Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1314 вуза, 5308 предмета.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ)
Предмет:
Квантовая механика
Файл:
6 сем / km-lectures-221025.pdf
Скачиваний:
0
Добавлен:
14.12.2025
Размер:
4.94 Mб
Скачать
☆
►Содержание►

Глава 11

Матрица плотности

11.1Матрица плотности

Мы используем матрицу плотности в следующих случаях

1.Изучаемая система находится в статистическом состоянии

2.Изучаемая система является частью другой системы, то есть изучаемая система не замкнута

Пусть нам задан гамильтониан системы и мы знаем его спектр и собственные функции

^

i

=

"i i ;

(11.1)

H

h ij

ji

=

ij :

(11.2)

Введ¼м вероятность того, что подсистема находится в i-ом квантовом состоянии ( i): wi. Будем считать, что нам задан набор вероятностей fwig, нормируемых следующим образом

X

wi = 1 : (11.3)

i

Суммирование может идти как по всем возможным состояниям

i, так и по их ограни-

 

ченному числу.

Состояние называется смешанным, если нам заданы только вероятности того, что система может находиться в определ¼нных i-ых состояниях f ig. Волновая функция смешанного состояния в общем случае не задана.

Состояние называется чистым, если нам задана волновая функция (то есть функция, удовлетворяющая соответствующему уравнению Шр¼дингера), описывающая это состояние. Выше мы имели дело только с чистыми состояниями системы.

439

Рассмотрим случай чистого состояния, когда волновая функция состояния задана как суперпозиция i-ых состояний

h ij ji

=

Xi

ci i

(11.4)

=

i;j :

(11.5)

Здесь нам заданы коэффициенты fcig. Физический смысл коэффициентов ci:

 

jcij2

= wi ;

(11.6)

ãäå wi вероятность того, что при измерении система будет обнаружена в i-ом состоянии.

В случае смешанного состояния (квантовостатистического) нам известны волновые функции i-тых состояний f ig и квадраты модулей коэффициентов jcij2. Физический

смысл jcij2 вероятность того, что система находится в i-ом состоянии. Здесь мы не можем построить волновую функцию.

^

Определим среднее значение физической величины F , отвечающей оператору F , в данном смешанном (статистическом) состоянии как

 

 

 

 

Xi

 

 

 

 

 

F

=

wiF i ;

(11.7)

 

 

 

 

 

^

 

 

 

F i

=

 

 

 

(11.8)

h ijF j ii :

F i среднее значение величины F в i-ом состоянии.

Заметим, что это определение среднего значения величины F отличается от принятого

определения для чистого состояния, то есть для состояния, имеющего волновую функцию. Действительно, рассмотрим среднее значения для функции, заданной Ур. (11.4),

 

^

X

^

 

 

 

(11.9)

F = h jF j i = ci cjh ijF j ji

 

 

 

ij

 

 

 

 

 

XX

=

2

^

 

^

 

^

(11.10)

jcij

h ijF j ii +

ci cjh ijF j ji + cj cih jjF j ii

 

i

(

i<j

 

)

 

 

 

 

 

 

 

 

XX

 

 

 

 

 

^

 

 

=

wiF i + 2 Re

:

(11.11)

ci cjh ijF j ji

 

 

i

i<j

 

 

 

Видно, что определения Ур. (11.7) и Ур. (11.9) отличаются последним членом в Ур.

(11.11). Заметим, что если положить ^

^

 

F = H, то последний член в Ур. (11.11) будет равен

нулю и средние значения Ур. (11.7), и Ур. (11.9) будут совпадать.

 

Рассмотрим эрмитовский оператор ^+

^

 

A

= A, пусть мы знаем его спектр и собственные

функции

 

 

^

= an n(x)

(11.12)

A n(x)

h nj mi

= nm :

(11.13)

440

Собственные функции оператора

^

 

 

 

 

 

A образуют полный набор.

 

Функцию i, описывающую i-ое состояние системы, разложим по функциям n

 

 

X

 

 

 

i(r)

=

dn(i) n(x)

 

(11.14)

 

 

n

 

 

 

dn(i)

= h nj ii

=

dn(i) dm(i0)h nj mi

(11.15)

ii0

= h ij i0i

(11.16)

 

 

 

X

 

 

 

=

 

nm

 

(11.17)

 

d(i) d(i0) :

 

 

 

X

 

 

 

 

 

n

n

 

 

 

 

n

 

 

 

В выражении для среднего значения величины F в i-ом состоянии ( виде разложения Ур. (11.14)

 

 

^

 

 

 

F i = h

ii

 

 

ijF j

 

+

*

 

 

 

 

 

 

 

 

XX

=

dn(i) n F^ dm(i) m

 

 

 

 

 

 

nm

13.05.2022

i) представим в

(11.18)

(11.19)

 

X

 

^

X

 

 

 

=

(i)

(i)

(i) (i)

Fnm ;

(11.20)

dn

dm h njF j mi

= dn

dm

 

 

nm

 

 

nm

 

 

 

где мы ввели

 

 

 

 

 

 

 

 

Fnm

^

 

 

 

(11.21)

 

= h njF j mi :

 

 

Среднее значение величины F в смешанном статистическом состоянии можно представить в виде

XX X

 

 

wi

 

i = wi dn(i) dm(i) Fnm :

 

F =

F

(11.22)

ii nm

Введ¼м матрицу плотности для данного статистического состояния

X

mn = wid(ni) d(mi) ; (11.23) i

тогда выражение для среднего значения величины F примет вид

XX

 

 

 

 

^

 

F =

 

(11.24)

wiF i = mn Fnm = Tr(^F ) :

inm

Матрицы

функций

^

 

^

^ è F [(^)mn = mn è (F )nm = Fnm] зависят от оператора

 

 

^

^

 

n, а F = Tr(^F ) не зависит от оператора A.

^

A, от его собственных

441

Рассмотрим отдельно случай, когда оператор ^

 

 

 

 

 

 

 

 

A есть оператор координаты x^ (см. Ур.

(2.55), (2.305) )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x^ x0 (x) =

x x0 (x) = x0 x0 (x) ;

(11.25)

 

 

 

 

x0 (x) =

(x x0) ;

 

(11.26)

 

 

 

h x0 j x1 i =

(x0 x1) :

 

(11.27)

В этом случае матрица плотности записывается, как

 

 

 

 

dx(i)

=

h xj ii =

i(x) ;

 

(11.28)

(x0; x)

=

xx0 = Xi

widx(i0)+dx(i) = Xi

wi i+(x0) i(x) :

(11.29)

Здесь матрицей плотности обычно называют функцию (x0; x).

 

 

 

 

Xi

wih ijF^j ii

 

 

(11.30)

 

F =

 

 

=

i

wi Z

dx i+(x)F^(x) (x)

 

(11.31)

 

 

 

X

 

 

 

 

 

=

dx "F^(x0)

wi i+(x) (x0)#

 

(11.32)

 

 

 

Z

 

i

x0=x

 

 

 

 

 

 

X

 

 

Z

hi

^0

=dx F (x) (x ; x)

x0=x

 

 

F^

 

 

x0

 

 

 

Tr

x

 

;

x) :

(11.33)

x

(

)

(

 

 

 

В Ур. (11.33) оператор ^ 0 F (x) сначала действует на переменные x, затем переменная x

клад¼тся равной x (x0 = x), затем производится интегрирование (взятие следа) по переменной x.

11.2Свойства матрицы плотности. Статистический оператор

В предыдущем параграфе мы ввели матрицу плотности (см. Ур. (11.23), (11.29))

mn

=

Xi

widn(i) dm(i) ;

(11.34)

(x0; x)

=

Xi

wi i+(x0) i(x) :

(11.35)

442

Матрица плотности есть эрмитовская матрица

X

+mn = nm = wid(mi)d(ni) = mn ; (11.36) i

XX

(x0; x) =

wi it(x0) i (x) =

wi i+(x) i(x0) = (x0; x) :

(11.37)

i

 

i

 

Рассмотрим физический смысл диагональных элементов матрицы плотности

XX

 

 

 

 

nn

=

 

 

 

widn(i) dn(i)

=

wijdn(i)j2 :

 

 

(11.38)

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

Введ¼м оператор проекции на состояние n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

^

 

= j nih nj

 

 

 

 

(11.39)

 

 

 

 

 

^ Pn

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Pnjfi

= h njfi j ni

 

 

 

(11.40)

 

 

 

 

 

^+

^

 

^2

^

:

 

 

(11.41)

 

 

 

 

 

 

Pn

 

= Pn ;

Pn

= Pn

 

 

Ур. (11.41) показывают, что оператор ^

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Pn является проектором (см. Ур. (2.162)).

 

Рассмотрим средние значения оператора ^

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Pn в исследуемом нами смешанном состоянии

(ñì. Óð. (11.15))

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Xi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Pn =

wi(Pn)i

 

 

 

 

 

 

(11.42)

 

 

 

 

 

 

 

 

^

 

 

 

 

 

 

(i)

2

 

 

(Pn)i =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

:

 

 

h ijPnj ii = h ij nih nj ii

= jdn j

 

(11.43)

Получаем, что среднее значение проектора

^

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Pn, на смешанном состоянии имеет вид

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Xi

wijdn(i)j2 = nn :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Pn

=

 

 

 

 

(11.44)

Физический смысл nn вероятность того, что при измерении система будет обнаружена в состоянии n.

Физический смысл (x; x) плотность вероятности найти частицу в точке x.

Рассмотрим нормировку матрицы плотности (см. Ур. (11.3), (11.16))

n

nn

=

n

wijdn(i)j2 =

wi!

n

jdn(i)j2

!

= 1 ;

(11.45)

X

 

 

XXi

 

Xi

X

 

 

 

 

X

nn

=

Tr(^) = 1 :

 

 

 

 

 

(11.46)

 

 

 

 

 

 

n

443

В случае, когда ^

 

 

 

A = x^, нормировка выглядит, как

 

!Z

Z

Z

X

 

X

dx j (i)(x)j2 = 1 : (11.47)

dx (x; x) =

dx wij (i)(x)j2 =

wi

 

i

i

 

Рассмотрим, как в терминах матрицы плотности можно описать чистое состояние.

Пусть чистое состояние описывается волновой функцией

i0

 

= i0 ;

(11.48)

возьм¼м следующий набор вероятностей

 

wi0

=

1

wi6=i0

=

0

wi

= i;i0 :

Тогда матрица плотности примет вид

mn

=

Xi

widn

dm

= dn

dm

:

pure

 

 

(i)

(i)

(i0)

(i0)

 

Рассмотрим состояние, описываемое i0 , â A-представлении

 

X

i0 (r) =

dn(i0) n(r) () d(i0) : (d(i0))n = dn(i0) ;

 

n

где мы ввели бесконечномерный вектор

d(i0) = (d(1i0); d(2i0); d(3i0); ) :

(11.49)

(11.50)

(11.51)

(11.52)

(11.53)

(11.54)

Получаем, что волновая функция

 

i0 и вектор d(i0) определяются друг через друга.

Мы видим, что в случае чистого состояния

i0 матрицу плотности можно записать

 

 

 

 

 

 

 

как прямое произведение функций

i0 â A-представлении

 

 

 

pure

= (d

(i0)

d

(i0)+

 

(i0)

(i0)

(i0)

(i0)

:

(11.55)

mn

 

 

)mn = dm

dn

= dn

dm

 

В случае, когда ^

 

 

 

 

 

 

 

 

A = x^, матрица плотности, описывающая чистое состояние с волновой

функцией i0 , имеет вид

 

 

 

 

 

 

 

 

 

pure

0

; x) =

+

0

)

i0 (x) :

(11.56)

 

(x

i0

(x

 

444

В случае чистого состояния матрица плотности является проектором

(( pure)2)mn =

Xk

mk kn

= Xk

dk(i0) dm(i0) dn(i0) dk(i0) = dn(i0) dm(i0) Xk

dk(i0) dk(i0)

(11.57)

=

d(i0) d(i0)

= pure :

 

 

(11.58)

 

n

m

 

mn

 

 

 

Убедимся, что в случае смешанного состояния матрица плотности не является проектором (см. Ур. (11.16))

( 2)mn =

Xk

mk kn = Xk

 

Xi

widk(i) dm(i)!

Xi0

wi0dn(i0) dk(i0)!

(11.59)

=

X0

wiwi0dn(i0) dm(i)

 

dk(i) dk(i0) =

wiwi0dn(i0) dm(i) i;i0

(11.60)

 

 

X

 

X0

 

 

 

 

i;i

 

k

 

 

i;i

 

 

 

=

Xi

wi2dn(i) dm(i) ;

 

 

 

 

 

 

(11.61)

mn =

Xi

widn(i) dm(i) :

 

 

 

 

 

 

(11.62)

Чтобы имело место равенство ( 2)mn = mn, необходимо выполнение

 

 

 

wi2

= wi ;

 

 

8i ;

 

 

(11.63)

 

 

wi

= 0

 

èëè

wi = 1 :

 

 

(11.64)

Из нормировки вероятностей

Xi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

wi =

1

 

 

(11.65)

следует, что только одна вероятность из fwig отлична от нуля, пусть это будет wi0 = 1. Получаем, что равенство ( 2)mn = mn будет иметь место только для чистого состояния,

соответственно, для смешанного состояния это равенство не имеет место.

Матрица плотности mn определяет статистический оператор ^

h mj^j ni =

mn ;

(11.66)

^

 

X

 

E

=

j mih mj ;

(11.67)

 

 

n

 

^jfi

 

^ ^

(11.68)

= E ^Ejfi

 

 

!

!

XX

=

j mih mj ^

j nih nj jfi

(11.69)

 

m

n

 

 

X

 

 

=

j mi mnh njfi :

 

(11.70)

mn

445

В случае, когда

^

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A = x^, матрица плотности, описывающая чистое состояние с волновой

функцией i0 , имеет вид ( x0 (x) = (x x0))

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

h

x

^ x0

i

=

(x0; x) ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(11.71)

j

j

 

 

Z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E^

=

dx j xih xj ;

 

 

Z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(11.72)

 

 

 

 

 

 

h

 

 

j

^ ^

j

 

i

Z

 

0

00

h

j

 

ih

 

j

j

ih

 

j i

(11.73)

 

 

^f(x) =

x

E ^E

f

=

dx dx

 

x00

x00

x0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

^ x0

 

f

 

ZZ

=

Z

dx0

dx00 (x x00) (x0; x00)f(x0)

(11.74)

=

dx0

(x0; x)f(x0) :

(11.75)

Из Ур. (11.58) следует, что в случае чистого состояния статистический оператор является проектором

^2 = ^;

^+ = ^:

(11.76)

Это верно только для чистого состояния, которое мы описываем соответствующей матрицей плотности или статистическим оператором.

11.3Примеры чистых и смешанных состояний частицы со спином s = 1=2

Рассмотрим оператор спина (см. параграф 5.7)

 

 

 

 

 

s^

 

1

 

 

 

s^2

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

;

=

 

 

I ;

 

 

 

 

 

(11.77)

 

 

 

 

 

2

4

 

 

 

 

 

где I единичная матрица,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

s^x =

1

 

0

1

;

s^y

=

 

1

0

i

 

 

; s^z =

1

 

1

0

: (11.78)

 

 

1

0

 

 

i

 

 

 

 

 

0

1

2

 

2

 

2

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

Волновая функция состояний с определ¼нной проекцией спина на ось z имеет следу-

ющую спинорную зависимость

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

s^z =

;

 

 

 

 

(11.79)

2

=

0

;

2

=

1

(11.80)

1

 

 

1

 

1

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

446

Рассмотрим чистое состояние, описываемое следующей функцией

1

 

1

1

 

1

1

 

1

 

(11.81)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= p2

1

= p2

2

+ p2

2

:

 

Заметим, что

1

s^x = 2 ; (11.82)

то есть эта функция описывает состояние, имеющее определ¼нную проекцию спина на ось x.

Построим соответствующую матрицу плотности (см. Ур. (11.52), (11.55))

=

=

0

1

1

1

;

(11.83)

 

 

 

1

1

 

 

 

 

 

@

2

2

A

 

 

nm =

2

2

 

(11.84)

( )m( )n :

 

 

 

 

 

 

Ещ¼ раз убеждаемся, что в случае чистого состояния матрица плотности проектор

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

= :

 

 

 

 

0

 

 

13

(11.85)

sx

=

 

Tr(^sx ^) = Tr

2

2

 

1

0

1

1

(11.86)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

2

 

 

 

 

=

 

2 Tr

20

1

 

 

1

4

 

 

 

 

=

2

 

@

 

 

A5

(11.87)

 

 

 

1

 

 

1

 

13

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

4@

2

 

 

2

 

 

A5

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

13

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

2

 

 

 

i

0

1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

0

 

i

 

1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

2

 

 

sy

=

Tr(^sy ^) = Tr

4

 

 

 

 

 

 

 

@

 

 

A5

(11.88)

 

 

=

 

2 Tr

20

i

i

 

 

i

13

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

i

2

 

= 0

 

 

 

(11.89)

 

 

 

1

 

4@

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

13

 

sz

=

Tr(^sz ^) = Tr

 

2

 

 

 

0

 

 

 

1

1

1

(11.90)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

1

0

 

1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

2

 

 

 

 

=

2 Tr

20

1

 

 

 

4

1

 

 

 

13

 

 

@

 

 

A5

 

 

 

21

 

 

 

21

 

= 0

 

 

 

(11.91)

 

 

 

1

 

 

4@ 2

 

 

 

 

 

 

 

 

A5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

447

Спин направлен по оси x. Рассмотрим смешанное состояние

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

0

2

 

1

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

@

1

 

0

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

2

 

 

 

 

 

11 + 21 ;+ 21

вероятность того, что проекция спина на ось z равна +21 .

22 21 ; 21

вероятность того, что проекция спина на ось z равна 21 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

=

0

4

 

1

1

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

@

1

 

0

A 6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

4

 

 

13

 

 

 

sx

=

 

Tr(^sx ^) = Tr

2

2

 

 

1

 

0

0

2

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

0

 

1

 

1

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

20

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

@

 

 

A5

 

 

 

 

 

=

 

2 Tr

1

2

 

13

= 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

4@

0

1

 

A5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

0

 

 

 

 

 

 

0

 

 

13

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

2 i

 

0

0

21

 

 

 

y

=

Tr(^sy ^) = Tr

4

1

 

0

i

@

21

0

A5

 

 

s

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

20 i

 

 

13

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

2 Tr

2

 

= 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

0

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4@

0

 

 

A5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

0

 

 

13

 

 

sz

=

Tr(^sz ^) = Tr

2

2

 

 

0

 

 

1

2

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

1

 

0

 

1

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

2

 

 

 

 

 

 

=

2 Tr

20

1

 

 

4

 

13

 

 

 

@

 

 

A5

 

 

 

 

 

2

 

 

1

 

= 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

4@

 

 

 

0

 

 

A5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ориентация спина хаотична.

(11.92)

(11.93)

(11.94)

(11.95)

(11.96)

(11.97)

(11.98)

(11.99)

448

Соседние файлы в папке 6 сем
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности