Добавил:

okley Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ)

Предмет:

Квантовая механика

Файл:

6 сем / km-lectures-221025.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

14.12.2025

Размер:

4.94 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 5354 / 6754 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 > Следующая >>>

Таким образом, с уч¼том зависимости y0 îò px, функция (r) (8.46) описывает финитное движение в плоскости (x; y) и инфинитное движение вдоль оси z.

Среднее значение величины y^ y^0 для осциллятора равно (см. Ур. (4.311))

2		~		1
h j(^y y^0)	j i =		n +		; n = 0; 1; 2; : : :	(8.77)
		me!H		2

эта величина определяет квадрат радиуса окружности в плоскости (x; y), по которому в среднем происходит движение.

8.3Фаза Берри

[M.V. Berry, Proc. R. Soc. Lond. A 392, 45 (1984)]

https://doi.org/10.1098/rspa.1984.0023

[V.K. Ignatovich, Uspekhi Fizicheskikh Nauk 183, 631 (2013)]

https://doi.org/10.3367/UFNr.0183.201306e.0631

Рассмотрим поведение спина во внешнем постоянном магнитном поле. Будем считать, что динамика спина не связана с перемещением частицы в пространстве, т. е. спин отделен от орбитального движения. Такой подход правомерен, если внешнее магнитное поле является пространственно однородным. В этом случае величина и направление поля, действующего на частицу, в частности на е¼ спин, не зависят от того, где частица находится.

В этом случае за движение электрона только за сч¼т магнитного поля описывается таким уравнением Шр¼дингера (см. Ур. (8.6))

i~	@	= B H0 :	(8.78)
	@t

В этом параграфе мы будем задавать напряж¼нность магнитного поля с помощью векторов B, которые отличаются множителем B=~

			B
	B0	=			H0	:	(8.79)
				~
Тогда рассматриваемое уравнение Шр¼дингера примет вид
i	@	= B0				:	(8.80)

	@t
Функцию (t) можно записать как
(t)		=	e iB0t			(0) :	(8.81)

379

Направим ось z по полю B0: B0 = B0ez. Если в нулевой момент времени состояние имело определ¼нную проекцию спина на направление B0, òî åñòü

B0 (0) = B0 z (0) = B0 (0) ;	(0) =	0	;	(8.82)
		1
то мы можем записать
(t) = e iB0t (0) :				(8.83)

Видно, что поляризация (проекция спина на заданное направление ( B0)) со временем не меняется, но волновая функция приобретает фазу

'd(t) = B0t :

(8.84)

Эту фазу будем называть динамической фазой.

Пусть теперь кроме постоянного поля B0 имеется переменное поле

0 1

cos(2!t)

b(t) = b @ sin(2!t) A : (8.85) 0

Суммарное поле имеет вид

				b cos(2!t)	1
B(t)	=	B0 + b(t) =	0 b sin(2!t)		1	(8.86)
B	=	(B02 + b2)1=2 :	@	B0	A	(8.87)
B	=	(B02 + b2)1=2 :				(8.87)

Поле B(t) можно представить вектором длиной B, конец которого описывает окружность с периодом

T =		2	=		:	(8.88)
	2!			!

При этом сам вектор B(t) за период T описывает конус.

Будем считать, что ! B0, то есть угловая скорость вращения вектора B значительно меньше частоты B прецессии спина вокруг самого поля B. Частота прецессии спина

(ларморовская частота) равна
!H =	jejH	= B :	(8.89)
!H =	mec	= B :	(8.89)
	mec

При таком условии спин будет адиабатически следовать за изменяющимся во времени полем B(t). Возникает вопрос: после того как вектор B(t) через период времени t = T

380

Ðèñ. 8.2:

верн¼тся к первоначальному положению B(0), будет ли фаза спиновой волновой функции равна динамической фазе (см. Ур. (8.84))

		'd = BT ;							(8.90)
как в случае неподвижного вектора B, или нет?
Ответ на этот вопрос есть: фаза будет отличаться от динамической фазы
'(T ) = 'd(T ) + 'B ;									(8.91)
ãäå 'B фаза Берри, равная половине телесного угла ( ), под которым из начала вектора
B видна площадь окружности S = b2, описываемая концом вектора B
		'B	=	1			:		(8.92)

						2
При малых b это выражение приводися к виду
					b2
	'B							:	(8.93)
					2B2
Докажем сделанные утверждения.
Для этого мы аналитически решим уравнение Шр¼дингера вида
i	@		=	B(t) :					(8.94)
	@t

381

Покажем сначала справедливость следующего равенства

b(t) = b( x cos(2!t) + y sin(2!t))

= be i! zt xei! zt :

Нам понадобятся равенства (см. Ур. (5.339), (5.340))

z x z = i z y = x ;

[ x; z] = 2i y

			z2n	= I ;
		z2n+1		= z :
					!2t2			!3t3
ei!t z		=	I + i!t z			z2 i				z3 : : :
ei!t z		=	I + i!t z		2!	z2 i		3!		z3 : : :
			I + i!t z		!2t2	I i	!3t3
		=							z : : :
		=			2!			3!	z : : :
		=	cos(!t)I + i sin(!t) z ;
e i!t z		=	cos(!t)I i sin(!t) z :
e i! zt xei! zt =	cos(!t)I i sin(!t) z x cos(!t)I + i sin(!t) z

=cos2(!t) x + i cos(!t) sin(!t)[ x; z] + sin2(!t) z x z

=cos2(!t) x + cos(!t) sin(!t)2 y sin2(!t) x

=cos(2!t) x + sin(2!t) y

Мы доказали равенство (8.96).

Функцию (t) решение уравнения Шр¼дингера (8.94) будем искать в виде

(t) = e i!t z (t) :

Подставим е¼ в Ур. (8.94)

i@t (t) = (B0 + b(t)) (t) ;

i@t@ e i!t z (t) = (B0 + b(t))e i!t z (t)

! ze i!t z (t) + e i!t z i@t@ (t) = (B0 + b(t))e i!t z (t) :

(8.95)

(8.96)

(8.97)

(8.98)

(8.99)

(8.100)

(8.101)

(8.102)

(8.103)

(8.104)

(8.105)

(8.106)

(8.107)

(8.108)

(8.109)

(8.110)

(8.111)

(8.112)

382

Домножим это равенство слева на ei!t z

i	@	(t) =	! z (t) + ei!t z (B0 + b)e i!t z (t)					(8.113)

	@t
		=	z(B0 !) (t) + ei!t z be i!t z (t)					(8.114)
		=	z(B0 !) (t) + ei!t z be i! zt xei! zte i!t z (t)					(8.115)
		=	z(B0 !) (t) + b x (t)					(8.116)
		= (t) :						(8.117)
Мы использовали Ур. (8.96) и, что
					B0	= zB0 ;		(8.118)
			ei!t z ze i!t z			= z :		(8.119)
				= 0		0	1 :	(8.120)
						b
Уравнение					@ B0 ! A
Уравнение
			i	@	(t) =	(t)		(8.121)
			i		(t) =	(t)		(8.121)
				@t
имеет решение
			(t) = e i t (0) :					(8.122)
Тогда функция (t) запишется как (см. Ур. (8.109))
			(t) = e i!t z (t) = e i!t z e i t (0) :					(8.123)

Функция (0) = (0) описывает частицу в нулевой момент времени. В частности, мы

можем задать проекцию спина на любую ось. Пусть функция (0) нормирована на единицу

h (0)j (0)i = h (0)j (0)i = 1 :

(8.124)

Пусть в нулевой момент времени спин имел определ¼нную проекцию ( = 1=2) на направление

=	0		0		1	;	(8.125)
	@		b		A
	@	B	0	2	A	2 1=2
		B		!
=	j j = [b				+ (B0 !) ] :		(8.126)

383

То, что функция (0) описывает частицу с проекцией спина = 1=2 на направление , означает

(0) = (0) :

(8.127)

Амплитуда вероятности того, что проекция спина в момент времени t будет такая же как в нулевой момент времени

A(t) =	h (0)j (t)i = h (0)je i!t z e i tj (0)i	(8.128)
=	h (0)je i!t z e i tj (0)i = e i th (0)je i!t z j (0)i	(8.129)
= e i t h (0)j cos(!t)j (0)i i sin(!t)h (0)j zj (0)i		(8.130)
=	e i t cos(!t) i sin(!t)h (0)j zj (0)i :	(8.131)

Мы использовали Ур. (8.104).

Рассмотрим значение амплитуды в момент времени t = T = =! (см. Ур. (8.88)), при этом будет !T =

A(T ) =	e i T ( 1)	= e i T e i!T	(8.132)
=	e i( +!)T :		(8.133)

Получаем, что при завершении цикла вращения проекция спина на ось оста¼тся такой же и у волновой функции меняется только фаза

'(T ) =	( + !)T ;	(8.134)
Динамическая фаза равна (см. Ур. (8.90))
'd(T )	= BT :	(8.135)

Фаза Берри определяется как

'B = '(T ) 'd(T ) = (! + B)T :

Рассмотрим случай, когда поле b(t) медленно осциллирует и b(t) мало

! B0 ; b B0 :

Тогда фазу Берри можем записать как

'		=	! +	2		B2			T
'		=	! +			B2			T
	B				+ B
			! +			2B	0	T
						2!B
		=	1 B0			!T :
				B

(8.136)

(8.137)

(8.138)

(8.139)

(8.140)

(8.141)

384

<<< < Предыдущая 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 5354 / 6754 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке 6 сем

#
14.12.20254.94 Mб0km-lectures-221025.pdf
#
14.12.20255.6 Mб0База квантовой механики.pdf
#
14.12.2025101.92 Кб0Доп задачи КМ.pdf
#
14.12.20252.35 Mб0клебши.pdf
#
14.12.20252.02 Mб0Локальная_калибровочная_инвариантность_Уровни_Ландау_.pdf
#
14.12.20253.52 Mб0Магнитный резонанс.pdf