Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1314 вуза, 5308 предмета.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ)
Предмет:
Квантовая механика
Файл:
6 сем / km-lectures-221025.pdf
Скачиваний:
0
Добавлен:
14.12.2025
Размер:
4.94 Mб
Скачать
☆
►Содержание►

11.4Квантовое уравнение Лиувилля

Матрица плотности описывает квантовостатистические состояния системы, поэтому должна, как и волновая функция, удовлетворять фундаментальному уравнению.

Рассмотрим разложение волновых функций i-ых состояний (см. (11.1)) по собствен-

ным функциям эрмитовского оператора ^

A (ñì. (11.12))

X

i(r; t) = a(ki)(t) k(r) :

k

Волновые функции i должны удовлетворять уравнению Шр¼дингера

 

@

 

 

 

^

 

 

 

i~

@t

i(r; t) = H i(r; t) :

Представим в этом уравнении функции

i в виде разложения (11.100)

i~Xk

@ak(i)(t)

 

 

Xk

(i)

(t)H^ k(r)

 

k

(r) =

ak

@t

(11.100)

(11.101)

(11.102)

Z

+

(r)i~

k

@ak(i)(t)

k(r) =

Z

+

(r)

k

(i)

(t)H^

k(r)

(11.103)

dr n

@t

dr n

ak

 

 

 

X

 

 

 

 

 

X

 

 

 

 

i~X @a(ki)(t) nk @t

k

Z

X

= a(ki)(t)

k

^

dr n(r)H k(r) (11.104)

@an(i)(t)

 

Xk

(i)

 

i~

 

 

 

=

ak

(t)Hnk :

 

@t

Мы ввели матрицу

 

Z dr n+(r)H^ k(r) :

Hnk =

Аналогичным образом можно получить уравнение

(11.105)

(11.106)

i~

@an(i) (t)

 

Xk

(i)

(t)Hnk

= Xk

(i)

(t)Hkn :

 

 

=

ak

ak

(11.107)

@t

Ур. (11.105) можно рассматривать как уравнение Шр¼дингера в

 

^

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A представлении.

При выводе уравнения для матрицы плотности ограничимся случаем, когда wi = const, не зависят от времени

X

mn(t) = wia(ni) (t)a(mi)(t) ; (11.108)

i

449

 

@ mn

 

Xi

 

@

 

an(i) (t)am(i)(t)

 

 

 

i~

 

=

wii~

 

 

 

 

 

@t

@t

@t

!

 

 

=

Xi

wi

i~

 

@t

 

am(i)(t) + an(i) (t)i~

 

 

 

 

 

 

 

@an(i)

(t)

 

@am(i)(t)

 

 

 

 

=

Xi

wi

Xk

ak(i) (t)Hknam(i)(t) + an(i) (t) Xk

Hmkak(i)(t)!

(11.109)

(11.110)

(11.111)

X

=( mkHkn + Hmk kn)

k

^

= [H; ^]mn :

Мы получаем квантовое уравнение Лиувилля для матрицы плотности

i~

@ mn

^

@t

= [H; ^]mn

и для соответствующего статистического оператора

i~

@ ^

^

@t

 

= [H; ^] :

(11.112)

(11.113)

(11.114)

(11.115)

11.5Матрица плотности подсистемы

Рассмотрим случай, когда изучаемая нами система является подсистемой большой системы. Пусть переменные x

x = x1; x2; x3; : : :

(11.116)

отвечают нашей подсистеме, а переменные X

 

X = X1; X2; X3; : : :

(11.117)

отвечают остальной части большой системы. Таким образом, большая система описывается волновой функцией (x; X) или матрицей плотностью (x; X; x0; X0).

Пусть наша подсистема взаимодействует с остальной частью большой системы и, тем самым, не может иметь волновую функцию. Рассмотрим, как е¼ можно описать с помощью матрицы плотности.

^

Пусть нас интересуют средние значения величины F , отвечающей оператору F (x), который действует только на переменные нашей подсистемы

ZZ

 

^

dx dX

+

^

(11.118)

F = h jF (x)j i =

 

(x; X)F (x) (x; X) :

450

Введ¼м матрицу плотности для нашей подсистемы, как

 

 

(x0; x) =

Z

dX

+(x0; X) (x; X) ;

(11.119)

тогда среднее значение величины F можно записать, как

 

 

 

= h jF^(x)j

i

= Z

dx hF^(x) (x0; x)ix0=x :

 

 

F

(11.120)

Если большая система описывается матрицей плотности (x; X; x0; X0), то среднее значение величины F можно представить, как

ZZ

h i

^ 0 0

F = dx dX F (x) (x ; X ; x; X) : (11.121)

x0=x; X0=X

Введ¼м матрицу плотности для нашей подсистемы, как

Z

(x0; x) = dX (x0; X; x; X) ; (11.122)

тогда среднее значение величины F опять будет даваться Ур. (11.120)

Z

hi

F =

dx F^(x) (x0; x)

:

(11.123)

 

 

x0=x

 

Пусть мы имеем эрмитовский оператор, действующий только на переменные нашей подсистемы (x),

^

=

an n(x) ;

(11.124)

A(x) n(x)

h nj mi

=

Z

dx n+(x) m(x) = nm :

(11.125)

Пусть состояние нашей подсистемы характеризуется квантовым числом

n (значением

физической величины an), тогда этому состоянию будет отвечать функция n(x). Эта функция не является волновой функцией, так как она не удовлетворяет уравнению Шр¼дингера (так как наша подсистема не замкнута, у не¼ нет гамильтониана).

Пусть мы также имеем эрмитовский оператор, действующий только на переменные оставшейся части системы (X),

^

~

=

~

B(X) N (X)

bN N (X) ;

 

h~N j~M i

=

Z dX ~N+ (X) ~M (X) = NM :

(11.126)

(11.127)

451

Пусть состояние оставшейся части большой системы характеризуется квантовым числом N (значением физической величины BN ), тогда этому состоянию будет отвечать функция

N (X).

В качестве полного набора функций переменных

~

nN (x; X) = n(x) N (X)

Z Z

(x; X) возьм¼м следующие функции

(11.128)

h nN j mM i

=

dx dX nN+ (x; X) mM (x; X) = nm NM :

(11.129)

Набор функций f nN (x; X)g эквивалентен набору функций f n(x)g â Óð. (11.12).

Рассмотрим оператор

^

 

 

 

F (x), который действует только на переменные малой подси-

стемы

 

Z

Z

~+

^

~

FnN;mM =

 

+

=

Z

dx n+(x)F^(x) m(x) Z dX ~N+ (X) ~M (X)

Z

+^

=dx n (x)F (x) m(x) NM

=Fnm NM ;

(11.130)

(11.131)

(11.132)

(11.133)

^

ãäå Fnm матричный элемент оператора F (x), вычисленный на функциях малой подсистемы

 

 

Fnm =

Z

dx n+(x)F^(x) m(x) :

(11.134)

Пусть нам задана матрица плотности большой системы sys

 

 

 

 

 

 

 

 

mM;nN (она задана в пред-

ставлении операторов ^

 

^

 

 

 

 

 

A(x) и B(X)), тогда среднее значение величины F (ей отвечает

оператор ^

 

 

 

 

 

 

 

 

F (x)) можно записать, как (см. Ур. (11.24))

 

 

 

 

 

^

 

XX

 

 

F =

 

 

 

sys FnN;mM

 

 

Tr (^sysF ) =

 

(11.135)

 

 

 

mM

 

 

 

mM;nN

 

 

 

 

 

 

mM nN

 

 

 

 

XX

 

 

 

=

sys

 

Fnm NM

(11.136)

 

 

 

 

mM;nN

 

 

mM nN

XX

=

Fnm

sys

:

(11.137)

 

 

mN;nN

 

 

mn

 

N

 

 

Матрицей нашей подсистемы является св¼ртка матрицы плотности большой системы по индексам оставшейся подсистемы

 

X

 

 

mn =

sys

:

(11.138)

 

mN;nN

 

 

N

452

Соответственно, статистическим оператором нашей подсистемы является св¼ртка статистического оператора большой системы по индексам оставшейся подсистемы

 

^

= Tr(^sys) :

(11.139)

 

 

N

 

 

 

 

^

Среднее значение величины F (оператора нашей подсистемы F (x)) выражается через

статистический оператор нашей подсистемы, как

 

 

 

^

 

F

(11.140)

= Tr(^F ) :

n

453

Соседние файлы в папке 6 сем
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности