Добавил:

okley Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ)

Предмет:

Квантовая механика

Файл:

6 сем / km-lectures-221025.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

14.12.2025

Размер:

4.94 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 677 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

6. Оператор координаты (x^).

x^ (x) =		x (x) ; ãäå	2 L2	(2.198)
1
Z	dx j	(x)j2 <	1 :	(2.199)
1

Покажем, что оператор координаты является самосопряж¼нным оператором ( x^+ = x^)

		1	dx x^ (x)
hx^	j'i =	Z	dx x^ (x)		'(x)			(2.200)
		1
		1
	=	Z	dx x	(x) '(x)				(2.201)
		1
		1
	=	Z	dx	(x)^x'(x)				(2.202)
		1
	= h jx'^ i							(2.203)
Найд¼м спектр оператора координаты
x^ x0 (x) =	x x0 (x) = x0 x0 (x)				åñëè	x 6= x0	:	(2.204)
x0 (x) =		0		;	åñëè	x 6= x0	:	(2.205)
	произвольное число ; если					x = x0
Функция x0 (x) существует для любого вещественного значения							x0: 1 < x0 <

+1. Таким образом, мы получаем, что спектр оператора координаты это вся вещественная ось.

Функции x0 (x) не принадлежат пространству L2. Мы получаем, что оператор ко- ординаты не имеет собственных функций.

Замечание: ниже мы доопределим функции x0 (x) и будем называть их собственными функциями оператора координаты, хотя, строго говоря, они ими не являются.

2.8Дельта-функция

18.09.2021

Дельта-функция или дельта-функция Дирака это обобщ¼нная функция, которая определяется как следующий функционал

dx (x) (x) = (0) ;

(2.206)

для любой функции (x) непрерывной в точке x = 0.

Дельта-функцию также определяют для функций, имеющих разрыв первого рода в точке x = 0,

1	dx (x) (x) = 2( (+0) + ( 0)) :	(2.207)
Z	dx (x) (x) = 2( (+0) + ( 0)) :	(2.207)
	1
1

Явный вид дельта-функции неопредел¼н.

2.8.1Дельтообразная последовательность fa(x) = 21a (ïðè a x a)

Рассмотрим последовательность функций для различных параметров a > 0

fa(x) =

;

иначе

(2.208)

;

åñëè

dx fa(x)

dx = 1 ;

8a > 0 :

(2.209)

Рассмотрим функцию (x), непрерывную в точке x = 0 или имеющую разрыв первого

рода в точке x = 0
(x)	=		2	(x)	;	x > 0	:	(2.210)
			1	(x)	;	x < 0
Åñëè 1(0) = 2(0), то функция	(x) непрерывна в точке x = 0. Предполагаем, что для
достаточно малого a > 0 функция		1(x) дифференцируема в области a < x < 0 и
функция 2(x) дифференцируема в области 0 < x < a.

a		0	1		a		0	2a	2	0
	!		a( ) ( ) =			!				Z
			Z					1
lim			dx f x x		lim				4 a0
		1		=	a		0	2a
						!			2	Z
					lim			1	4 a

dx	1	(x) +	a dx	2(x)3
		Z		5
		0		5
dx		1(0) +	1	(0)1! + O(x2)
			(1)		x

+ Z

2(0) + 2

(0)1! + O(x2)

(1)

a!0

(0) 2 + O(

)

lim

(0)a +

(1)

2(0)a + 2 (0)

+ O(a3)

[

(0) +

2(0)] =

[

( 0) + (+0)] :

(2.211)

(2.212)

(2.213)

(2.214)

(2.215)

(2.216)

Последовательность функций fa(x) (при a ! 0) называют дельтообразной последовательностью.

Мы показали, что для любой функции (x) непрерывной в точке x = 0 выполнено

a!0

)

(

)

= (0)

lim

dx f

(2.217)

и для любой функции

(x), имеющей разрыв первого рода в точке x = 0, выполнено

a!0

a( )

(

)

(+0) +

( 0))

lim

dx f

(2.218)

Таким образом, мы можем записать

a!0

)

( ) = 2(

(+0) +

( 0))

dx (x)

(x)

lim

dx f

(2.219)

2.8.2Дельтообразная последовательность (x) = p e x2

Рассмотрим интеграл

1 dx e x2	=	2 1 dx e x2		1 dy e y2
Z		Z		Z
1	=	4 1		1	1=2
	=	2 1dr r	2 d' e r2 3
		Z	Z	5
		4		5

31=2	2 1 1				31=2
5 =	Z	Z	dy e (x2+y2)		5
		dx	dy e (x2+y2)
	4 1 1			1=2
= 22	1dr re r2 3
4	Z	5
4		5

	0			0					= p :		0
		= 2		1dr2 e r2 31=2					= p :
	4			Z			5
	4			0			5
	1						r	1					r	1
1 =	p Z			dx e x		=			Z	dx0 e x0		=			Z	dx e x	:
	1				2						2					2
			1					1						1

(2.220)

(2.221)

(2.222)

(2.223)

Здесь мы сделали замену переменной x = p x0, ãäå > 0.

Введ¼м функцию

(x)

e x

;

(2.224)

dx (x)

1 ;

8 > 0 :

(2.225)

Рассмотрим предел ! 1

!1 r

!1 (0)

= 1

lim

;

(2.226)

lim (x)

0 ;

ãäå

x 6= 0 :

(2.227)

Можно показать, что для любой функции

(x) непрерывной в точке x = 0 выполнено

!1 Z

(

)

(

)

(0)

lim dx

(2.228)

и для любой функции (x), имеющей разрыв первого рода в точке x = 0, выполнено

1	(	)	( ) = 2(			( 0))
!1 Z
lim	dx	x	x	1	(+0) +		:	(2.229)

1

Последовательность функций (x) (при ! 1) называют дельтообразной последовательностью.

Последовательность функций (x) (при ! 1) похожа на сглаженную последовательность f1= (x) из предыдущей подсекции.

Таким образом, мы можем записать

1	1	(	)	( ) =	2(		( 0))
Z	!1 Z
dx (x) (x) =	lim	dx	x	x	1	(+0) +		:

1	1

2.8.3 Дельтообразная последовательность FA(x) = sin Ax

Рассмотрим интеграл

1 :

sin x

dx0

Ax0

0 =

1 = Z

sin x

sin Ax

Здесь мы сделали замену переменной x = Ax0, ãäå A > 0.

Введ¼м функцию

FA(x) =

sin Ax

;

dx FA(x) = 1 ;

8A > 0 :

(2.230)

(2.231)

(2.232)

(2.233)

(2.234)

При A ! 1 и x 6= 0 функция FA(x) очень сильно осциллирует. Известно, что интеграл от осциллирующей функции стремиться к нулю при увеличении частоты осцилляций. Можно показать, что

A!1 Z

dx F

(x)

(x) =

0 ;

> 0

lim

ãäå

(2.235)

A!1 Z

dx F

) (

) = 0

;

> 0 :

lim

ãäå

(2.236)

При A < 1 получаем FA(0) = A= .

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 677 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке 6 сем

#
14.12.20254.94 Mб0km-lectures-221025.pdf
#
14.12.20255.6 Mб0База квантовой механики.pdf
#
14.12.2025101.92 Кб0Доп задачи КМ.pdf
#
14.12.20252.35 Mб0клебши.pdf
#
14.12.20252.02 Mб0Локальная_калибровочная_инвариантность_Уровни_Ландау_.pdf
#
14.12.20253.52 Mб0Магнитный резонанс.pdf