Интегрирование по ' да¼т множитель 2 . С уч¼том ортогональности полиномов Лежандра

Рассмотрим амплитуду рассеяния на угол = 0

Ìû ó÷ëè, ÷òî

Надо отметить, что мы только формально рассматриваем рассеяние на нулевой угол, так как мы не можем отличить волну, рассеянную на нулевой угол, от падающей (нерассеянной) волны.

Рассмотрим теперь мнимую часть амплитуды f(0; 0)

Это равенство позволяет нам установить связь между полным сечением и амплитудой рассеяния на нулевой угол

Это равенство есть оптическая теорема.

9.7Эффект Рамзауера

Рассмотрим зависимость сечения рассеяния электронов на атомах благородных газов

18Ar, 36Kr è 54Xe как функцию энергии налетающих электронов, см. Рис. 9.2. На рисунке видно, что сечения имеют узкий глубокий минимум при малых энергиях рассеиваемых

424

Ðèñ. 9.2:

электронов (0:7 3 eV). То есть, в соответствующем узком интервале энергий электро-

ны перестают рассеиваться на атомах; атомы благородных газов становятся для них прозрачным. Наличие этого минимума в сечении рассеяния называется эффектом Рамзауера (Carl Ramsauer). Это явление является квантовым эффектом и не объясняется в рамках классической механики: что это за магические энергии, при которых налетающие электроны как бы перестают взаимодействовать с атомами?

В рамках квантовой механики эффект Рамзауера объясняется одновременным выполнением двух условий

1.Рассеивающий потенциал является короткодействующим и энергия налетающих электронов мала. Тогда величина сечения определяется вкладом одной парциальной волны l = 0.

2.Энергия электрона такая, что волновая функция электрона приобретает фазу 0 = n (n = 0; 1; 2), тем самым sin 0 = 0, и вклад парциальной волны l = 0 зануляется.

Указанный минимум сечения проявляется наиболее ч¼тко при рассеянии электронов на благорных газах, потенциал которых хорошо аппроксимируется сферической прямоугольной потенциальной ямой.

Рассмотрим движение рассеиваемой частицы с точки зрения классической механики.

425

Перейд¼м в сферические координаты и введ¼м эффективную потенциальную энергию

По сути, в Ур. (9.217) мы рассматриваем движение именно с такой эффективной потенциальной энергией.

Будем считать, что потенциал V короткодействующий. Пусть потенциал заметно отличен от нуля только на расстояниях r < d. Тогда V e ! 0 при r ! 1. Полную энергию частицы можно определить как е¼ кинетическую энергию при r ! 1

При r d рассеивающий потенциал пренебрежимо мал V (r) 0, тогда мы можем записать

Это условие для классической частицы. Для квантовой частицы оно будет реализовываться тем, что вероятность найти частицу в классически запрещ¼нной области будет экспоненциально мала.

Таким образом, мы можем сделать вывод: при короткодействующем потенциале ( R мало) и медленных рассеиваемых частицах ( k мало) вклад в сечение будут давать только малые парциальные волны (l мало). В частности, при рассеивании очень медленных частиц достаточно учитывать только одну парциальную волну ( l = 0) (см. Ур. (9.254))

Рассмотрим рассеяние на сферически симметричной яме

426

Функция P0(r) и е¼ первая производная должны быть непрерывны, в частности, в точке r = d

427

428

у функции P0(r) набегает фаза кратная : 0 = n (n = 0; 1; 2) è sin 0 становится равным нулю. При малых k вклад в сечение да¼т только парциальная волна l = 0. Соответственно, при определ¼нных малых k, когда выполняется условие (9.291), сечение рассеяния

как функция k (или энергии " = ~2k2 ) имеет минимум, приближаясь к нулю ( 0), см.

2me

Рис. 9.2. Это явление называют эффектом Рамзауера.

Эффект Рамзауера был обнаружн в 1921 году при рассеянии электронов на атомах

18Ar, 36Kr è 54Xe. Потенциал этих атомов очень быстро убывает и хорошо аппроксимируется сферической прямоугольной ямой.

При более высоких энергиях рассеиваемых электронов функция P0(r) может ещ¼ несколько раз получить фазу кратную , но с ростом энергии электронов начинают давать заметный вклад парциальные волны l 1. Поэтому при следующих энергиях, при которых тоже зануляется вклад парциальной волны l = 0, минимумы сечения рассеяния обычно уже не наблюдается.

429