Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1314 вуза, 5308 предмета.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ)
Предмет:
Квантовая механика
Файл:
6 сем / km-lectures-221025.pdf
Скачиваний:
0
Добавлен:
14.12.2025
Размер:
4.94 Mб
Скачать
☆
►Содержание►

9.3Формула Борна

Отбросим в Ур. (9.125) члены O r12 и будем решать полученное интегральное уравнение

 

2m

eikr

Z

d3r0 e ikr0V (r0) (r0) :

 

(r) = eik0r

e

 

 

(9.129)

4 ~2

 

r

методом последовательных приближений. Это есть метод Борна (Max Born). Нулевое приближение

 

 

 

 

(0)

 

 

= eik0r :

 

 

(9.130)

Первое борновское приближение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2m

 

eikr

Z

 

e ikr0V (r0)

 

 

(1)(r)

=

eik0r

 

e

 

 

 

 

d3r0

(0)(r0)

(9.131)

4 ~2

 

r

 

 

 

 

2m

 

eikr

Z

 

ei(k0 k)r0V (r0) :

 

 

=

eik0r

 

e

 

 

 

 

d3r0

(9.132)

 

4 ~2

 

r

Выражение для n-ого приближения имеет вид

 

 

 

 

 

 

2m eikr

 

 

 

 

 

(n)(r)

=

eik0r

e

 

 

 

Z

d3r0 e ikr0V (r0)

(n 1)(r0) :

(9.133)

4 ~2

 

r

Условия применимости борновского приближения: необходимо, чтобы последний член в Ур. (9.132) был мал. Это может быть выполнено при малых рассеивающих потенциалах V или при быстрых рассеиваемых частицах

kd 1 ;

(9.134)

где d радиус действия потенциала V (в этом случае подынтегральная функция будет

сильно осциллировать и, следовательно, интеграл будет мал).

Мы ограничимся первым борновским приближением. В рамках этого приближения амплитуда имеет следующий вид

f(1)( ; ') =

 

4 ~e2

Z

d3r0 ei(k0 k)r0V (r0)

 

 

2m

 

 

 

 

2me

~

 

=

 

4 ~2

V (k0 k) ;

где мы ввели прямое и обратное преобразование Фурье как

V~ (k)

=

Z d3r eikr V (r) ;

V (r)

=

(2 ) 3 Z d3k e ikr V~ (k) ;

(9.135)

(9.136)

(9.137)

(9.138)

411

соответственно.

Вектор K = k0 k определяет переданный импульс ( p = K~). Используя этот вектор амплитуда запишется в виде

f(1)( ; ') =

 

4 ~e2

Z

d3r0 eiKr0V (r0)

(9.139)

 

 

2m

 

 

 

 

 

2me

~

 

 

=

4 ~2

V (K) ;

(9.140)

Рассмотрим первое борновское приближение для центрального поля V (r) = V (r)

f(1)( ; ') =

4 ~e2

Z

d3r0 eiKr0V (r0)

 

 

(9.141)

 

 

2m

 

 

 

 

 

 

 

=

4 ~e2

1

dr0 r02

 

d 0 sin 0

2

d'0eiKr0 cos 0V (r0) :

(9.142)

Z0

Z0

Z0

 

 

2m

 

 

 

 

 

 

 

Здесь угол 0 отсчитывается от направления вектора K. Интегрирование по углу '0 äà¼ò 2 . Интегрирование по углу 0 заменяется на интегрирование по cos 0

f(1)( ; ') = 42m~e2 2

=42m~e2 2

=42m~e2 2

11

ZZ

dr0 r02 d cos 0eiKr0 cos 0V (r0)

01

1

 

 

e

iKr cos

 

 

cos 0

=1

 

 

Z

dr0 r02

 

0

0

cos 0

 

 

 

V (r0)

 

 

iKr0

 

=

 

1

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

e

iKr0

 

 

iKr0

 

 

 

 

Z

dr0 r02

 

 

e

 

V (r0)

 

 

 

 

 

 

 

 

iKr0

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

1

dr0

r02

2 Kr0 0

 

V (r0)

= 4 ~e2 2 Z

 

 

2m

 

 

 

sin(Kr

)

0

 

 

 

 

 

 

1

=2me Z dr0 r0 sin(Kr0)V (r0) :

~2K

0

Рассмотрим модуль вектора K

K = jk0 kj = (jk0j2 + jkj2 2k0k)1=2

 

(2k2 2k cos )1=2 = kp

 

 

= kp

 

2 sin2

 

 

1=2

=

2(1 cos )1=2

2

 

 

 

2

 

=

2k sin

 

 

 

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(9.143)

(9.144)

(9.145)

(9.146)

(9.147)

(9.148)

(9.149)

(9.150)

412

Угол это угол между векторами k и k0 (ñì. Óð. (9.127)).

Заметим, что в случае центрального поля амплитуда не зависит от угла '. Рассеяние обладает аксиальной симметрией.

9.4Рассеяние заряженных частиц на экранированном кулоновском потенциале (потенциале Юкавы)

08.04.2022

Рассмотрим рассеяния на экранированном кулоновском потенциале потенциале Юкавы

 

e r ; ! 0 :

 

V (r) = r

(9.151)

В первом борновском приближении сечение выражается через Фурье-образ потенциала (Ур. (9.135))

f(1)( ; ') =

4 ~e2

Z d3r0 ei(k0 k)r0V (r0)

(9.152)

 

 

2m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2me

~

k) =

 

2me

~

 

=

4 ~2

V (k0

 

4 ~2

V (K) ;

(9.153)

где модуль вектора K (переданного импульса) имеет вид

 

K

=

jk0 kj

= 2k sin

 

:

 

(9.154)

 

 

2

 

413

f(1)( ; ') =

 

 

1

dr0

r0 sin(Kr0)V (r0)

 

 

~2K Z0

 

 

 

2me

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2me

Z0

dr0 r0

sin(Kr0)

e r0

 

=

 

 

 

 

 

 

~2K

r0

 

=

 

~2K

1

dr0

2i

eiKr0 e iKr0

e r0

Z

 

 

2me

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

(9.155)

(9.156)

(9.157)

 

 

=

~2K 2i

iK +

 

iK

 

 

 

 

 

(9.158)

 

 

 

 

 

 

2me 1

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

~2K 2i

K2 + 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(9.159)

 

 

 

 

 

 

2me 1

 

 

 

2iK

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

~2

 

K2 + 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(9.160)

 

 

 

 

 

 

2me

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~24k2

 

sin2

2 + 2

!

 

 

 

 

2p2

sin2

2 + 2

!

 

 

 

=

 

2me

 

 

 

 

1

 

 

 

=

 

 

me

 

 

 

1

 

:

(9.161)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

= ~k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(9.162)

 

 

d

=

jf(1)( ; ')j2

=

 

 

 

2p2

 

 

sin2

+ 2

 

2

 

 

 

(9.163)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d

 

 

 

 

 

 

 

 

 

me

2

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ïðè

! 0

эта формула

 

переходит в формулу

Резерфорда.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Амплитуда рассеяния в потенциале

V (r) = r

 

(амплитуда приведена в атомных

единицах me = ~ = jej = 1) имеет вид

2 ) (1 + i =p)

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2p2 sin2(

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

f( ; ')

=

 

 

 

 

(1 i =p)

exp

i

ln sin2

 

:

 

(9.164)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Эта формула отличается от Ур. (9.161) при ! 0 фазовым множителем.

9.5Рассеяние заряженных частиц атомами

Рассмотрим рассеяние заряженных частиц атомами. Будем рассматривать этот процесс в первом борновском приближении.

414

Рассмотрим уравнение Пуассона

1

= 4 (r) :

 

r

(9.165)

Потенциал точечного заряда величины jejZ, т.е. потенциал, отвечающий плотности заряда (e < 0)

nuc(r) = jejZ (r) ;

Z

dr nuc(r) = jejZ ;

(9.166)

должен удовлетворять уравнению

 

 

 

 

 

 

 

 

jejZ

=

 

4 e

Z (r) =

 

4 nuc(r) :

(9.167)

 

r

 

j j

 

 

 

 

Это равенство позволяет нам написать связь плотности распределения заряда и создаваемым ею потенциалом

nuc(r) = 4 nuc(r) :

 

(9.168)

Потенциальная энергия электрона в потенциале nuc(r) имеет вид

 

V nuc(r) = jej nuc(r) =

e2Z

:

(9.169)

r

Сделаем преобразование Фурье для потенциальной энергии, то есть сделаем преобразование Фурье для равенства

 

 

 

 

 

 

(r) =

 

1

(r)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

~ =

Z d3reiqr (r) = 4 Z

d3reiqr (r)

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

=

4 Z

d3r( eiqr) (r) = 4 Z

d3r( q2)eiqr (r)

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

q2

~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

4

(q) :

 

 

 

 

Находим связь Фурье образа потенциальной энергии и плотности заряда

 

j j

 

q2

V~ (q) =

e ~(q) =

 

4 jej

~(q) :

 

 

(9.170)

(9.171)

(9.172)

(9.173)

(9.174)

415

Будем рассматривать атом как ядро с зарядом jejZ и Z штук электронов с зарядами e (e < 0). Плотность распределения электронов обозначим как el(r), она определяется диагональным элементом одночастичной матрицы плотности

 

 

 

el(r) = jejnel(r) ;

Z

d3r nel(r) = Z :

(9.175)

nel(r)

=

N Z

d3r2 : : : d3rN (r; r2; : : : ; rN ) (r; r2; : : : ; rN ) ;

N = Z ; (9.176)

h j i

=

Z

d3r1d3r2 : : : d3rN j (r1; r2; : : : ; rN )j2 = 1 ;

(9.177)

где волновая функция атомных электронов.

Будем считать, плотность распределения электронов сферически симметрична

 

 

nel(r) = nel(r) :

(9.178)

Рассмотрим плотность распределения заряда атоме

 

 

 

(r) =

 

nuc(r) + el(r)

(9.179)

 

 

=

 

jejZ (r) jejnel(r)

(9.180)

~(q) =

Z

d3r eiqr (r)

 

(9.181)

=

Z

d3r eiqr

jejZ (r) jejnel(r)

(9.182)

 

 

 

 

 

 

 

=

jejZ jej Z

d3r eiqrnel(r) = jejZ jejF (q)

(9.183)

Здесь мы ввели атомный формфактор

 

 

 

 

F (q) =

Z

d3r eiqrnel(r) :

(9.184)

Так как плотность распределения электронов сферически симметрична Ур. (9.178),

то атомный формфактор тоже сферически симметричен

 

F (q) = F (q) :

(9.185)

Используя связь плотности распределения заряда и отвечающего ей потенциала Ур. (9.174)

V~ (q) =

 

4 jej

~(q) ;

(9.186)

q2

 

 

 

416

можем записать

~

 

4 e2

 

V (q)

=

 

(Z F (q)) :

(9.187)

q2

В первом борновском приближении сечение рассеяния выражается через Фурье-образ потенциала (Ур. (9.135))

f(1)( ; ') =

 

4 ~e2

Z

d3r0 ei(k0 k)r0V (r0)

 

 

2m

 

 

 

 

 

 

2me

~

 

2me

~

=

 

4 ~2

V (k0 k) =

4 ~2

V (K) ;

где модуль вектора K (переданного импульса) имеет вид (Ур. (9.150))

K = jk0 kj = 2k sin

 

 

:

 

 

 

2

Сечение рассеяние выражается через амплитуду как

d

=

jf(1)( ; ')j2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2m

 

2

 

 

 

e2

 

2

 

 

 

 

 

=

 

e

 

 

4

 

jZ F (K)j2

 

4 ~2

K2

 

=

 

2mee2

 

2

 

Z F

2k sin

2

 

2

 

 

 

 

~

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

24k2

 

 

 

 

 

sin4

 

 

 

 

(9.188)

(9.189)

(9.190)

(9.191)

(9.192)

(9.193)

Если положить F = 0, что отвечает случаю отсутствия электронов, то мы получим формулу Резерфорда (амплитуда будет неправильная см. Ур. (9.164)).

Рассмотрим рассеяние на малые углы . Им отвечают малые значения K или q. Тогда атомный формфактор можно разложить в ряд Тейлора

 

 

 

 

F (q)

=

Z

d3r eiqrnel(r)

 

 

 

(9.194)

 

 

 

 

eiqr

 

1 + iqr

(qr)2

 

 

 

 

 

 

 

=

 

+ : : :

 

 

(9.195)

 

 

 

 

2!

 

F (q) =

Z

d3r eiqrnel(r)

 

 

 

 

 

 

 

(9.196)

 

Z

d3r nel(r) + Z

d3r (iqr)nel(r) + Z

 

(i

qr

2

 

=

d3r eiqr

)

 

nel(r) + O(q3) (9.197)

 

2

 

=

Z + q2C

2

+ q4C

4

+ (q6) :

 

 

 

 

(9.198)

 

 

 

 

O

 

 

 

 

 

 

 

 

417

Член разложения, линейный по q, равен нулю

Z

 

 

 

 

d3r (iqr)nel(r)

=

0

(9.199)

Z

d (iqr)

=

0 :

(9.200)

Рассмотрим квадратичный член по q

1 Z

2

1 Z

2

d

0

d3r (iqr)2nel(r)

=

2

1

dr r2

 

 

 

2

d' ( q2r2) cos2 nel(r)

(9.201)

Z0

Z0

d sin Z0

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

d' cos2

 

 

 

 

 

 

 

23

 

 

 

 

 

 

=

2 3 2 =

;

 

 

(9.202)

sin Z0

 

 

 

 

 

 

1 2

 

 

 

 

 

 

Z

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

d3r r2nel(r)

=

4 Z

dr r4 nel(r) a02Z

ñì. íèæå ;

(9.203)

2

Z

0

(9.204)

d3r (iqr)2nel(r) a02Z q2 ;

1

 

 

 

ãäå a0 боровский радиус (здесь это просто размерный множитель)

a0 =

~2

0:529 10 10

ì

:

(9.205)

 

mee2

 

Оценка Ур. (9.203) следует из следующих рассуждений. Рассмотрим нормировку матрицы плотности Ур. (9.175)

Z

d3r nel(r) = Z :

(9.206)

Радиусы атомов относительно слабо зависят от Z, см. Рис. 9.1. Для большинства атомов их радиусы лежат в интервале 0:1 0:2 nm (1 nm = 10 9 m). Следовательно для оцен-

ки рассматриваемого интеграла (9.203) матрицу плотности можно считать однородной, пропорциональной Z.

Итак, мы разложили атомный формфактор в ряд по ч¼тным степеням q

F (q) = Z + q2C + q4C

4

+

(q6) :

(9.207)

2

 

O

 

При рассеянии на малые углы (малых q) мы можем ограничиться квадратичным членом

jZ F (q)j jC2jq2 a02Zq2 :

(9.208)

418

Соседние файлы в папке 6 сем
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности