущей главы. По определению импульс

р

преобразуется при ка­

либровочных преобразованиях

так же,как и ОС

, поэтому

к

к

р^

одновременно преобразуются

под дейсгвием

W

• Следовательно,"ty"

отождествляет некоторые точки в фазовой плоскости

IRjj_® (ROL

. Под­

черкнем, что группа \J~

действует локально во времени, т.е. преоб­

разования из ]/\/

можно -свершать в различные моменты времени незави­

симо друг от друга, поскольку W

-подгруппа калибровочной группы G .

Любой элемент К€Нп 'в?

' ~-знак

изоморфизма) может быть

получен из соответствующего элемента, принадлежащего подмножеству в

|-|

, которое называется камерой Вейля К

[20ХКамера Вейля оп­

ределяется как подмножество элементов

Н

t лежащих внутри много­

гранного ' угла, образованного

гиперплоскостями, которые ортогональ­

ны простым корням to алгебры

X

> и направленного

в положительный

(условие

TLViCO =

О

определяет границу 'UK"1'

) для любого прос­

того корня £0 QxQ

. Следовательно, физические значения

\п,

лежат

в J < + , а все точки в

И?£ ®

$£

w k w _ 1 2

wk .

,

W P^W's

= w R ,

w e W

,

1л € K +

являются физически эквивалентными. Для

ны быть отождечтвлены

(чклеены). Мл приходим к заключению, что

физичечкое ФП (.К Рц.)

ечть гиперконуч, эквивалентный

К 1 ^ ® & .

В качечтве примера разберем группы

SU(2-)~SO(S) и

SU(sj . 1]0д_

алгебра Нартана для SU(2.)

натянута на единчтвенный элемент - диа­

гональную матрицу Паули X j

, поэтому W

= £-i

> чледовательно, ФП

(_Xjvps)'= con С Ю

в полном чоответчтвии ч результатом

§ 2.4

модель(2.23)

ч Л/= 3 ) . В члучае группы

SOib)

t-2,

, и подал­

гебра Картана натягиваетчя на две двагоналыше матрицы

Гелл-Маннн^g

Прочтые корни

S(Jv?/

имеют одинаковую норму и рачположены

под уг­

лом 3~fyi

друг к другу

(чм. Приложение

Б ) . Следовательно, камера

Вейля ечть чектор ч углом рачтвора Ж/*,

(чм. рич. 2),а группа Вейля

чочтоит из шечти элементов, образованных различными

комбинациями

отражений

прочтых корней W^oi^- — <**ц и

W j . ^ =

~

^а. . итме-

тим чледующую

очобенночть динамики

чичтемы с

*>Л = К

<2 п

. Ечли

в качечтве

V

взять очцилляторный

потенциал

i- Т г Х г =

д;Тг.к2 <

очциллятора ч •". :ичной чачтотой. Однако

физичечкие

значения li€ K t

поэтому, дочтигнув границы Ъ К * , чачтица

отражаетчя

от нее, что

•г

- 1

Здечь Ъ

-чтепень второго незавичимого

оператора Казимира (см.

Приложение

Б, таблицу i ) rvV,'.'•::'•.". .

••

Определим два элемента алгебры Ли 6 ^ ^ • которые ортогональны

друг другу: Тт.е,е2 •= о

ел = ?>VJ>X = а / ф 4 ,

е2=

т&г/ьх*

- ^ i ^ f k A j X 1 " 1

- ^ 2 ^ ) , ^ ^ ^ . . Г

л а в н о е

ч 8

0 » ^ 8 0

е ^ 2

заключа­

етчя в том, что они могут быть одновременно диагонализованы, так

как С б ^ б г Л - О -

Поэтому элементы

Э^ , 8 ^

S

можно взять в качечт­

ве локального базича в

Н

. Вычичлим норму

лл % или коэффициен­

ты Ламэ. Очевидно, что

1г Э ^в

i

• ~Ъ> © х=

t.2-

Ф-ГЯ С С г +

£,, =c iA>' °* -

Сг +C

V ^

•а

почтоянные

Сд,г завичят

от чтруктурных кончтант и определяют разложение по образующим TtOC,

Т% Эч

в алгебре полиномов на X

полинома TL Л I ОС

Тг.^(Хг - =

=

С ^ Ф а + С г ^ ф / ^

Например, для Su(2>)

С ^ О , С а

= £ (г«&

Из учловия положительночти нормы 6 а

находим - i i C$z~$)/i/oi

-

^ "

Определим

импульчы, каноничечки чопряженные ф

. (о(=1,2)чледую-

щим образом: Хч* ^ Т г в ^ р (Тъе*) . Можно убедитьчя, что

£$cf,3LJ-

~ i ^ , ^ } = О

и

[Фо<,Э^}= So«p •Т о гда из определения

Жм

и ортогональночти

6 К вытекает разложение

р= 'ЗГ0<60( +•f>

,

где

Тг

р 6 ^

= О

. В новых переменных уравнение чвязи примет вид

L P J ^ I

- С ^>х

J ™ ^

>ч т о означает возможночть^одновременной

это

диагонализации

р

n X = ^ j , чледовательно,

|Г = Р« б ы

, но

невозможно, ввиду

Тг. р е м

= О

, Поэтому

р =• О

ечть решение

уравнений чвязи.

V =

Запишем гамильтониан в новых каноничечких переменных (

боды. Это ф ^

= З Г г - =С,

(^0t)=

А I СОЬ ± 1

, X,(t) = - A Slht g ( а * 0 , СЗ.ва)

где А = COHSL

, £ - знаковая функция; модуль в ф поч­

тавлен ввиду положительночти

<£А . Второе решение имеет вид