Добавил:

okley Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ)

Предмет:

Квантовая механика

Файл:

6 сем / km-lectures-221025.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

14.12.2025

Размер:

4.94 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 5758 / 6758 59 60 61 62 63 64 65 66 67 > Следующая >>>

Рис. 9.1: Теоретические данные для радиуса атомов. График взят из [A. M. Dolgonosov, Russian Journal of Physical Chemistry A, 82, No. 12, 2079 (2008)].

Дифференциальное сечение рассеяния имеет вид (см. Ур. (9.192), q = K)

4 e2

jZ F (K)j2

(9.209)

4 ~2

4 e2

C2K2

(9.210)

4 ~2

2mee

jC2j

a0Z

(9.211)

Мы получили, что при рассеянии на малые углы дифференциальное сечение рассеяния не зависит от углов и пропорционально a20Z2.

9.6Метод парциальных волн

Рассмотрим рассеяние на центральном поле V (r) = V (r).

Выше мы рассматривали первое борновское приближение Ур. (9.131), которое применимо для описания рассеяния быстрых частиц (см. Ур. (9.134)). Рассмотрим теперь метод парциальный волн; ряд этого приближения быстро сходится для рассеяния медленных частиц (см. Ур. (9.264)).

Будем искать собственную функцию уравнения Шр¼дингера с асимптотикой Ур. (9.60)

	eik0r + f( ; ')	eikr
(r)	eik0r + f( ; ')	r ; r ! 1	(9.212)

в виде разложения по парциальным волнам

1		1 l
		X X
(r) =	r	ClmPl(r) Ylm( ; ') :	(9.213)
		l=0 m= l

419

(по сравнению со

p^2

+ V

(r)

" (r) ;

(9.214)

2me

+ V

(r)

" (r) ;

(9.215)

2mer2

@r r2

2me

+ 2mer2 + V (r)!

(r)

" (r) :

(9.216)

~2l^2

Функция Pl(r) должна удовлетворять уравнению (см. Ур. (5.517), (5.522), (5.528))

	~2 @2			+	~2l(l + 1)
	2me		@r2		2mer2

Преобразуем это уравнение к виду

@r2

где мы ввели (см. (9.41))

l(l + 1) + 2me"

r2 ~2

l(l + 1) + k2 r2

k =

+ V (r) Pl(r) = "Pl(r) :

2me

~2 V (r) Pl(r) = 0 ;

2me

~2 V (r) Pl(r) = 0 ;

2m~2e" :

(9.217)

(9.218)

(9.219)

(9.220)

Рассмотрим асимптотику функции Pl(r) при r ! 1. По прежнему считая, что потенциал V короткодействующий (r3V ! 0 при r ! 1), мы можем записать (см. Ур (5.549))

+ k2

Pl(r)

0 ;

r ! 1 ;

(9.221)

@r2

= sin kr 2 + l

Pl(r)

c+eikr c e ikr

(9.222)

Мы выделили член l

2 из-за асимптотики функций Бесселя (см. Ур. (9.54))

jl(kr) kr sin

kr 2

; r ! 1 :

(9.223)

Получается, что вклад короткодействующего потенциала V в асимптотику функции Pl(r) при r ! 1 заключается только в появлении дополнительной фазы l

420

случаем V = 0, где Pl(r) = const rjl(kr), Ур. (9.52)). Величина l называется фазой рас- сеяния, отвечающей l-ой парциальной волне. В общем случае фазы рассеяния являются функциями от волнового вектора l = l(k).

Сечение рассеяния должно определяться фазами l = l(k).

Таким образом, при r ! 1 функция Pl(r) имеет следующую асимптотику

eikre i

e i l

ei l e ikrei

Pl(r) sin

+ l =

(9.224)

eikr

e ikr

( il)ei l

ile i l :

(9.225)

Соответственно, функция (r) имеет асимптотику (см. (9.213))

eikr 1

(r)

X X

Clm( il)ei l Ylm( ; ')

(9.226)

2ir

l=0 m= l

e ikr

X X

2ir

Clm(il)e i l Ylm( ; ') :

(9.227)

l=0 m= l

Мы хотим найти такие коэффициенты Clm, чтобы волновая функция

(r) имела асимп-

тотику Ур. (9.212).

Рассмотрим следующее равенство (см. Ур. (9.55)-(9.57))

eikr

(2l + 1) il jl(kr)Pl(cos ) ;

cos =

(9.228)

и представим асимптотику (r ! 1) функций Бесселя в виде

jl(kr)	1	sin	kr	l	=		1	eikr( il) e ikril :	(9.229)
	kr			2		2ikr

С использованием этих равенств, асимптотика функции (r) Ур. (9.212) может быть

421

записана как

(r) eikr

eikr

+ f( ; ')

( 1

(2l + 1) il jl(kr)Pl(cos )) + f( ; ')er

ikr

(

eikr( il)Pl(cos ))

(2l + 1) il

2ikr

(

e ikr(il)Pl(cos ))

(2l + 1) il

2ikr

eikr

+f( ; ')

eikr

(

(2l + 1) Pl(cos )) + f( ; ')

2ir

(9.230)

(9.231)

(9.232)

(9.233)

(9.234)

(9.235)

e ikr	1		1
	(		(2l + 1) ( 1)lPl(cos ))	(9.236)
2ir	(	k	(2l + 1) ( 1)lPl(cos ))	(9.236)
			Xl
			=0

Сравнивая асимптотики Ур. (9.226), (9.227) и Ур. (9.235), (9.236), мы получаем, что выражение Ур. (9.226) должно равняться Ур. (9.235). Соответственно, выражение Ур. (9.227) должно равняться Ур. (9.236).

Равенство выражений Ур. (9.227), (9.236) определяет коэффициенты Clm для функции (r). Заметим, что выражение (9.236) не зависит от угла ', следовательно

Clm / m0 :

(9.237)

Асимптотика Ур. (9.226), (9.227) примет вид

eikr				1
			Xl
(r)	2ir				Cl0( il)ei l Ylm( ; ')				(9.238)
				=0
		e ikr				1
					Xl
		2ir				=0	Cl0(il)e i l Yl0( ; ') :		(9.239)
						=0
Сравнивая (9.236) и (9.239) находим коэффициенты
Cl0(il)e i l Yl0( ; ') =						1		(2l + 1) ( 1)lPl(cos ) ;	(9.240)

							k
Cl0Yl0( ; ')				=		1		(2l + 1) ilei l Pl(cos ) :	(9.241)
Cl0Yl0( ; ')				=			k	(2l + 1) ilei l Pl(cos ) :	(9.241)
							k

422

Из равенства (9.235) и (9.238) мы получаем

2ir	(k	1	(2l + 1) Pl(cos )) + f( ; ') r	= 2ir		Cl0( i)lei l Ylm( ; ') :(9.242)
eikr	1	1	eikr		eikr	1
		X				Xl
		l=0				=0

Соответственно, мы имеем

f( ; ') =

(

Cl0Ylm( ; ') ( i)lei l )

(

(2l + 1) Pl(cos ))

l=0

(

(2l + 1)ilei l Pl(cos )( i)lei l )

(

(2l + 1) Pl(cos ))

2ik

(2l + 1) (e2i l 1)Pl(cos )

(2l + 1) sin( l) ei l Pl(cos ) :

Амплитуда рассеяния f( ; ') полностью определяется фазами l = l(k). Дифференциальное сечение рассеяния имеет вид

d = jf( ; ')j2 : d

Рассмотрим полное сечение рассеяния

=	Z d jf( ; ')j2				k		l=0 (2l + 1) sin( l) ei l Pl(cos )
=		1	2	d'				2
=	Z		d cos Z	d'
		1	0			1	1
		1	0				X

=	Z	d cos Z	d'	1
=	Z	d cos Z	d'	k2
	1	0
		1

(9.243)

(9.244)

(9.245)

(9.246)

(9.247)

(9.248)

(9.249)

(9.250)

(9.251)

X0
	(2l0 + 1) sin( l0) e i l0 Pl0	(cos )(2l + 1) sin( l) ei l Pl(cos ) :	(9.252)
l;l	=0

423

<<< < Предыдущая 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 5758 / 6758 59 60 61 62 63 64 65 66 67 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке 6 сем

#
14.12.20254.94 Mб0km-lectures-221025.pdf
#
14.12.20255.6 Mб0База квантовой механики.pdf
#
14.12.2025101.92 Кб0Доп задачи КМ.pdf
#
14.12.20252.35 Mб0клебши.pdf
#
14.12.20252.02 Mб0Локальная_калибровочная_инвариантность_Уровни_Ландау_.pdf
#
14.12.20253.52 Mб0Магнитный резонанс.pdf