Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1314 вуза, 5308 предмета.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ)
Предмет:
Квантовая механика
Файл:
6 сем / km-lectures-221025.pdf
Скачиваний:
0
Добавлен:
14.12.2025
Размер:
4.94 Mб
Скачать
☆
►Содержание►

При уч¼те вращения молекулы колебательные уровни расщепляются на вращательные уровни молекул.

На Рис. 12.1 показаны два электронных уровня энергии двухатомной молекулы как функции расстояния между атомными ядрами. Обе кривые имеют ч¼ткие минимумы, которые определяют положения равновесия ядер расстояние между ядрами в молекуле.

Рис. 12.1: Два электронных уровня энергии двухатомной молекулы (функция "n(R) показана как функция расстояния между ядрами, n = 0 нижняя кривая, n = 1 верхняя кривая). Колебательные уровни молекулы пронумерованы 0 è 00. Верти- кальная стрелка показывает возбуждение электронно-колебательного уровня.

12.2Система двух электронов

Рассмотрим нерелятивистский случай, когда гамильтониан системы двух электронов не зависит от спина. Тогда можно рассматривать состояния двух электронов с определ¼нным значением спина.

Пусть гамильтониан имеет следующий вид

^

p^12

 

p^22

 

e2

 

H =

 

+ V (r1) +

 

+ V (r2) +

 

;

(12.32)

2me

2me

jr1 r2j

где V (r) внешнее поле (например, поле ядра или ядер), r1, r2 радиус векторы первого и второго электрона, соответственно. Первый и третий члены описываю кинетическую энергию электронов. Второй и четв¼ртый члены описывают взаимодействие электронов с внешним полем. Последний член описывает кулоновское отталкивание между электронами. Здесь важно, что этот гамильтониан не зависит от спиновых переменных.

458

Для нерелятивистской частицы со спином s = 12 оператор спина имеет вид

s^ =

1

^

;

(12.33)

2

 

 

 

 

где матрицы Паули (см. Ур. (5.325)). Отметим, что физической величине спину соответствует оператор ~s^, где ~ постоянная Планка.

Мы вводим оператор квадрата спина и оператор проекции спина на ось z

s^2

=

s^x2 + s^y2 + s^z2

= 4

 

0

1

 

;

(12.34)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

1

0

 

 

 

s^z

=

2

 

 

0

1

:

 

 

 

 

 

 

 

(12.35)

 

 

1

 

 

1

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Собственные функции операторов s^2 è s^z

есть спиноры

 

 

 

 

s^2' =

3

' ;

s^z' = ' ;

(12.36)

 

 

 

 

'2 =

 

 

4

0

;

 

 

 

 

' 2

=

1

:

 

1

1

 

 

 

 

 

 

1

 

 

0

 

 

(12.37)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В параграфе 5.8 мы рассматривали прямое произведение двух пространств со (спи-

новым) моментом s =

1

 

 

 

 

 

 

 

 

s

= 1

 

2 , то есть мы рассматривали сложение двух спинов

 

2 . Â

объедин¼нном пространстве мы вводим оператор спина, как

 

 

 

 

 

^

=

(1)

(2)

:

 

 

 

(12.38)

 

 

S

s^

+ s^

 

 

 

 

Используя базисные функции в первом и втором пространстве

 

 

 

 

s^z(1)'(1)1

=

1'(1)1 ;

 

(12.39)

 

 

s^z(2)'(2)2 =

2'(2)2 ;

 

(12.40)

базисные функции в объедин¼нном пространстве можно задать в виде

 

 

 

~

 

(1)

(2)

 

 

1

 

 

 

 

1 2

= ' 1 ' 2 ;

 

1;2 =

 

:

 

(12.41)

 

 

2

 

Базисные функции ~

 

 

 

 

 

 

^

 

 

1

2 являются собственными функциями оператора Sz

 

 

 

^ ~

=

( 1

 

 

~

 

 

 

(12.42)

 

Sz 1 2

+ 2) 1 2 ;

 

но не все из них являются собственными функциями оператора ^2.

S

459

Мы построили следующие собственные функции операторов

 

^2

è ^

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S

 

Sz (ñì. Óð. (5.442)-

(5.451))

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

^2

S;M

 

=

 

S(S + 1) S;M ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(12.43)

 

 

 

S

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

^

S;M

 

= M S;M :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(12.44)

 

 

 

 

Sz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

1

 

 

 

'(1)1 '(2)1

 

'(1)1 '(2)1 ;

 

 

 

 

 

 

(12.45)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S=0;M=0

 

 

 

 

 

 

 

2 2

 

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S=1;M=1

 

 

 

 

 

(1)

(2)

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= '1 '

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(12.46)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

1

 

 

 

'(1)1 '(2)1

+ '(1)1 '(2)1

 

;

 

 

 

 

 

 

(12.47)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S=1;M=0

 

 

 

 

 

 

2 2

 

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1)

(2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S=1;M= 1 = ' 21

' 21

 

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(12.48)

Эти функции также можно представить в виде

 

0

 

 

 

 

1

 

 

! ;

 

 

S=0;M=0

=

p2

 

 

1

 

(1)

 

0

 

(2)

(1)

(2)

 

(12.49)

 

 

 

1

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

S=1;M=1

=

 

0

 

 

(1)

 

0

(2)

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(12.50)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

+

 

 

 

 

 

 

 

 

! ;

 

 

S=1;M=0

=

p2

 

1

 

(1)

0

(2)

0

(1)

1

(2)

 

(12.51)

 

 

 

1

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

S=1;M= 1

=

 

1

 

 

(1)

 

1

(2)

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(12.52)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Удобно задавать спинор в виде функции от дискретной переменной = 1:

 

 

( ) , ( 1)

 

= (1)

 

0

 

 

+ ( 1)

 

1

 

= (1)'

2 + ( 1)' 2

:

 

(1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

1

 

1

 

(12.53)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Двухчастичная спинорная функция будет иметь вид

X( ; )

,

X(1; 1)'(1)1

'(2)1

+ X(

 

1; 1)'(1)1

'(2)1

+ X(1;

 

1)'(1)1

'(2)1

1 2

2

2

 

2

2

 

2

2

1 '(2)1 :

2 2

Âкачестве примера рассмотрим функцию S=0;M=0( 1; 2) (ñì. Óð. (12.45)):

(12.54)

(12.55)

 

1

 

 

S=0;M=0(1; 1) = 0 ;

S=0;M=0( 1; 1) = p

 

;

(12.56)

2

1

S=0;M=0(1; 1) = p ; S=0;M=0( 1; 1) = 0 : (12.57) 2

460

Заметим, что функция со спином S = 0 (12.45) антисимметричная по перестановкам аргументов, а функции со спином S = 1 (12.46)-(12.48) симметричные

S=0;M=0( 1; 2)

=

S=0;M=0( 2; 1) ;

(12.58)

S=1;M=0; 1( 1; 2)

=

S=1;M=0; 1( 2; 1) :

(12.59)

Состояние со спином S = 0 называют синглетным (синглет), так как проекция спина может принимать только одно значение M = 0.

Состояния со спином S = 1 называют триплетными (триплет), так как проекция спина может принимать три значения M = 0; 1.

Так как мы рассматриваем случай, когда гамильтонианы системы двух электронов не зависит от спиновых переменных, волновые функции могут быть представлены в виде

(r1; 1; r2 2) = (r1; r2) ( 1; 2) :

(12.60)

В силу принципа Паули волновые функции системы двух электронов должны быть полностью антисимметричными по перестановкам переменных первого и второго электронов

(r1; 1; r2 2) = (r2; 2; r1 1) :

(12.61)

Соответственно, волновые функции синглетных и триплетных состояний можно представить в виде

S(r1; 1; r2 2)

=

S(r1

; r2) S=0;M=0( 1; 2) ;

(12.62)

S(r1; r2)

=

S(r2

; r1)

 

симметричная :

(12.63)

T(r1; 1; r2 2)

=

T(r1; r2) S=1;M ( 1; 2) ;

(12.64)

T(r1; r2)

=

T(r2; r1)

 

антисимметричная :

(12.65)

То есть координатная функция синглетного состояния системы двух электронов должна быть симметричной, а координатная функция триплетного состояния должна быть антисимметричной. Тогда условие (12.61) будет выполнено

S,T(r1; 1; r2 2) = S,T(r2; 2; r1 1) :

(12.66)

Рассмотрим частный случай: атом гелия ( 2He) или двухэлектронный ион. Ограничимся одночатичным приближением. Основное состояние атома гелия или двухэлектронного иона зада¼тся двумя 1s-электронами (см. Ур. (10.49) ). В этом случае антисимметрич-

ная координатная функция, составленная из двух одинаковых 1s-электронных функций будет равна нулю

a;a(r1

; r2)

=

a(r1) a(r1) ; a = 1s = (n = 1; l = 0; ml = 0) ;

(12.67)

^

; r2)

=

a;a(r1; r2) a;a(r2; r1) = 0 :

(12.68)

A n;n(r1

461

Соседние файлы в папке 6 сем
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности