10. Оператор комплексного сопряжения
^
K'(x) = ('(x)) = (x) :
11. Оператор возведения в квадрат
^ |
2 |
= (x) : |
Q'(x) = '(x) |
|
12. Интегральный оператор с ядром L(x; x0)
|
1 |
|
L'^ (x) = |
Z |
dx0 L(x; x0)'(x0) = (x) : |
|
1 |
|
13. Оператор перестановок
^
P12 (x1; x2) = (x2; x1) = (x1; x2) :
(2.61)
(2.62)
(2.63)
(2.64)
Рассмотрим операторы, действующие в пространстве l2 (бесконечные последова- тельности комплексных чисел).
14. Рассмотрим бесконечную матрицу Lij
|
^ |
= g |
|
(2.65) |
|
Lf |
|
||
|
|
1 |
|
|
|
|
Xi |
|
|
|
gk |
= |
Lkifi : |
(2.66) |
|
|
=1 |
|
|
Напоминаю, как выглядят элементы пространства l2 |
|
|||
f |
= f1; f2; : : : ; fk; : : : |
(2.67) |
||
g |
= g1; g2; : : : ; gk; : : : |
(2.68) |
||
2.4Соотношения между операторами
1. Равенство операторов
^ |
^ |
^ |
^ |
^ |
^ |
^ |
A |
= B ; |
åñëè D(A) = D(B) è |
Af = Bf ; |
8f 2 D(A) : (2.69) |
||
21
Замечание: здесь очень важно, что равенство ^ ^
Af = Bf должно быть выполнено
2 D ^
для всех элементов f (A).
Мы умеем складывать и умножать операторы.
2. Сумма операторов
^ ^ ^ |
åñëè |
^ |
^ |
^ |
(2.70) |
C = A + B ; |
D(C) = D(A) \ D(B) |
||||
|
è ^ |
^ |
^ |
^ |
(2.71) |
|
Cf = Af + Bf ; |
8f 2 D(C) : |
|||
3.Произведение операторов
Åñëè D ^ \ R ^ 6
(A) (B) = , мы можем ввести произведение операторов
^ ^ ^ |
|
^ |
^ ^ |
^ |
(2.72) |
C = AB ; |
åñëè Cf = A(Bf) ; |
8f 2 D(C) : |
|||
Иначе можно сказать, что |
|
|
|
|
|
|
^ |
^ |
^ |
|
(2.73) |
|
Cf |
= Ag ; |
g = Bf : |
|
|
|
|
|
^ |
|
|
Для краткости изложения, мы не определяем D(C) явно. Мы предполагаем, что g |
|||||
è ^ |
|
^ |
|
|
|
Ag определены для каждого f |
2 D(C). |
|
|
|
|
Замечание: в общем случае, мы не умеем транспонировать операторы и брать комплексное сопряжение от операторов.
4. Коммутатор
^ ^ |
^ ^ ^ ^ |
[A; B] |
= AB BA : |
5. Антикоммутатор
^ ^ |
^ ^ ^ ^ |
fA; Bg |
= AB + BA : |
(2.74)
(2.75)
6.Обратный оператор
Если оператор ^
A устанавливает взаимно однозначное соответствие между областью
^ |
^ |
|
определения D(A) и областью значений R(A), то это правило соответствия опреде- |
||
ляет как оператор A^, так и обратный ему оператор A^ 1 |
|
|
g = Af^ ; |
A^ 1g = f : |
(2.76) |
22
2.5Свойства операторов
В этой главе мы будем считать, что областью определения операторов является вс¼ гильбертово пространство
^ |
(2.77) |
A : H ! H : |
1.Ограниченный оператор
Оператор ^
A называется ограниченным, если
^ |
8f 2 H ; прич¼м p не зависит от f. |
(2.78) |
k Af k p k f k ; |
Здесь
k f k = hfjfi1=2 : |
(2.79) |
2.Линейный оператор
Оператор ^
A является линейным, если
^ |
+ c2f2) |
^ |
^ |
; |
8c1; c2 2 C; 8f1; f2 2 H : |
(2.80) |
A(c1f1 |
= c1Af1 |
+ c2Af2 |
3.Эрмитовски сопряж¼нный оператор
Если оператор ^
A является линейным оператором, для него можно ввести эрмитов-
ски сопряж¼нный оператор ^+.
A
Оператор ^+ называется эрмитовски сопряж¼нным к оператору |
^ |
|||
A |
|
|
|
A, если он удовле- |
творяет условию |
|
|
|
|
^+ |
fjgi |
^ |
8f; g 2 H : |
(2.81) |
hA |
= hfjAgi ; |
|||
Используя свойство скалярного произведения (h; g) = (g; h) , можно показать, что из Ур. (2.81) также следут
^+ |
fi |
^ |
8f; g 2 H : |
(2.82) |
hgjA |
= hAgjfi ; |
В общем сучае, для данного линейтного оператора ^
A явный вид эрмитовски сопря-
ж¼нного оператора ( ^+) не известен.
A
Если линейтный оператор ^ 0
A задан как интегральный оператор с ядром A(x; x ) (см.
2.63)
|
1 |
|
|
A'^ (x) = |
Z |
dx0 A(x; x0)'(x0) ; |
(2.83) |
|
1 |
|
|
23
мы можем найти ядро эрмитовски сопряж¼нного оператора в явном виде
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A^+ |
(x0) = |
Z |
dx AH(x0; x) |
(x) : |
|
(2.84) |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
Действительно, |
|
1 dx |
|
|
1 dx |
|
2 1 dx0 A(x; x0)'(x0)3 |
|
|||
|
A'^ |
|
= |
(x)A'^ (x) = |
(x) |
(2.85) |
|||||
h j |
|
i |
|
Z |
|
|
Z |
|
Z |
5 |
|
|
|
|
|
1 |
2 1 |
|
1 |
|
4 1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
3 |
|
|
|
|
|
ZZ
|
1 dx |
0 |
|
0 |
) (x)5 |
0 |
|
^+ |
|
(2.86) |
|
= |
4 1 dx A (x; x |
'(x |
) = |
hA |
j'i ; |
|
|||||
AH(x; x0) = |
A (x0; x) : |
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.87) |
|
4. Эрмитовский или самосопряж¼нный оператор. |
|
|
|
|
|
|
|||||
Линейный оператор |
^ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A называется эрмитовским или самосопряж¼нным, если |
|
|||||||||
|
|
|
^+ |
|
^ |
|
|
|
|
|
(2.88) |
|
|
|
A |
= A : |
|
|
|
|
|
||
Это эквивалентно выполнению условия |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
^ |
|
^ |
|
8f; g 2 H : |
|
|
(2.89) |
||
|
hAfjgi |
= hfjAgi ; |
|
|
|||||||
5.Собственная функция и собственное значение оператора. Если следующее условие выполнено
^ |
(2.90) |
Af = f ; ãäå f 2 H è f 6= 0 ; |
тогда это собственное значение, а f собственная функция или собственный вектор.
Здесь важно, что функция f должна принадлежать гильбертовому пространству
H.
6. Спектр оператора. Регулярные точки. Точки спектра.
Рассмотрим самосопряж¼нный оператор ^
A. Если существует оператор такой, что
^ |
) |
1 |
; |
ãäå |
2 C; |
(2.91) |
(A |
|
|
|
24
определ¼нный на вс¼м пространстве H и ограниченный, тогда называется ре-
гулярной точкой. Все точки комплексной плоскости, за исключением регулярных точек, называются точками спектра.
Если является собственным числом, то она точка спектра. Действительно, если
^ |
)f = 0 ; |
(2.92) |
(A |
^ 1 неограниченный. то оператор (A )
7. Вырожденные собственные значения
1) Рассмотрим сначало двукратно вырожденное собственное значение. Собственное значение является двукратно вырожденным, если существует два линейно
независимых вектора гильбертова пространства такие, что
^ |
= f1 |
; |
^ |
= f2 ; : |
(2.93) |
Af1 |
Af2 |
||||
2) Если выполнено следующее условие |
|
|
|
|
|
^ |
= fk |
; |
k = 1; 2; : : : ; n |
(2.94) |
|
Afk |
|||||
для n линейно независимых fk 2 H (fk 6= 0), тогда собственное значение является n-кратно вырожденным.
В этом случае вектор |
|
|
f = c1f1 + c2f2 + : : : + cnfn ; |
äëÿ 8ck 2 C таких, что f 6= 0 ; |
(2.95) |
также является собственным вектором |
|
|
^ |
= f : |
(2.96) |
Af |
2.6Свойства самосопряж¼нного (эрмитовского) оператора
16.09.2022
Рассмотрим самосопряж¼нный оператор
^+ |
^ |
|
(2.97) |
A |
= A |
|
|
^ |
^ |
8f 2 H |
(2.98) |
hAfjfi |
= hfjAfi ; |
||
^ |
^ |
8f1; f2 2 H : |
(2.99) |
hAf1jf2i |
= hf1jAf2i ; |
25
1. Собственные значения самосопряж¼нного оператора вещественные
^ |
= f |
|
(2.100) |
Af |
|
||
^ |
|
hfjfi |
(2.101) |
hAfjfi |
= h fjfi = |
|
|
^ |
= hfj fi = hfjfi |
(2.102) |
|
hfjAfi |
|||
|
= : |
|
(2.103) |
2.Собственные вектора самосопряж¼нного оператора могут быть нормированы на единицу.
Если f собственные вектор,
^ |
(2.104) |
Af = f ; |
тогда вектор f= k f k также является собственным вектором.
k f k = hfjfi1=2 : |
(2.105) |
3.Собственные вектора (f1 è f2) самосопряж¼нного оператора, отвечающие различ- ным собственным значениям ( 1 è 2, которые 1 6= 2) являются ортогональными (hf1jf2i = 0).
^ |
|
^ |
; 1 |
6= 2 |
|
Af1 = 1f1 ; |
Af2 = 2f2 |
(2.106) |
|||
Тогда мы получаем |
|
|
|
|
|
^ |
= 1hf1jf2i |
|
|
(2.107) |
|
hAf1jf2i |
|
|
|||
^ |
= 2hf1jf2i |
|
|
(2.108) |
|
hf1jAf2i |
|
|
|||
1hf1jf2i |
= |
2hf1jf2i ) hf1jf2i = 0 |
(2.109) |
||
4.Из собственных векторов, отвечающих n-кратно вырожденному собственному числу, всегда можно составить n ортогональных векторов.
Пусть у нас есть n линейно независимых векторов (fk), являющихся собственными векторами для собственного значения
^ |
= fk ; |
k = 1; 2; : : : ; n : |
(2.110) |
Afk |
Покажем, что из векторов fk можно составить линейные комбинации ( gk), которые будут ортонормированными собственными векторами, отвечающими
|
^ |
|
= |
gk ; |
k = 1; 2; : : : ; n |
(2.111) |
Agk |
||||||
gk |
gk0 |
i |
= |
k;k0 ; |
k; k0 = 1; 2; : : : ; n : |
(2.112) |
h j |
|
|
|
|
|
|
26
Ур. (2.111) следует из Ур. (2.95), (2.96).
^ |
= f1 |
|
|
Af1 |
(2.113) |
||
g1 |
= |
f1= k f1 k |
(2.114) |
G2 |
= |
f2 hf2jg1i g1 ; g2 = G2= k G2 k |
(2.115) |
hG2jg1i |
= |
hf2jg1i hf2jg1ihg1jg1i = 0 |
(2.116) |
hg2jg1i |
= |
0 |
(2.117) |
G3 = f3 hf3jg1i g1 hf3jg2i g2 ; g3 = G3= k G3 k |
(2.118) |
||
hG3jg1i |
= |
0 |
(2.119) |
hG3jg2i |
= |
0 |
(2.120) |
hg3jg1i |
= |
0 |
(2.121) |
hg3jg2i |
= |
0 |
(2.122) |
Gk |
= |
fk hfkjg1i g1 hfkjg2i g2 : : : hfkjgk 1i gk 1 |
(2.123) |
gk |
= |
Gk= k Gk k |
(2.124) |
hgkjgii = 0 ; i = 1; 2; : : : ; k 1 : |
(2.125) |
Далее по умолчанию мы всегда будем предполагать, что собственные вектора, отвечающие одному (вырожденному) собственному значению выбраны ортонормированными.
Замечание: надо понимать, что, при желании, их можно выбрать и неортонормированными.
С уч¼том этого замечания, далее мы будем говорить, что все собственные вектора самосопряж¼нного (эрмитовского) оператора ортонормированы.
27
Таким образом, если оператор ^ |
|
|
|
|
A самосопряж¼нный оператор, мы можем записать |
||
^ |
= f ;k ; |
= 1; 2; : : : ; k = 1; 2; : : : ; n |
(2.126) |
Af ;k |
|||
hf ;kjf 0;k0i |
= ; 0 k;k0 |
: |
(2.127) |
Здесь ; 0 следствие Свойства самосопряж¼нного оператора 3, k;k0 |
принятое |
||
соглашение. |
|
|
|
5.Три вида спектров
(a)У эрмитовского оператора имеется бесконечно много собственных векторов и они образуют полную систему. В этом случае других точек спектра нет,
оператор обладает чисто дискретным спектром.
Примеры: ^, |
^ |
, проекторы, |
^, |
^ |
0 |
E |
|
I |
P12, потенциальная яма с бесконечными стенка- |
ми, осциллятор.
(b) У эрмитовского оператора нет ни одного собственного вектора. В этом слу- чае к точкам спектра оператора относятся все точки отрезка (или отрезков) вещественной оси. Оператор обладает чисто непрерывным спектром.
Примеры: p^, x^, потенциальный барьер.
(c) У эрмитовского оператора имеются собственные вектора, но они не образуют полную систему. Собственных векторов может быть как конечное, так и бесконечное количество. В этом случае оператор обладает и дискретным, и непрерывным спектром смешанный спектр.
Пример: потенциальная яма с конечными стенками.
6. Собственные функции самосопряж¼нного оператора ( ^
A) с чисто дискретным спек-
òðîì
^ |
= |
kfk ; |
(2.128) |
Afk |
|||
hfkjfk0i |
= |
k;k0 |
(2.129) |
образуют полную ортонормированную систему.
Произвольная функция g может быть разложена по собственным функциям fk
g |
= |
Xk |
ck fk ; |
(2.130) |
ck |
= |
hfkjgi : |
(2.131) |
|
Докажем Ур. (2.130). Рассмотрим ряд Фурье для элемента g
X
gF = ck fk ; ck = hfkjgi : (2.132)
k
28
Рассмотрим следующие скалярные произведения
XX
hgFjgi |
= |
ckhfkjgi = |
jckj2 = k gF k2 ; |
(2.133) |
hgjgFi |
|
k |
k |
|
= |
k gF k2 : |
|
(2.134) |
В гильбертовом пространстве полная система является замкнутой. Следовательно, должно выполняться
k gF k = k g k : |
(2.135) |
Соответственно, мы получаем
hg gFjg gFi |
= |
0 ; |
(2.136) |
g |
= |
gF : |
(2.137) |
Рассмотрим ещ¼ несколько свойств самосопряж¼нных операторов.
1. Сумма самосопряж¼нных операторов самосопряж¼нный оператор.
Рассмотрим самосопряж¼нные операторы ^ ^
A è B:
^+ |
^ |
^+ |
^ |
(2.138) |
A |
= A ; |
B |
= B : |
Сумма этих операторв самосопряж¼нный оператор.
^ |
^ |
^ |
(2.139) |
C |
= A |
+ B |
^ |
= |
^ |
^ |
|
|
(2.140) |
hCfjgi |
hAfjgi + hBfjgi |
|
|
|||
|
= |
^ |
^ |
^ |
8f; g 2 H : |
(2.141) |
|
hfjAgi + hfjBgi |
= hfjCgi ; |
||||
^+ |
^ |
(2.142) |
C |
= C : |
2. Произведение самосопряж¼нных операторов
29
Рассмотрим самосопряж¼нные операторы |
^ |
^ |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
A è B: |
|
|
|
|
^+ |
|
^ |
|
^+ |
^ |
|
|
|
|
A |
|
= A ; |
B |
= B : |
|
|||
Рассмотрим произведение этих операторов |
|
|
|
||||||
|
|
|
^ |
|
|
^ ^ |
|
|
|
|
|
|
C |
= A B |
|
|
|
||
|
^ |
|
^ ^ |
|
|
^ |
^ |
|
|
|
hCfjgi = |
hABfjgi |
= hA(Bf)jgi |
|
|||||
|
|
|
^ ^ |
|
|
^ ^ |
^+ |
gi |
|
|
= hBfjAgi |
= hfjBAgi |
= hfjC |
||||||
|
|
|
^+ |
|
|
^ ^ |
|
|
|
|
|
|
C |
= BA : |
|
|
|||
Если операторы ^ |
^ |
|
|
|
|
|
|
|
|
A и B удовлетворяют условию |
|
|
|
||||||
|
|
|
^ ^ |
|
|
^ ^ |
|
|
|
|
|
|
AB |
|
= BA ; |
|
|
||
т.е. если эти операторы коммутируют, тогда |
|
|
|
||||||
|
|
|
^+ |
|
|
^ |
|
|
|
|
|
|
C |
|
= C : |
|
|
|
|
3. Линейный оператор |
^ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A называется антиэрмитовским, если |
|
|||||||
|
|
|
^+ |
|
|
^ |
|
|
|
|
|
|
A |
= A : |
|
|
|||
Коммутатор двух эрмитовских операторов антиэрмитовский оператор.
^+ |
^ |
^+ |
^ |
A |
= A ; |
B |
= B ; |
^ ^ |
+ |
= |
^ ^ |
^ ^ + |
^+ ^+ |
^+ ^+ |
[A; B] |
|
(AB BA) |
= B A |
A B |
||
|
|
= |
^ ^ |
^ ^ |
^ ^ |
|
|
|
BA AB = |
[A; B] : |
|
||
(2.143)
(2.144)
(2.145)
(2.146)
(2.147)
(2.148)
(2.149)
(2.150)
(2.151)
(2.152)
(2.153)
2.7Примеры самосопряж¼нных (эрмитовских) опера-
торов
1. Оператор проекции на подпространство ( ^ PL).
Рассмотрим пространство H, состоящее из двух ортогональных подпространств L
è M (H = L [ M, L \ M = 0).
30
Для произвольного элемента гильбертова пространства H мы можем написать
h = f + g ; ãäå h 2 H ; f 2 L ; g 2 M : |
(2.154) |
^
PLh = f : (2.155)
Покажем, что оператор проекции на подпространство является самосопряж¼нным оператором
|
|
|
|
^+ |
^ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
PL |
= PL |
|
|
|
|
(2.156) |
||
^ |
0 |
i = |
0 |
|
0 |
i |
0 |
0 |
i |
|
(2.157) |
hPLhjh |
hfjh |
i = hfjf |
+ hfjg |
i = hfjf |
|
|
|||||
^ |
0 |
i = |
0 |
|
0 |
i |
0 |
0 |
i |
: |
(2.158) |
hhjPLh |
hhjf |
i = hfjf |
+ hgjf |
i = hfjf |
|
||||||
|
^ |
|
= |
f ; |
= 0; 1 : |
|
|
(2.159) |
|
|
PLf |
|
|
||||||
|
^ |
|
= |
1 f ; |
f 2 L |
|
|
(2.160) |
|
PLf |
|
|
|||||||
|
^ |
|
= |
0 g ; |
g 2 M : |
|
|
(2.161) |
|
PLg |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20.09.2022 |
2. Проектор ( ^ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Проектор это самосопряж¼нный оператор, удовлетворяющий условию |
|
||||||||
|
|
|
^2 |
|
^ |
|
|
(2.162) |
|
|
|
|
P |
|
= P : |
|
|
||
Рассмотрим собственные значения проектора |
|
|
|
||||||
^ |
|
= f |
|
|
|
|
(2.163) |
||
P f |
|
|
|
|
|||||
^2 |
f |
= |
^ |
^ |
|
^ |
2 |
f |
(2.164) |
P |
P (P f) = P f = |
||||||||
2 |
= |
; |
|
= 0; 1 : |
|
|
(2.165) |
||
31
3. Оператор инверсии ( ^ I).
^ |
|
( x) ; |
ãäå 2 L2 : |
(2.166) |
I (x) = |
||||
1 |
|
|
|
|
Z |
dx j |
(x)j2 |
< 1 : |
(2.167) |
1 |
|
|
|
|
Покажем, что оператор инверсии является самосопряж¼нным оператором
|
|
|
|
|
|
^+ |
^ |
|
|
|
(2.168) |
|
|
|
|
|
|
I |
= I : |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
hI^ |
1j |
2i |
= |
Z |
dx |
1( x) |
2(x) |
|
|
|
(2.169) |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
h |
1jI^ |
2i |
= |
Z |
dx |
1(x) 2( x) = |
Z |
dx0 |
1( x0) 2(x0) : |
(2.170) |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
Здесь x = x0.
Найд¼м собственные функции оператора инверсии
'g(x) = |
|
1 |
( (x) + ( x)) ; 'u(x) = |
1 |
( (x) ( x)) |
||||
|
|
|
|
|
|||||
|
2 |
2 |
|||||||
^ |
|
|
|
^ |
'g(x) ; |
= 1; 1 : |
|||
I'g(x) = 1 |
'g(x) ; I'u(x) = 1 |
||||||||
4. Оператор перестановок ( ^ |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
P12). |
|
|
|
|
|
|
^ |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
P12 |
(x1; x2) = (x2; x1) ; ãäå 2 L2 |
|||||||
11
ZZ
dx1 |
dx2 j (x1; x2)j2 < 1 : |
1 |
1 |
(2.171)
(2.172)
(2.173)
(2.174)
32
Покажем, что оператор перестановок является самосопряж¼нным оператором
|
1 |
|
1 |
|
P^12 (x1; x2) |
|
|
hP^12 j i = |
Z |
dx1 |
Z |
dx2 |
(x1; x2) |
(2.175) |
1 1
11
ZZ
= |
dx1 |
dx2 (x2; x1) (x1; x2) |
(2.176) |
1 1
11
ZZ
= |
dx10 |
dx20 (x10 ; x20 ) (x20 ; x10 ) |
(2.177) |
1 1
11
|
|
|
= |
Z |
dx10 |
Z |
dx20 |
(x10 ; x20 ) P^12 (x10 ; x20 ) |
|
(2.178) |
|||
|
|
|
|
1 |
^ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.179) |
||
|
|
|
= h jP12 i |
|
|
|
|
|
|||||
Здесь x10 = x2, x20 = x1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Легко убедиться, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
^2 |
^ |
|
|
|
(2.180) |
|
|
|
|
|
|
|
|
P12 = E : |
|
|
|
|||
Найд¼м собственные значения и собственные функции оператора перестановок |
|||||||||||||
^ |
(x1; x2) |
= |
(x1 |
; x2) ; |
|
|
|
|
|
(2.181) |
|||
P12 |
|
|
|
|
|
||||||||
^2 |
(x1; x2) |
= |
^ |
^ |
|
|
|
|
^ |
2 |
(x1 |
; x2) ; |
(2.182) |
P12 |
P12(P12 (x1; x2)) = P12 (x1; x2) = |
||||||||||||
^2 |
(x1; x2) = |
^ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.183) |
|
P12 |
E (x1; x2) = (x1; x2) ; |
|
|
|
|||||||||
|
2 = 1 ; |
= 1 : |
|
|
|
|
(2.184) |
||||||
Собственные функции оператора перестановок |
|
|
|
|
|||||||||
|
even(x1; x2) |
= |
1 |
( (x1 |
; x2) + (x2; x1)) ; |
= 1 |
|
(2.185) |
|||||
|
|
|
|||||||||||
|
2 |
|
|||||||||||
|
odd(x1; x2) = |
1 |
( (x1 |
; x2) |
(x2; x1)) ; |
= 1 : |
|
(2.186) |
|||||
|
|
|
|||||||||||
|
2 |
|
|||||||||||
|
|
|
^ |
even(x1; x2) = |
even(x1; x2) ; |
|
|
|
(2.187) |
||||
|
|
|
P12 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
^ |
|
|
|
|
|
odd(x1; x2) : |
|
|
|
(2.188) |
|
|
|
P12 odd(x1; x2) = |
|
|
|
|||||||
33
5. Оператор импульса (p^)
p^ (x) = |
i~ |
d |
(x) ; |
ãäå 2 L2 |
|
|
(2.189) |
||||
dx |
|||||
1 |
|
|
|
|
|
Z |
dx j (x)j2 < |
1 : |
(2.190) |
||
1 |
|
|
|
|
|
Покажем, что оператор импульса является самосопряж¼нным оператором ( p^+ = p^)
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
hp^ j'i |
|
Z dx i~ |
d |
(x) |
||||||
= |
|
|
|
'(x) |
||||||
dx |
||||||||||
|
|
1 |
dx |
|
|
|
|
(x) |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||
|
= i~ Z |
d |
'(x) |
|||||||
|
|
|
|
|||||||
|
dx |
|
||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
= i~ |
(x)'(x) |
i~ Z |
dx |
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
Z
= dx (x) i~dxd '(x)
(x) dxd '(x)
=h jp'^ i
1
Из условия (2.190) следует, что ( 1) = 0.
(2.191)
(2.192)
(2.193)
(2.194)
Найд¼м спектр оператора импульса
|
|
i~ |
d |
|
|
p^ p(x) |
= |
|
p(x) = p p(x) |
(2.195) |
|
dx |
|||||
|
|
ipx |
|
||
p(x) |
= |
C e ~ : |
(2.196) |
||
Функция p(x) существует для любого вещественного значения p: 1 < p < +1. Таким образом, мы получаем, что спектр оператора импульса это вся вещественная ось.
Покажем, что функция |
p(x) не принадлежит гильбертову пространству ( |
p(x) 62 |
|||||||
L2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
dx j p(x)j2 |
= jCj2 |
1 |
dx |
|
e ~ |
|
интеграл расходится : |
(2.197) |
Z |
Z |
|
|
||||||
1 |
|
1 |
|
|
ipx |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Мы получаем, что оператор импульса не имеет собственных функций.
Замечание: ниже мы доопределим функции p(x) и будем называть их собственными функциями оператора импульса, хотя, строго говоря, они ими не являются.
34