Добавил:

okley Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ)

Предмет:

Квантовая механика

Файл:

6 сем / km-lectures-221025.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

14.12.2025

Размер:

4.94 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 6566 / 6766 67 > Следующая >>>

Глава 13

Уравнение Хартри-Фока

= H1

+ H2

h(ri)

(Xi6

H2 =

v^(rij) = 2

rij

i;j=1

=j)

(i=j)

H = (H1 + V1) + (H2

V1)

= V1

h(ri)

= V1 +

(Xi6

rij

2 i;j=1 v^(rij) = V1 + 2 i;j=1

=j)

(i=j)

13.0.1Детерминант Слэтера

^^ +

V = V

V 'n(q) = n'n(q)

h'nj'mi = dq 'n(r; )'m(r; )

=dr'n(r; )'m(r; ) = nm

= 1

(13.1)

(13.2)

(13.3)

(13.4)

(13.5)

(13.6)

(13.7)

(13.8)

(13.9)

(13.10)

469

= 1 описывает спиновую переменную = 1=2. Детерминант Слэтера

(q1; q2; : : : ; qN ) =

detf'1(q1); '2(q2); : : : ; 'N (qN )g

(qN )

0 '2

(q1) '2

(q2) '2

(q3)

pN! det B

(q1) '1

(q2) '1

(q3)

(qN )

(q1)

'3(q2)

'3(q3)

'3(qN )

' (q

) ' (q

)

' (q )

N 1

N 2

N 3

N N

(13.11)

C (13.12)

1		n
1		1; 2XN

(q1; q2; : : : ; qN ) = p			1; 2;:::; N ' 1 (q1)' 2 (q2) : : : ' N (qN ) (13.13)
(q1; q2; : : : ; qN ) = p	N!	;:::;	1; 2;:::; N ' 1 (q1)' 2 (q2) : : : ' N (qN ) (13.13)
		;:::;	=1

1; 2;:::; N единичный антисимметричный тензор. Для случая N = 4 имеем

1;2;3;4	= 2;3;1;4		= 3;2;4;1	= 4;2;1;3	= 1;4;2;3	= 1;3;4;2	= 2;1;4;3	= 2;4;3;1	= 1
2;1;3;4	=	3;2;1;4	= 2;3;4;1	= 2;4;1;3	= 4;1;2;3	= 3;1;4;2	= 1;2;4;3	= 4;2;3;1	= 1
1;1;3;4	=	1;2;2;4	= 0

dq1

dq2 : : : Z

dqN (q1; q2; : : : ; qN ) (q1; q2; : : : ; qN ) = 1

(13.14)

dq1 Z

I =

dq2

; 2;:::; N =1 1

; 2;:::; N =1

(13.15)

: : : Z dqN N! 1

1; 2;:::; N '

1 (q1)'

2 (q2) : : : ' N (qN )

(13.16)

1; 2;:::; N ' 1 (q1)' 2 (q2) : : : ' N (qN )

(13.17)

1; 2;:::; N 1; 2;:::; N 1 1 2 2 : : : N N

(13.18)

; ;:::;

;:::;

2XN

1; 2XN

( 1; 2;:::; N )2

= 1

(13.19)

;:::;

1; 2XN

Гамильтониан системы представим в виде суммы одночастичного и двухчастичного оператора

^	^	^
H	= H1	+ H2	(13.20)

470

Одночастичный оператор

h(ri)

Z заряд ядра. Двухчастичный оператор

=h(ri)

		i=1
		p^2	e2Z
=		i
=	2me		ri

^	1	N
H2 =		(Xi6
	2	(Xi6
	2	v(rij)

i;j=1 =j)

(13.21)

(13.22)

(13.23)

v(rij) =

;

(13.24)

rij

ãäå rij = jri rjj.

Рассмотрим средние значения операторов

на функции

H1 è

(13.25)

H1 = h jH1j i

dq1 Z

dq2 : : : Z

dqN N!

(13.26)

i=1

1; 2;:::; N =1 1; 2;:::; N =1

						^
	1; 2;:::; N ' 1		(q1)' 2	(q2) : : : ' N		(qN )h(ri)
	1; 2;:::; N ' 1 (q1)' 2 (q2) : : : ' N (qN )
=	N		N		N
=	i=1 Z	dqi N! 1; 2;:::; N =1 1; 2;:::; N =1
	X	1	X		X
			^
	1; 2;:::; N ' i		(qi)h(ri)
	1; 2;:::; N ' i (qi)
	1 1 : : : i 1 i 1 i+1 i+1 : : : N N
=	N		N	N
=	i=1 Z	dqi N! 1; 2;:::; N =1 i=1
	X	1	X	X
					^
	1; 2;:::; i 1; i; i+1;:::; N ' i				(qi)h(ri)

1; 2;:::; i 1; i; i+1;:::; N ' i (qi)

Произведение тензеров 1; 2;:::; i 1; i; i+1;:::; N 1; 2;:::; i 1; i; i+1;:::; N

только, если i = i

(13.27)

(13.28)

(13.29)

(13.30)

(13.31)

(13.32)

(13.33)

(13.34)

(13.35)

отличено от нуля

;

;:::;

i 1

;

i+1

;:::;

;

;:::;

i 1

;

i+1

;:::;

(

;

;:::;

i 1

;

i+1

;:::;

:(13.36)

471

	N	1			N
H1 =	i=1	N!	1	; 2	;:::; N =1 Z	dqi' i (qi)h^(ri)' i (qi)( 1; 2;:::; i 1; i; i+1;:::; N )2
	X			X

=X N1!(N 1)! X

i=1

N Z

= N N1!(N 1)! X

dqi' i (qi)h(ri)' i (qi)

dq1' (q1)h(r1)' (q1)

=	N	dq ' (q)h^(r)' (q) =	N
=	=1 Z	dq ' (q)h^(r)' (q) =	=1(h) :
	X		X
			N
			X
		H1 =	(h)nn :
			n=1

(13.37)

(13.38)

(13.39)

(13.40)

(13.41)

Мы ввели обозначение

(h)nm = dq 'n(q)h(r)'m(q) :

Рассмотрим средние значения операторов

H1 è

H2 на функции

H2 = h jH2j i

1 N

i;j=1 Z

dq1 Z

dq2 : : : Z

dqN

1; 2;:::; N =1 1; 2;:::; N =1

=j)

(Xi6

1; 2;:::; N '

1 (q1)'

2 (q2) : : : ' N (qN )v(rij)

1; 2;:::; N ' 1 (q1)' 2 (q2) : : : ' N (qN )

1 N

i;j=1 Z

dqi Z

dqj

1; 2;:::; N =1 1; 2;:::; N =1

=j)

(Xi6

1; 2;:::; N '

1 (qi)'

2 (qj)v(rij)

1; 2;:::; N ' 1 (qi)' 2 (qj)

1 1 : : : i 1 i 1 i+1 i+1 : : : j 1 j 1 j+1 j+1 : : : N N

1 N

i;j=1 Z

dqi Z

dqj

1; 2;:::; N =1 i; j=1

=j)

(Xi6

1; 2;:::; i;:::; j;:::; N '

1 (qi)'

2 (qj)v(rij)

1; 2;:::; i;:::; j;:::; N ' 1 (qi)' 2 (qj)

(13.42)

(13.43)

(13.44)

(13.45)

(13.46)

(13.47)

(13.48)

(13.49)

(13.50)

(13.51)

(13.52)

(13.53)

472

Произведение тензеров 1; 2;:::; i;:::; j;:::; N 1; 2;:::; i;:::; j;:::; N отличено от нуля только,

åñëè i = i, j = j èëè i

= j, j

= i

1; 2;:::; i;:::; j;:::; N 1; 2;:::; i;:::; j;:::; N

( i i j j i j j i )

(13.54)

( 1; 2;:::; i;:::; j;:::; N )2 :

(13.55)

H2 =

dqi

dqj

=1( 1; 2;:::; i;:::; j;:::; N )2

(13.56)

i;j=1

; 2;:::; N =1 i; j

(Xi6

=j)

' i (qi)' j (qj)v(rij)' i (qi)' j (qj)

(13.57)

( i i j j

i j j i )

(13.58)

dqi

dqj

; 2;:::; N =1( 1; 2;:::; i;:::; j;:::; N )2

(13.59)

i;j=1

(Xi6

=j)

' i (qi)' j (qj)v(rij)' i (qi)' j (qj)

(13.60)

' (qi)'

(qj)v(rij)' j (qi)' i (qj)

(13.61)

i;j=1

dqi Z

dqj N!(N 2)!

i; j=1

(13.62)

(Xi6

=j)

' i (qi)' j (qj)v(rij)' i (qi)' j (qj)

(13.63)

' i (qi)' j (qj)v(rij)' j (qi)' i (qj)

(13.64)

2N(N 1) Z

dq1 Z

dq2 N!(N 2)! 1; 2=1

(13.65)

1 (q1)'

2 (q2)v(r12)' 1 (q1)' 2 (q2)

(13.66)

1 (

2 (

(

12)

2 (

1 (

(13.67)

1X; 2

((v) 1 2; 1 2 (v) 1 2

; 2 1 )

(13.68)

1X; 2

(v)

1 2; 1 2

(13.69)

(v) 1 2; 1 2

(v) 1 2; 1 2 (v) 1 2; 2 1

(13.70)

473

<<< < Предыдущая 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 6566 / 6766 67 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке 6 сем

#
14.12.20254.94 Mб0km-lectures-221025.pdf
#
14.12.20255.6 Mб0База квантовой механики.pdf
#
14.12.2025101.92 Кб0Доп задачи КМ.pdf
#
14.12.20252.35 Mб0клебши.pdf
#
14.12.20252.02 Mб0Локальная_калибровочная_инвариантность_Уровни_Ландау_.pdf
#
14.12.20253.52 Mб0Магнитный резонанс.pdf