Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1314 вуза, 5308 предмета.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ)
Предмет:
Квантовая механика
Файл:
6 сем / km-lectures-221025.pdf
Скачиваний:
0
Добавлен:
14.12.2025
Размер:
4.94 Mб
Скачать
☆
►Содержание►

Можно показать, что для любой функции

(x) непрерывной в точке x = 0 выполнено

1

 

 

 

 

 

 

 

 

A!1 Z

A(

x

)

(

x

) =

(0)

 

lim

dx F

 

 

 

 

(2.237)

1

 

 

 

 

 

 

 

 

и для любой функции (x), имеющей разрыв первого рода в точке x = 0, выполнено

1

A

= 2(

 

( 0))

 

 

A!1 Z

 

 

 

lim

dx F (x) (x)

1

(+0) +

 

:

(2.238)

 

 

1

 

 

 

 

 

 

Последовательность функций FA(x) (при A ! 1) называют дельтообразной последовательностью.

Таким образом, мы можем записать

1

=

1

A(

 

)

2

(

 

( 0))

 

 

Z

A!1 Z

 

 

 

 

dx (x) (x)

 

lim

dx F

x

 

(x) =

1

 

(+0) +

 

:

(2.239)

 

 

 

 

 

1

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.8.4Общая процедура построения дельтообразных последовательностей

Рассмотрим функцию F(x), для которой справедливо

1

Z

dx F(x) = 1 :

(2.240)

1

Сделаем замену переменных x = Ax0, ãäå A > 0,

 

1

1

1

 

 

1 =

Z

dx F(x) = A Z

dx0 F(x0A) = A Z

dx F(xA) :

(2.241)

 

1

1

1

 

 

Введ¼м функцию

FA(x)

Для не¼ выполнено

1

Z

dx FA(x)

1

= AF(xA) :

(2.242)

= 1 ; 8A > 0 :

(2.243)

40

Для большого класса функций FA(x) является дельтообразной последовательностью

1

FA( ) ( ) = 2(

 

 

A!1 Z

 

 

1

 

 

lim

dx x x

(+0) + ( 0)) :

(2.244)

1

 

 

 

Выразим выше рассмотренные дельтообразные последовательности через функции

F(x) è FA(x)

1. Дельтообразная последовательность fa(x) (a ! 0)

F(x) =

 

1

; åñëè

 

1

 

x

 

1

0

; иначе

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

FA(x) =

AF(xA) =

A

;

 

åñëè

0

; иначе

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

A

; åñëè

 

1

 

 

x

 

=

0

A

; иначе

 

 

 

2

 

 

 

 

 

fa(x) = F1=a(x) :

2. Дельтообразная последовательность (x) ( ! 1)

1 xA 1

1

A

 

1

 

e x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F(x)

=

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

2

 

2

FA(x) = AF

(xA) =

p

 

 

e A

x

 

 

 

 

(x) = Fp

 

(x) :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Дельтообразная последовательность FA(x) (A ! 1)

 

 

 

 

F(x) =

sin x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

FA(x) = AF(xA) = A

sin xA

=

sin xA

 

 

 

 

 

xA

 

 

x

FA(x) = FA(x) :

(2.245)

(2.246)

(2.247)

(2.248)

(2.249)

(2.250)

(2.251)

(2.252)

(2.253)

(2.254)

2.9Свойства дельта-функции

1

dx (x) (x) = 2( (+0) + ( 0)) ; 8 :

(2.255)

Z

 

1

 

1

 

 

 

 

41

Для краткости изложения будем считать, что функции

(x) непрерывны

 

1

 

 

 

 

 

 

 

Z

dx (x)

(x) =

(0) ;

8

:

 

(2.256)

1

 

 

 

 

 

 

 

1.

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

Z

 

 

8 1 > 0; 2 > 0 ;

8 :

 

dx (x)

(x) =

(0) ;

(2.257)

1

Замечание: в общем случае

 

 

ZZ

(0) = dx (x) (x) 6=

dx (x)

(x) = (0) ;

ãäå > 0 : (2.258)

 

 

 

 

2.

 

 

 

 

( x) =

(x) :

(2.259)

1

 

1

 

 

 

1

 

Z

dx ( x) (x) =

Z

dx0 (x0) ( x0) =

Z

dx0 (x0) ( x0)

1

 

1

 

1

 

 

1

 

 

=

(0)

=

Z

dx (x)

(x) ;

8 :

1

Мы сделали замену переменной x = x0.

3.

(ax) =

1

(x) ;

ãäå a 6= 0 :

jaj

1

1

Z

Z

dx (ax) (x) =

1

1

=

1

jaj

dx (jajx) (x) = a

1

(x0)

a0

dx0

 

 

 

j j

Z

 

 

j j

 

 

 

1

 

 

 

 

x

 

 

1

1

 

 

 

(0) = jaj

dx (x)

(x) ;

8

:

 

Z

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

(2.260)

(2.261)

(2.262)

(2.263)

(2.264)

42

Мы сделали замену переменной x = jxa0j.

Замечание: это свойство дельта-функции да¼т нам возможность определять дельтафункцию от размерной величины. В этом случае дельта-функция сама будет иметь размерность обратную своему аргументу.

4.

 

(f(x))

=

 

 

1

(x) ;

 

ãäå f(0) = 0 ;

df

(0) = 0 :

 

dxdf

(0)

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

df

 

 

 

df

 

 

 

 

f(x)

=

f(0) +

(0) x + O(x2) =

(0) x + O(x2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

dx

 

 

 

 

=

 

df

(0) x (1 + O(x)) :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

dx (f(x))

(x)

=

1

dx

dx(0) x (1 + O(x))

(x)

Z

Z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

df

 

 

 

 

(2.265)

(2.266)

(2.267)

(2.268)

1

 

 

1

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

dxdf (0)

 

 

 

 

 

 

 

 

(x)

 

(2.269)

 

 

 

 

Z

dx (x (1 + O(x)))

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

1

 

1

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

(0) =

 

 

 

Z

dx (x) (x) ;

8

: (2.270)

 

 

 

dxdf

(0)

 

 

dxdf (0)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

5.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f(x) (x)

=

f(0) (x) :

 

 

 

(2.271)

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

Z

dx f(x) (x)

(x)

=

f(0)

(0) =

 

 

Z

dx f(0) (x)

(x) ;

8 :

(2.272)

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

6.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z

dx (x x0)

(x)

=

 

 

(x0) ;

8

:

 

(2.273)

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

43

1

 

1

 

Z

dx (x x0) (x) =

Z

dx0 (x0) (x0 + x0) = (x0) ; 8 : (2.274)

1

 

1

 

Мы сделали замену переменной x x0 = x0.

7.

f(x) (x x0) = f(x0) (x x0) :

8.

1

Z

dx (x x1) (x x2) = (x1 x2) = (x2 x1) :

1

9.

(f(x)

 

f(x0)) =

 

1

(x

 

x0) :

 

 

 

 

 

dxdf

(x0)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рассмотрим два примера.

 

 

 

 

p2

 

 

 

dE

 

p

 

 

 

 

 

 

E =

 

 

 

;

 

 

=

 

 

 

;

 

 

 

 

2me

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dp

me

 

 

(E

 

E0) =

 

1

 

(p

 

p0) =

me

(p

 

p0) :

 

dp

 

 

p

 

 

 

 

 

dE

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

" =

p1me2c4 + c2p2

"

("

 

"0) =

 

 

 

 

 

(p

 

p0) =

 

 

 

 

dp

 

 

2

p

 

 

 

 

 

 

c

 

 

 

 

 

d"

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10. Функция Хевисайда или -функция

(x) =

1 ; x 0

0 ; x < 0

d" = c2p ; dp "

(p p0) :

dxd (x) = (x) :

(2.275)

(2.276)

(2.277)

(2.278)

(2.279)

(2.280)

(2.281)

(2.282)

(2.283)

44

Соседние файлы в папке 6 сем
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности