где угол между векторами B0 и B (см. Рис. 8.2). При малых углах (малых b) мы получаем

Мы доказали Ур. (8.93).

Если бы вектор B не менялся со временем, то за время T волновая функция полу- чила бы фазу 'd(T ) = BT (динамическая фаза). Однако, так как вектор B меняется со временем (с периодом T ), то волновая функция за время T (в этот момент времени вектор B будет находиться в сво¼м изначальном положении B(T ) = B(0)) получит фазу '(T ) = 'd(T ) + 'B(T ). Дополнительная фаза 'B(T ), которую получает волновая функция из-за движения вектора B называется фазой Берри.

8.4Плотность потока вероятности и векторный потенциал

25.03.2022

В параграфе 3.10 мы ввели понятие плотности потока вероятности для уравнения Шр¼дингера

385

с гамильтонианом вида

В классической механике плотность потока это произведение скорости на плотность

В квантовой механике для гамильтониана (8.150) плотность потока, отвечающая волновой функции , определяется следующим образом

Оператор импульса (p^ = i~r) действует только на подч¼ркнутую функцию. Также мы вводили потность вероятности ( )

Мы показали, что для плотности потока вероятности и плотности вероятности имеет место уравнением неразрывности (см. Ур. (3.351))

Рассмотрим уравнение Шр¼дингера

386

Рассмотрим уравнение Шр¼дингера и комплексное сопряж¼нное уравнение Шр¼дингера

Вычитая полученные уравнения, мы получаем (подч¼ркнутые члены сокращаются)

387

Получаем, что плотность вероятности и плотность тока вероятности имеют вид

Для них выполнено уравнение неразрывности (см. Ур. (3.351), (8.158))

Найденные выражения для j и je содержат два вклада. Первый из них отвечает току, связанному с изменением волновой функции в пространстве. Второе слагаемое содержит векторный потенциал, и его вклад в плотность электрического тока не зависит от знака заряда носителя. Его называют диамагнитным, он отличен от нуля при A 6= 0 для любого

квантового состояния.

Как известно, векторный потенциал определ¼н неоднозначно к нему можно добавить градиент произвольной функции, и при этом выражение для силы Лоренца не изменится. Такое преобразование в электродинамике называют градиентным или калибровочным. При решении физических задач выбор калибровки, т.е. конкретного выражения для A

обычно диктуется соображениями удобства. Понятно, что любая измеримая в эксперименте физическая величина не должна зависеть от выбора калибровки она должна быть калибровочно инвариантной. Сам же вектор-потенциал A калибровочно инвари-

антным не является, в его определении имеется произвол. Полученные выше формулы для плотности тока и плотности потока вероятности, которые, как и любые другие наблюдаемые, должны быть калибровочно инвариантными величинами, содержат, однако, вклады, пропорциональные A, т.е. зависящие от выбора калибровки. Это обстоятельство

выглядит весьма странно и нуждается в детальном анализе.

С целью разобраться в ситуации посмотрим, что произойд¼т с вектором плотности потока вероятности, если подвергнуть волновую функцию преобразованию

Это преобразование тоже называют калибровочным, а почему, мы пойм¼м чуть позже. Будем считать калибровочное преобразование локальным, т.е. примем, что вещественная

388

фаза (r) является, как и (r), функцией координат. Выясним, как изменится первый вклад в плотность потока вероятности при этом преобразовании. Итак,

Как видно, калибровочное преобразование волновой функции привело к появлению у первого слагаемого в формулах Ур. (8.177), (8.178) добавки, пропорциональной . Но

изменение калибровки не должно менять выражений для наблюдаемых. Чтобы формула для j осталось неизменной, следует сделать калибровочное преобразование и векторного

потенциала:

При таких преобразованиях последние члены в Ур. (8.184) и (8.186) сокращаются. Выражение для плотности тока j оста¼тся неизменным при одновременных преобразованиях

(8.181) è (8.186).

Это калибровочное преобразование вполне правомерно, ибо добавляет к векторному потенциалу градиент скалярной функции . Таким образом, в квантовой механике калибровочное преобразование затрагивает одновременно фазу волновой функции и векторный потенциал.

На основании сказанного выше, а также принимая во внимание структуру уравнения Паули, можно сделать вывод, что квантовая частица подвержена воздействию не только напряж¼нностей силовых полей E и H, но и должна реагировать на наличие векторного

потенциала. Он не входит в выражение для силы Лоренца, однако может влиять на фазу волновой функции частицы. В середине ХХ века (В. Эренберг и Р. Э. Сидай, 1949; Я. Ааронов и Д. Бом, 1959) были предложены схемы экспериментов, в которых можно было бы наблюдать такое влияние.

W. Ehrenburg and R. E. Siday, The Refractive Index in Electron Optics and the Principles of Dynamics , Proc. Phys. Soc. B 62 8 (1949).

389

https://doi.org/10.1088/0370-1301/62/1/303

Y. Aharonov and D. Bohm, Signi cance of Electromagnetic Potentials in the Quantum Theory , Phys. Rev. 115, 485 (1959).

https://doi.org/10.1103/PhysRev.115.485

8.5Эффект Ааронова-Бома

Y. Aharonov and D. Bohm, Signi cance of Electromagnetic Potentials in the Quantum Theory , Phys. Rev. 115, 485 (1959).

https://doi.org/10.1103/PhysRev.115.485

Рассмотрим электрон, находящийся в пространстве, где есть напряж¼нность электри- ческого поля E и напряж¼нность магнитного поля H (в вакууме). Тогда на частицу с

зарядом e (пусть это электрон e < 0) действуют сила

где v скорость электрона.

Очевидно, что электрон будет вести себя по-разному в пространстве, где есть ненулевые напряж¼нности электрического и магнитного полей и в пространстве где они нулевые. В первом случае на него будет действовать ненулевая сила Ур. (8.189), в другом случае на него не будет действовать никакая сила.

Из классической электродинамики мы знаем, что напряж¼нности электрического и магнитного полей можно выразить через потенциал электромагнитного поля

Напряж¼нности электрического и магнитного полей являются измеряемыми величинами. Потенциал электромагнитного поля определ¼н с точностью до калибровочного преобразования

390

Уравнения Максвелла для напряж¼нностей полей и для потенциала электромагнитного поля имеют вид

соответственно.

Потенциал электромагнитного поля A можно выбрать так, что он будет ненулевой

(например, ненулевая константа), а напряж¼нности электрического и магнитного полей равны нулю в какой-то области пространства. При этом в другой области пространства, недоступной для частицы, напряж¼нности будут ненулевыми.

Рассмотрим две области пространства:

Электрон, описываемый в рамках классической теории, будет вести себя одинаково в этих областях пространства. Классический электрон не будет чувствовать изменение потенциала, если напряж¼нности полей не меняются.

Электрон, описываемый в рамках квантовой механики, будет вести себя по-разному в этих областях пространства. То есть квантовый электрон чувствует изменение потенциала, даже если напряж¼нности полей не меняются.

Это есть эффект Ааронова-Бома.

Эффект Ааронова-Бома имеет важные последствия.

1.Потенциал электромагнитного поля ( A ) физичен, а не просто удобная матема-

тическая абстракция для описания напряж¼нностей электрического и магнитного полей.

2.Принцип наименьшего действия, из которого получается уравнения Максвелла для потенциала электромагнитного поля ( A ), является фундаментальным.

391

3.Если мы строим теорию исходя из потенциала электромагнитного поля (то есть частица чувствует потенциалы), наша теория является локальной.

Однако, если мы строим теорию исходя из напряж¼нностей полей (то есть частица чувствует напряж¼нности), то наша теория оказывается нелокальной. Частица находится в области пространства, где напряж¼нности нулевые, но чувствует (нелокально) присутствие напряж¼нностей в другой, недоступной ей, области пространства.

Suppose we have a charged particle inside a Faraday cage connected to an external generator which causes the potential on the cage to alternate in time. This will add to the Hamiltonian of the particle a term V (x; t) which is, for the region inside the cage, a function

of time only. In the nonrelativistic limit (and we shall assume this almost everywhere in the following discussions) we have, for the region inside the cage,

^

0(x; t) is a solution of the Hamiltonian H0

The new solution di ers from the old one just by a phase factor and this corresponds, of course, to no change in any physical result.

Now consider a more complex experiment in which a single coherent electron beam is split into two parts and each part is then allowed to enter a long cylindrical metal tube, as shown in Fig. 8.3.

392

Ðèñ. 8.3:

After the beams pass through the tubes, they are combined to interfere coherently at F .

By means of time-determining electrical shutters the beam is chopped into wave packets that are long compared with the wavelength but short compared with the length of the

tubes. The potential in each tube is determined by a time delay mechanism in such a way that the potential is zero in region I (until each packet is well inside its tube). The potential then

grows as a function of time, but di erently in each tube. Finally, it falls back to zero, before the electron comes near the other edge of the tube. Thus the potential is nonzero only while the electrons are well inside the tube (region II). When the electron is in region III, there

is again no potential. The purpose of this arrangement is to ensure that the electron is in a time-varying potential without ever being in a eld (because the eld does not penetrate far from the edges of the tubes, and is nonzero only at times when the electron is far from these edges).

Now let

appreciable, the problem for each tube is essentially the same as that of the Faraday cage. The solution is then

393

It is evident that the interference of the two parts at F will depend on the phase di erence

(S1 S2)=~. Thus, there is a physical e ect of the potentials even though no force is ever actually exerted on the electron. The e ect is evidently essentially quantum-mechanical in nature because it comes in the phenomenon of interference. We are therefore not surprised that it does not appear in classical mechanics.

From relativistic considerations, it is easily seen that the covariance of the above conclusion demands that there should be similar results involving the vector potential, A.

The phase di erence, (S1 S2)=~, can also be expressed as the integral

around a closed circuit in space-time, where ' is evaluated at the place of the center of the wave packet. The relativistic generalization of the above integral is

where the path of integration now goes over any closed circuit in space-time. This is the action (with opposite sign) for the charge e in the electromagnetic eld given by A = ('; A).

As another special case, let us now consider a path in space only ( t = constant). The above

argument suggests that the associated phase shift of the electron wave function ought to be (at this place this is an evidence, we will prove it below)

(the total magnetic ux inside the circuit). Stokes' theorem was used.

This corresponds to another experimental situation. By means of a current owing through a very closely wound cylindrical solenoid of radius R, center at the origin and axis in the z

direction, we create a magnetic eld, H, which is essentially con ned within the solenoid. However, the vector potential, A, evidently, cannot be zero everywhere outside the solenoid,

because the total magnetic ux through every circuit containing the origin is equal to a constant

To demonstrate the e ects of the total ux, we begin, as before, with a coherent beam of electrons. (But now there is no need to make wave packets.) The beam is split into two parts,

394

Ðèñ. 8.4:

each going on opposite sides of the solenoid, but avoiding it. (The solenoid can be shielded from the electron beam by a thin plate which casts a shadow.) As in the former example, the beams are brought together at F (Fig. 8.4).

The Hamiltonian for this case is

395

But, in the experiment discussed above, in which we have a multiply connected region (the

where S1 and S2 are equal to ec R dxA along the path of the rst and second beams, respectively. The interference between the two beams will evidently depend on the phase di erence,