Добавил:

okley Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ)

Предмет:

Квантовая механика

Файл:

6 сем / km-lectures-221025.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

14.12.2025

Размер:

4.94 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 5556 / 6756 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 > Следующая >>>

Глава 9

Теория рассеяния

08.04.2022

9.1Рассеяние микрочастиц

В этой главе мы будем рассматривать стационарные состояния. Волновая функция стационарных состояний имеет следующий вид

(r; t) = (r) e i"t=~ :

(9.1)

Функции стационарных состояний должны удовлетворять стационарному уравнению Шр¼дингера

p^2

+ V (r)

(r)

(r) ;

(9.2)

2me

+ V (r)

(r)

(r) :

(9.3)

2me

Оператор импульса

p^ = i~r:

(9.4)

Градиент в декартовых и сферических координатах

= ex

+ ey

+ ez

;

(9.5)

1 @

= er

+ e

+ e'

;

(9.6)

r sin

398

где введены сферические орты

;

(9.7)

er ;

(9.8)

1 @

e :

(9.9)

sin

cos

Оператор Лапласа (лапласиан) в декартовых и сферических координатах

;

(9.10)

@x2

@y2

@z2

1 @

l^2

;

(9.11)

где использован безразмерный оператор орбитального момента (момента импульса)

~l^

l^2

Шаровые функции

[r p]

1 @2

(9.12)

sin

(9.13)

sin

@'2

l^2Ylm( ; ') =

l(l + 1)Ylm( ; ') ;

(9.14)

mYlm( ; ') :

(9.15)

lzYlm( ; ')

Мы ограничимся рассмотрением рассеяния на короткодействующих потенциалах, убывающих быстрее 1=r3. В этом случае при r ! 1 частица может рассматриваться как

свободная, то есть асимптотика е¼ волновой функции описывает свободную частицу.

Рассмотрим случай свободной частицы

V (r) = 0 :

(9.16)

Волновая функция, описывающая свободную частицу, удовлетворяет следующему стационарному уравнению Шр¼дингера

	p^2
			(r)	=	"	(r) ;	(9.17)

	2me
~2		(r)		=	"	(r) :	(9.18)
2me

399

Мы хорошо знаем собственные функции оператора импульса

p^ p(r)	=	p p(r)	(9.19)
p(r)	=	C eipr=~ :	(9.20)

Выразим волновые функции свободной частицы через собственные функции оператора импульса

(r)	=	C eipr=~				(9.21)
		p			p2	(9.22)
					p2
				2me :
p	=	jpj = 2me" ;	" =	2me :

Значение энергии (") определяет только модуль вектора импульса ( p), следовательно

спектр бесконечно вырожденный.

Нормировка собственных функций. Положим нормировочную константу равной единице

C	=	1 ;			(9.23)
p(r)	=	eipr=~ ; " =	p2	;	(9.24)
			2me

тогда функции нормируются следующим условием

h pj p0i =	Z	d3r p(r) p0(r)		(9.25)
=	Z	d3re ipr=~eirp0=~ = Z	d3reir(p0 p)=~	(9.26)
=	(2 ~)3 (p0 p) :			(9.27)

Рассмотрим уравнение Шр¼дингера для свободной частицы с точки зрения движения в центральном поле. Будем искать решение с определ¼нным орбитальным моментом ( l)

и его проекцией (m) в виде

"lm(r) = C Rl(r) Ylm( ; ') ;

(9.28)

где C нормировочная константа. Уравнение Шр¼дингера может быть записано в виде

2me

~2 @2

2me @r2


	1	@			r2	@
						@r
r2 @r
1 @
+ 2
			r	@r


				~2		(r) = " (r)
			2me			(r) = " (r)
r2				!		"lm(r) = " "lm(r)
		l^2
(	r2				Rl(r) = "Rl(r)
l	l + 1)

(9.29)

(9.30)

(9.31)

400

Поделим Ур. (9.31) на ", введ¼м переменную

r = xs

2me"

;

(9.32)

;

2me"

kr ;

k = r

(9.33)

~2e

m "

и домножим слева на x2. Тогда мы получим следующее уравнение

	@2		@		~
x2		+ 2x		+ [x2	l(l + 1)] Rl	p		x	= 0 ;	(9.34)
	@x2		@x
							2me"

которое может быть сведено к уравнению для сферических функций Бесселя. Сфериче- ские функции Бесселя удовлетворяют следующему уравнению

x2	@2	+ 2x	@	+ [x2 l(l + 1)] jl(x) = 0 :	(9.35)
	@x2		@x

Получаем, что функция Rl(r) может быть выражена через сферические функции Бесселя

Rl(r) = Rl

2me"

= jl(x) = jl

= jl(kr) :

(9.36)

2me"

Сферические функции Бесселя представляют собой регулярное в нуле решение. Асимптотики функций Бесселя

			xl			x ! 0
jl(x)				;				(9.37)
jl(x)		(2l + 1)!!		;	2			(9.37)
jl(x)	x sin x				2	; x ! 1 :		(9.38)
	1				l
Нормировка функций Бесселя
1					=		2k2 (k k0) :	(9.39)
Z0 dr r2jl(kr)jl(k0r)					=		2k2 (k k0) :	(9.39)

Волновые функции свободной частицы с определ¼нной энергией ( "), орбитальным моментом (l) и его проекцией (m) имеют вид

"lm(r)	=	C R"l(r)Ylm( ; ') = C jl (kr) Ylm( ; ') ;								(9.40)
k	=	r			= ~ ;		" = 2me	= 2me :		(9.41)
			~2
				2me"		p	k2~2		p2

401

Уровни энергии вырождены по орбитальному моменту ( l) и его проекции (m). Нормировка функций "lm(r)


h "lmj "0l0m0i =	Z0	1 dr r2				Z	d sin Z	d' "lm(r) "0l0m0(r)
=	jCj2		Z0	1 dr r2jl(kr)jl0(k0r) Z					d sin d'Ylm( ; ')Yl0m0( ; ')
= jCj2					(k k0) ll0 mm0 :
= jCj2			2k2		(k k0) ll0 mm0 :

Используя свойства дельта-функции, перейд¼м к дельта-функции от энергии

(k	k0) = (k(")	k("0)) =	1	("	"0)
(k	k0) = (k(")	k("0)) =	d"	("	"0)
			dk(")

=2"~2 (" "0) : me

Тогда нормировка функций "0l0m0

будет выглядеть как

h "lmj "0l0m0i

= jCj2

2k2

(" "0) ll0

mm0

2m~e

" 2

= C

2~6

1=2

"0) ll0

mm0

8me3"

j j

Положим нормировочную константу C равной

8m3"

1=4

C =

2~6

(9.42)

(9.43)

(9.44)

(9.45)

(9.46)

(9.47)

(9.48)

(9.49)

Рассмотрим два набора волновых функций для свободной частицы: состояния с определ¼нным значением импульса

p(r)	=	eirp=~ ;	(9.50)
h pj p0i	=	(2 ~)3 (p p0)	(9.51)

и состояния с определ¼нным значением орбитального момента и его проекции

8m3"

1=4

m "

"lm(r)

jl(kr)Ylm( ; ') ;

k =

2 e

;

(9.52)

2~6

h "lmj "0l0m0i

(" "0) ll0 mm0 :

(9.53)

Оба эти набора собственных функций являются полными наборами.

402

Асимптотика функций Бесселя имеет вид

jl(kr) kr sin kr		2		; r ! 1 ;	(9.54)
1		l

следовательно "lm 1r ïðè r ! 1. С другой стороны j pj = 1. Здесь нет противоречия. Понять их поведение можно, изучая разложение экспоненты по функциям Бесселя

	1
eikr =	X(2l + 1) il jl(kr)Pl(cos ) ;

l=0

=il 4 jl(kr)Ylm( )Ylm(n) ;

	l=0
k =	p	;	n =	r	;	=	p	; cos = n :

	~			jrj			jpj

Рассмотрим движение в короткодействующем потенциале V (r). Стационарное уравнение Шр¼дингера


	p^2		+ V (r)	(r)	=	"	(r) ;
	2me
~2		+ V (r)		(r)	=	"	(r) :
2me

(9.55)

(9.56)

(9.57)

(9.58)

(9.59)

Будем считать, что потенциал V (r) стремится к нулю при r ! 1 достаточно быстро так,

что мы можем представить асимптотику собственной функции уравнения Шр¼дигера в виде

			eikr + f( ; ')	eikr		r ! 1 ;
(r)					;		(9.60)
				r
ãäå
eikr			падающая (incident) волна ;				(9.61)
f( ; ')	eikr		рассеянная (scattered) волна :				(9.62)
		r

Левая часть Ур. (9.60) описывает свободную частицу. Функция						f( ; ') называется ам-
плитудой рассеяния.
Поток для функции
j[ ] =		1	((p^ )	+	p^ )	(9.63)
j[ ] =	2me		((p^ )	+	p^ )	(9.63)
	2me
=		i~	((r )		r ) :	(9.64)
=	2me		((r )		r ) :	(9.64)

403

В классической механике поток это произведение плотности вероятности ( ) на скорость (v)

j = v :

(9.65)

Учитывая, что v = p=me è = j j2, легко убедиться, что определение потока Ур. (9.63) переходит в классическое определение потока. Размерность потока m 2s 1, а его физиче-

ский смысл количество частиц, проходящих через единицу площади (перпендикулярной вектору j) в единицу времени. Соответственно, поток j, умноженный на площадь S (пер-

пендикулярную вектору j), да¼т число частиц проходящих через площадь S в единицу

времени.

Рассмотрим поток для падающей волны inc = eikr

	1		k		p
j[eikr] =		(p^eikr) eikr + e ikrp^eikr =	~	=		:
j[eikr] =	2me	(p^eikr) eikr + e ikrp^eikr =	me	=	me	:

Поток является константой.

= f( ; ')eikr

Рассмотрим поток для рассеянной волны

scat

Градиент в сферических координатах

r .

r =

1 @

+ e

+ e'

r sin

Рассмотрим отдельно градиент рассеянной волны

eikr

1 @

eikr

1 @

eikr

+ e

+ e'

r sin

ikr

= er ikf

+ er f

eikr

+ e'

r2 sin

er ikf

ikr

+ O

(9.66)

(9.67)

(9.68)

(9.69)

(9.70)

(9.71)

Теперь вычислим поток рассеянной волны

j[ scat] =

((r )

r )

(9.72)

2me

eikr

e ikr

eikr

e ikr

er ikf

+ O

(9.73)

2me

k~er

+ O

(9.74)

per

+ O

(9.75)

404

								15.04.2022
Заметим, что поток для функции			=	inc +	scat (см. Ур. (9.60)) равен
	j[	] =	j[	inc] + O		r	:	(9.76)
						1
Мы рассматриваем состояние с асимптотикой
		eikr		eikr			r ! 1	(9.77)
(r)			+ f( ; ')			;
(r)			+ f( ; ')		r	;
Элементарный телесный угол, площадь и объ¼м имеют вид
d	=	d sin d' ;						(9.78)
dS	=	r2d sin d' = r2d ;						(9.79)
dV	=	dr dS = dr r2d sin d' :						(9.80)

Дифференциальное сечение рассеяния: число частиц в единицу времени, рассеянных в телесный угол d , дел¼нное на поток падающих частиц,

d =	jj [		scat]j dS		;		r	! 1
		j[ inc]		j				! 1
=		j		j		;		r
=	j hf e rikridS					;		r
			ikr						! 1
			j[e ]						! 1
		j		j

	f	2
=	r		me		k~			; r ! 1
=	r		me		k~	r		; r ! 1
			k~er + O			13	r2d
				me

=	jfj	2 k~er	d	= jfj2 d :
		me

Ñó÷¼òîì Óð. (9.76) можно также определять дифференциальное сечение как

d =	jj [	scat]j dS		; r	! 1	:
	j	j[ ]	j		! 1
	j		j

(9.81)

(9.82)

(9.83)

(9.84)

(9.85)

Из определений Ур. (9.81), (9.85) видно, что сечение не зависит от нормировки функции .

Полное сечение рассеяния

Z	Z
=	d = d jf( ; ')j2 :	(9.86)

405

Замечание:

S0 площадь, перпендикулярная вектору k, постоянна.

inc] = j[eikr] =

поток падающей волны постоянен.

S0 j[ inc]

число падающих частиц, проходящих через площадь S0 в единицу времени,

постоянно.

S = 4 r2 площадь сферы радиуса r, пропорциональна r2.

eikr

2 k~er

j[ scat]

число рассеянныхe

)

частиц, проходящих через сферу радиуса r (при r

scat] = j[f

r ] =

+ O(r3 ) поток рассеянной волны пропорционален

r2 .

в единицуj

jвремени, постоянно.

! 1

Подвед¼м итог этого параграфа. Мы рассматриваем рассеяние короткодействующим потенциалом. В таком потенциале асимптотика волновой функции имеет вид

	eikr + f( ; ')	eikr
(r)	eikr + f( ; ')	r ; r ! 1 :	(9.87)

Функция f( ; ') называется амплитудой рассеяния. Дифференциальное сечение определяется через амплитуду рассеяния как

d = jf( ; ')j2 d :

(9.88)

Размерность сечения площадь.

Физический смысл дифференциального сечения рассеяния количество частиц рассеянных в телесный угол d в единицу времени, дел¼нное на поток падающих частиц.

9.2Функция Грина и интегральная форма уравнения Шр¼дингера.

Волновая функция, описывающая частицу, развивается во времени, согласно уравнению Шр¼дингера

	@		^
i	@t	(r; t)	= H (r; t) :	(9.89)
Стационарные состояния
	(r; t) =		(r) e i"t=~ :	(9.90)

406

Функции стационарных состояний должны удовлетворять стационарному уравнению Шр¼дингера


	p^2		+ V (r)	(r)	=	"	(r) ;	(9.91)
	2me
~2		+ V (r)		(r)	=	"	(r) :	(9.92)
2me

Мы рассматриваем непрерывный спектр короткодействующих потенциалов ( V r3 ! 0 при r ! 1). Энергия таких состояний может быть представлена в виде

" =	k2~2	; p = k~:	(9.93)
	2me

Величина p имеет смысл модуля импульса частицы при r ! 1. Перепишем уравнение Ур. (9.92) в виде

( + k2) (r) =	2me	V (r) (r)	(9.94)
	~2

Функция Грина (Green's function) для свободной частицы удовлетворяет уравнению

( + k2)G(r; r0) = (r r0) :

(9.95)

Функция Грина с необходимой асимптотикой имеет вид

G(r; r0) =		eikjr r0j
			:	(9.96)
		4 jr r0j
Действительно, рассмотрим случай r = r0
6
( + k2)G(r; r0)	=	0 ; r 6= r0 :		(9.97)

Решение этого уравнения можно найти в виде

G(r; r0) = f(jr r0j) :

(9.98)

Ввиду коммутации градиента и сдвига, функция f должна удовлетворять уравнению

( + k2)f(r) = 0 ; r 6= 0 :

(9.99)

С уч¼том того, что функция f не зависит от угловых переменных, она должна удовлетворять уравнению

					@
( + k2)f(r) =	1 @			r2		+ k2 f(r) = 0 ; r 6= 0 :	(9.100)
		r2	@r		@r

407

Нетрудно убедиться, что решением этого уравнения являются функции

f( )(r)

e ikr

(9.101)

С уч¼том уравнения Пуассона

= 4 (r)

(9.102)

константа C должна равняться

C =

(9.103)

Получаем следующее выражение для функции Грина с нужной нам асимптотикой

G(+)(r; r0)

eikjr r0j

(9.104)

4 jr r0j

Введ¼м волновую функцию свободной частицы 0(r), которая имеет энергию " и удо-

влетворяет уравнениям Ур. (9.91), (9.92) с	V (r) = 0 и, соответственно,
( + k2)	0(r) = 0 :	(9.105)

Решение уравнения Шр¼дингера Ур. (9.94) должно удовлетворять следующему уравнению

(r) = 0(r) + Z	d3r0 G(r; r0)	2~2e V (r0) (r0) :	(9.106)
		m

Это есть интегральная форма уравнения Шр¼дингера Ур. (9.91), (9.92), (9.94). Убедимся

в этом, подставив функцию			(r) â âèäå (9.106) â Óð. (9.94)				2~2e V (r0) (r0)
( + k2) (r) =	( + k2) 0(r) + ( + k2) Z					d3r0 G(r; r0)	2~2e V (r0) (r0)	(9.107)
							m
=	Z		d3r0 (r r0)		2~2e V (r0)	(r0)		(9.108)
					m
=		2me		V (r) (r) :				(9.109)
		2me
	~2
Возьм¼м в качестве	0 падающую волну
				0(r)	= eik0r :			(9.110)

408

Интегральное ур. Шр¼дингера (9.106) примет вид

	eik0r + Z		eik r r0j	2m
(r) =		d3r0 ( 1)	j		e	V (r0) (r0) :	(9.111)
			4 jr r0j		~2

Для простоты изложения предположим, что потенциал V (r) = 0 при r > R. В этом случае подынтегральное выражение отлично от нуля только при jr0j < R и, соответ-

ственно, при больших r мы можем разложить подынтегральное выражение по степеням

r . Заметим (без доказательства), что это утверждение справедливо для потенциалов

r3V (r)	!	0 ïðè r	! 1	.	1
Последний член равенства (9.111) вед¼т себя как					r ïðè r ! 1.
					r ïðè r ! 1.

Амплитуда рассеяния была определена из анализа асимптотики функции (r) Ур. (9.60)

	eik0r + f( ; ')	eikr
(r)			; r ! 1 :
		r

Рассмотрим вид уравнения (9.111) при r ! 1.

è r ! 1

Начн¼м с рассмотрения jr r0j при фиксированном r0

jr r0j2 = r2 2rr0 + r02 = r2 1 2 r2

+ r02

= r2 1 2 r2

r 2

jr r0j = r2 1 2 r20

+ r02

1=2

1 r20

+ O r12

= r

r 2

= r r 0 + O r :

Здесь было использовано разложение в ряд Тейлора

(9.112)

+ O(r0)(9.113)

(9.114)

(9.115)

	[1 x]1=2 = 1		1	x + O(x2) :						(9.116)

			2
Введ¼м вектор
	r	; k = jk0j ;			k2~2			p2
k = k			" =				=		:	(9.117)
k = k	r		" =			2me	=	2me	:	(9.117)

409

Используя Ур. (9.115), мы можем написать следующие оценки

kjr r0j = kr kr0 + O r

r 1 r0

= r + O

exp ikr ikr0 + O

exp[ikjr r0j]

= exp[ikr] exp[ ikr0] + O

erikjr r00j

er e ikr0 + O r12 :

ikr

Подставляя оценку (9.122) в Ур. (9.111)

(r) = eik0r + Z			eik r r0j 2m
	d3r0	( 1)	j	e	V (r0) (r0) ;
			4 jr r0j	~2

получаем следующее выражение

eik0r + Z d3r0 ( 1)

eikr

(r) =

e ikr0

2 e

V (r0) (r0) + O

4 r

2m eikr

Z d3r0 e ikr0V (r0) (r0) + O

eik0r

4 ~2

(9.118)

(9.119)

(9.120)

(9.121)

(9.122)

(9.123)

(9.124)

(9.125)

Сравнивая полученное выражение с асимптотикой (9.60) или (9.112), находим амплитуду рассеяния

f( ; ') =	4 ~e2		Z d3r0 e ikr0V (r0) (r0) ;			(9.126)
		2m
где зависимость от углов , ' содержится в векторе
k	= k( ; ') = k			r( ; ')	:	(9.127)
k	= k( ; ') = k			r	:	(9.127)
				r

Угол отсчитывается от направления вектора k0.

Дифференциальное сечение рассеяние связано следующим образом с амплитудой (см.

Óð. (9.88))
d = jf( ; ')j2 d :	(9.128)

410

<<< < Предыдущая 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 5556 / 6756 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке 6 сем

#
14.12.20254.94 Mб0km-lectures-221025.pdf
#
14.12.20255.6 Mб0База квантовой механики.pdf
#
14.12.2025101.92 Кб0Доп задачи КМ.pdf
#
14.12.20252.35 Mб0клебши.pdf
#
14.12.20252.02 Mб0Локальная_калибровочная_инвариантность_Уровни_Ландау_.pdf
#
14.12.20253.52 Mб0Магнитный резонанс.pdf