Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1330 вузов, 5508 предметов.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ)
Предмет:
Квантовая механика
Файл:
40 каф (Барабанов) / 6 сем конспекты шпоры / km-lectures-221025.pdf
Скачиваний:
13
Добавлен:
14.12.2025
Размер:
5 Мб
Скачать
☆
►Содержание►

Получаем уровни энергии с уч¼том взаимодействия с внешним электрическим полем частично расщепляются (по l)

Eml=0

= n + eEj j ;

(7.290)

Eml=0

= n eEj j ;

(7.291)

El=1;ml=1

=

n ;

(7.292)

El=1;ml= 1

=

n :

(7.293)

В кулоновском поле величина расщепления линейна по полю линейный эффект Штарка.

При отсутсвии вырождения (или квазивырождения) по орбитальному моменту ( l) расщепление квадратично по полю (см. Ур. (7.280)).

7.8Теория нестационарных возмущений

В этом параграфе мы будем рассматривать изменение состояния квантовой системы за сч¼т взаимодействия с переменным внешним полем. Взаимодействие с внешним полем будем учитывать по теории возмущений.

Мы будем рассматривать одномерный случай.

В случае взмущения, зависящего от времени, мы не можем говорить о стационарных состояниях системы. Соответственно, мы будем рассматривать (нестационарное) уравнение Шр¼дингера следующего вида

i~

@

 

 

^

 

 

@t

(x; t)

=

H(x; t)

(x; t) ;

(7.294)

 

^

=

^

^

(7.295)

 

H(x; t)

H0(x) + V (x; t) :

Оператор ^

 

 

 

 

 

^

H0 будем рассматривать как невозмущ¼нный гамильтониан. Оператор

V (x; t)

является возмущением, которое мы будем считать малым.

 

Мы будем предполагать, что об операторе ^

 

 

и собственные функции f ig

 

 

 

H0 мы вс¼ знаем. Мы знаем его спектр f ig

 

 

 

 

 

 

 

^

i

= i i ;

 

(7.296)

 

 

H0

 

 

 

h ij i0i

= ii0 :

 

(7.297)

Для краткости изложения будем предполагать, что весть спектр невозмущ¼нного гамиль-

тониана дискретный. Собственные функции оператора

^

 

 

H0 образуют полную систему

Xi

j iih ij = E^ :

(7.298)

344

Пусть возмущение включилось в нулевой момент времени

V^ (x; t) =

V^ (x; t)

;

t 0

:

(7.299)

 

0

;

t < 0

 

 

Также пусть состояние в нулевой момент времени совпадает с одним из стационарных состояний невозмущ¼нного оператора

(x; 0) = n(x) :

(7.300)

Будем искать волновую функцию (x; t) в виде разложения по полному набору функций f ig

(x; t) = Xai(t)e ~i it i(x) : (7.301)

i

Из условия ортогональности функций f ig Ур. (7.297) и условия Ур. (7.300) следует, что

(x; 0)

=

Xi

ai(0) i(x) = n(x) ;

(7.302)

ai(0)

=

ni :

 

(7.303)

Подставим функцию (x; t) в виде Ур. (7.301) в уравнение Шр¼дингера (7.294)

 

 

 

 

i~

 

@

 

 

 

^

 

 

 

 

 

 

 

@t

 

(x; t)

=

H(x; t) (x; t) ;

 

 

i~

@

 

Xi

ai(t)e

i

 

 

H^ (x; t) Xi

ai(t)e

i

 

 

 

~

it i(x)

=

~

it i(x) :

@t

Распишем по отдельности правую и левую часть уравнения

(7.304)

(7.305)

i~

@

 

Xi

ai(t)e

i

 

 

i~Xi

@

 

 

(t) e

i

Xi

ai(t) ie

i

 

 

 

~

it i(x)

=

 

 

ai

~

it i(x) +

~

it i(x);(7.306)

@t

@t

 

H^ Xi

 

 

 

 

Xi

 

 

 

i

it i(x) + V^ Xi

 

 

 

 

 

 

 

 

ai(t)e

i

it i(x)

=

H^0

ai(t)ei

 

ai(t)e i

i

it i(x)

(7.307)

 

~

~

 

~

 

 

 

 

 

 

 

=

 

Xi

ai(t)e

 

it i i(x) + V^ Xi

ai(t)e

 

 

it i(x) :

(7.308)

 

 

 

 

 

 

 

~

~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Заметим, что подч¼ркнутые члены совпадают. Сократив их, получаем уравнение

 

@

 

 

 

i~Xi

@t

ai(t) e

~

it i(x)

^ X i t

= V ai(t)e ~ i i(x) : (7.309)

i

345

Рассмотрим скалярное произведение этого уравнения с бра-вектором h kj

 

@

 

 

 

 

 

 

 

 

i~Xi

@t

ai(t) e

~

it h kj ii

=

Xi

ai(t)e

~

it h kjV^ j ii :

С уч¼том Ур. (7.297) получаем

i~

@

ak(t) e

i

kt

=

Xi

ai(t)e

i

it h kjV^ j ii ;

 

 

~

~

@t

i~

@

ak(t)

=

Xi

ai(t)e

i

( k i)t h kjV^ j ii :

 

 

~

 

@t

Введ¼м частоту перехода

1

!ki = ~( k i)

и следующее обозначение для матричных элементов

h j^ j i

Vki(t) = k V (t) i :

Рассмотрим частный случай возмущения

h j^ j i

i V i = 0 ;

для которого диагональные матричные элементы равны нулю. Получаем уравнение (см. Ур. (7.303))

(7.310)

(7.311)

(7.312)

(7.313)

(7.314)

(7.315)

i~

@

ak(t)

=

ai(t)ei!kit Vki(t) ;

(7.316)

@t

 

 

 

 

i6=k

 

 

 

 

 

X

 

 

 

ak(0)

=

nk :

(7.317)

Будем искать коэффициенты ak(t) по теории возмущений, считая матричные элементы возмущения Vki(t) малыми

ak(t)

= ak(0) + ak(1)(t) + O (V ) :

(7.318)

В нулевом порядке по возмущению коэффициенты имеют вид

 

 

ak(0) = nk ;

(7.319)

они не зависят от времени. Соответственно, мы можем написать

 

ak(1)(0) =

0 ;

ak(l)(0) = 0 ; l 2 :

(7.320)

346

n(x; t) состояния, которое до включения воз-

Подставим разложение (7.318) в Ур. (7.323) и ограничимся членами нулевого и первого порядка малости по V

i~ @t ak

+ ak (t)

=

i6=k

ai

+ ai (t) ei!kit Vki(t) ;

(7.321)

@ (0)

(1)

 

X

(0)

(1)

 

 

ak(0)

=

nk :

 

(7.322)

Заметим, что член a(1)k (t)Vki(t) надо опустить, так как имеет второй порядок малости. Получаем уравнение

i~@tak (t)

=

i6=k ai

ei!kit Vki(t) = ei!knt Vkn(t) ;

(7.323)

@ (1)

 

X

(0)

 

 

ak(0)

=

nk :

 

 

(7.324)

Проинтегрировав Ур. (7.323) с уч¼том Ур. (7.320), получаем выражения для коэффициентов ak(t)

 

 

 

 

1

Z0

t

 

(1)

 

 

dt0 ei!knt0 Vkn(t0) ;

 

ak

 

(t)

=

 

 

(7.325)

 

 

i~

 

ak(0)

=

kn :

 

(7.326)

Мы получили, что волновая функция

мущения описывалось невозмущ¼нной функцией n (ñì. Óð. (7.300)), может быть пред- ставлена в виде ряда нестационарной теории возмущений

n(x; t)

=

Xk

akn(t)e

i

kt k(x) ;

(7.327)

~

akn(t)

=

akn(0) + akn(1)(t) + O

V 2

;

(7.328)

akn(0)

= kn ;

 

 

(7.329)

 

 

 

 

 

t

 

 

 

(1)

 

1

Z0 dt0 ei!knt0 Vkn(t0) ;

 

akn (t)

=

 

 

(7.330)

 

i~

n(x; t)

=

n(x) ; t 0 :

 

 

(7.331)

Физический смысл коэффициентов akn åñòü òî, ÷òî jakn(t)j2 это вероятность найти си- стему, описываемую функцией n(x; t), в состоянии k в момент времени t. Соответсвено, эта вероятность для k 6= n с точностью до первых поправок по возмущению V имеет вид

Wn!k(t) =

akn(t)

2

=

 

 

t dt0 ei!knt Vkn(t) 2

:

(7.332)

j

j

 

 

Z

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Заметим, что использованная теория возмущений имеет смысл только до того момента времени, пока вероятности меньше единицы: Wn!k(t) < 1.

347

Соседние файлы в папке 6 сем конспекты шпоры
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности