1 |
1 |
1 |
Z |
dx |
dx (x) (x) = |
Z |
dx (x)dx (x) = Z |
dx dx (x) |
(2.284) |
|||||||
|
|
d |
|
|
|
|
|
d |
|
|
d |
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
1 |
0 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
(0) = |
Z |
dx (x) (x) ; |
8 : |
|
(2.285) |
|||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
Здесь мы использовали, что для функций |
2 L2 выполнено |
( 1) = 0. |
|
||||||||||
2.10Собственные функции операторов с непрерывным спектром
2.10.1Собственные функции оператора импульса
p^ (x) = |
i~ |
d |
(x) ; |
ãäå |
2 L2 |
|
||||
|
|
|
(2.286) |
|||||||
dx |
||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z |
dx j (x)j2 |
< |
1 : |
|
(2.287) |
|||||
1 |
|
|
|
|
|
|
||||
Оператор импульса самосопряж¼нный оператор p^+ = p^. |
|
|||||||||
p^ p(x) |
= i~ |
|
d |
|
|
p(x) = p |
p(x) |
(2.288) |
||
|
|
|||||||||
dx |
||||||||||
|
|
ipx |
|
|
|
|
|
|
||
p(x) |
= C e ~ |
: |
|
|
|
(2.289) |
||||
Функция p(x) существует для любого вещественного значения p: 1 < p < +1. Таким образом, мы получаем, что спектр оператора импульса это вся вещественная ось.
Покажем, что функция |
p(x) не принадлежит гильбертову пространству ( |
p(x) 62L2) |
|||||||
1 |
dx j p(x)j2 |
= jCj2 |
1 |
dx |
|
e ~ |
|
интеграл расходится : |
(2.290) |
Z |
Z |
|
|
||||||
1 |
|
1 |
|
|
ipx |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Мы получаем, что оператор импульса, строго говоря, не имеет собственных функций.
45
Рассмотрим интеграл
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
h p0j pi = |
Z |
dx |
p0(x) p(x) = jCj2 |
Z |
dx e |
i(p ~p0)x |
: |
(2.291) |
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
Этот интеграл неопредел¼н. Доопределим его
h p0j pi |
|
A!1 j j |
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
2 |
Z |
|
i(p p0)x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
= |
lim |
|
C |
|
|
|
|
|
dx e |
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
~ |
|
|
|
|
i(p p0)A |
|
|
|
i(p p0)A |
|
||||||||||||
|
|
A!1 j j |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
i(p p0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
= |
lim |
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
p0)A |
|
~ |
|
|
|
||||
|
= |
A!1 j |
j |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
(p |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
(p p0) sin |
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
lim |
|
C |
|
|
2 |
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
= |
(2 ) C 2 |
Alim |
|
p0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
(p p0)A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
j |
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
!1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p p0 |
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
= (2 ) |
j |
C |
|
2 |
|
|
= (2 |
~ |
) |
j |
C |
2 |
(p |
|
p0) : |
|||||||||||||||
|
|
|
j |
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
|
|
|||||||||
Положим C равной
C = (2 ~) 1=2 :
В этом же смысле будем понимать интеграл
1
Z
dx eixy = 2 (y) :
1
(2.292)
(2.293)
(2.294)
(2.295)
(2.296)
(2.297)
(2.298)
Далее, функции
|
|
ipx |
|
p(x) |
= |
(2 ~) 1=2 e ~ |
(2.299) |
h p0j pi |
= |
(p p0) |
(2.300) |
будем называть собственными функциями оператора импульса. Эти функции нормированы на дельта-функцию.
Замечание: если считать координаты и импульсы размерными величинами, то собственные функции, отвечающие дискретному и непрерывному спектру будут иметь разную размерность и, соответственно, разный физический смысл.
46
2.10.2Собственные функции оператора координаты
|
|
x^ |
(x) = x |
(x) ; ãäå |
2 L2 |
|
|
(2.301) |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z |
dx j (x)j2 < 1 : |
|
|
(2.302) |
||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
Найд¼м спектр оператора координаты |
|
|
|
|
|
||||
x^ x0 (x) |
= |
x |
x0 (x) = x0 |
x0 (x) |
; åñëè |
x 6= x0 |
: |
(2.303) |
|
x0 (x) |
= |
|
|
0 |
|
(2.304) |
|||
|
|
|
произвольное число |
; åñëè |
x = x0 |
|
|
||
Функция x0 (x) существует для любого вещественного значения x0: 1 < x0 |
< +1. |
||||||||
Таким образом, мы получаем, что спектр оператора координаты это вся вещественная ось.
Функции x0 (x) не принадлежат пространству L2. Мы получаем, что оператор коор- динаты, строго говоря, не имеет собственных функций.
Будем называть собственной функцией оператора координаты дельта-функцию
|
|
|
x0 (x) = |
(x x0) : |
(2.305) |
Действительно, в этом случае равенство (2.303) будет выполнено |
|
||||
|
x^ x0 (x) = |
x |
x0 (x) = x (x x0) = x0 (x x0) = x0 x0 (x) : |
(2.306) |
|
Функции |
x0 (x) нормированы на дельта-функцию |
|
|||
|
|
1 |
|
|
|
h |
x1 j x0 i = |
Z |
dx (x x1) (x x0) = (x1 x0) = (x0 x1) : |
(2.307) |
|
|
|
1 |
|
|
|
Далее, функции |
|
|
|
|
|
|
|
|
x0 (x) = |
(x x0) |
(2.308) |
|
|
|
h x1 j x0 i = |
(x1 x0) : |
(2.309) |
будем называть собственными функциями оператора координаты. Эти функции нормированы на дельта-функцию.
21.09.2021
47