Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1314 вуза, 5308 предмета.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ)
Предмет:
Квантовая механика
Файл:
6 сем / km-lectures-221025.pdf
Скачиваний:
0
Добавлен:
14.12.2025
Размер:
4.94 Mб
Скачать
☆
►Содержание►

Посмотрим как зависят от времени средние значения проекций спина на оси x и y.

 

 

 

1

 

0

1

 

e i!Ht

 

sx = h (t)js^xj (t)i

= a (ei!Ht; e i!Ht)

 

 

1 0 a

ei!Ht

 

2

 

= 2jaj2(ei!Ht; e i!Ht) ee i!Ht

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

i!Ht

 

 

 

 

=

1

(e2i!Ht + e 2i!Ht) =

1

cos(2!H t) :

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

sy =

h

(t) s^y

j

(t)

i

= a (ei!Ht; e i!Ht)

1

0 i

a

e i!Ht

 

 

ei!Ht

 

j

 

 

2j j

2

i

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ie i!Ht

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

1

a

2(ei!Ht; e i!Ht) iei!Ht

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

i( e2i!Ht + e 2i!Ht) =

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

sin(2!H t) :

 

 

 

 

 

 

 

4

2

 

(8.34)

(8.35)

(8.36)

(8.37)

(8.38)

(8.39)

Мы видим, что спин вращается в среднем, конечно вокруг оси z, т. е. вокруг направ-

ления магнитного поля. Подобное движение хорошо известно в классической механике и носит название прецессии. Прецессия, таким образом, существует и в микромире. Ей подвержены все микрочастицы, имеющие спин, в том числе и в тех состояниях, когда они движутся свободно. Важно, что частота прецессии спина электрона, как следует из полученных формул, вдвое превышает классическую частоту ларморовской прецессии !H . Это связано с аномальной величиной гиромагнитного отношения для спина, которое в два раза больше своего орбитального аналога: ge = 2 (ge 2, ñì. Óð. (6.332)).

8.2Движение в однородном магнитном поле

Рассмотрим движение электрона в однородном магнитном поле [1], 112.

В параграфе 6.5 мы получили уравнение Паули, которое описывает движение электрона с уч¼том его спина (см. Ур. (6.327))

 

p^2

 

e

 

e2

' = ' :

 

 

+ V

~

H0

(l^+ 2s^) +

 

A2

(8.40)

2me

2mec

2mec2

Это уравнение получается из уравнения Дирака в нерелятивистском пределе, с точностью до поправок ( Z)4 ru.

В качестве потенциала электромагнитного поля, который описывает постоянное маг-

374

нитное поле H0, мы выбрали (см. Ур. (6.308))

A =

0

 

00

1

;

 

@

 

H

y

 

 

 

0

A

0

 

 

 

 

 

H =

[r A] = @

@

 

 

Az

@

 

Ay

1

 

0

1

 

@y

@z

 

 

@

 

 

 

@

 

0

 

@

 

Ax

 

@

Az

 

=

0

 

:

@z

 

@x

 

 

 

Ay

 

Ax

A

 

@ H0

A

 

@x

@y

 

 

Рассмотрим уравнение Паули в виде (V = 0) (6.324)

2me

p^ cA

 

2m~ec H0

= :

1

 

e

2

 

e

 

С уч¼том Ур. (8.41) получаем

 

1

 

e

2

 

p^y2

p^2

e

zH0

= :

2me

p^x + cH0y

 

+ 2me +

2me

2m~ec

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

Введ¼м ларморовскую частоту

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

!H =

jejH0

:

 

 

 

mec

Функцию будем искать в виде

(r) = e~i (pxx+pzz) f(y)

1

 

 

 

 

 

 

 

p^y2

 

 

 

(px !H mey)2

+

 

 

2me

2me

 

!2 m2

 

px

y

2

 

 

p^y2

 

2me

!H me

 

+ 2me

 

H e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

me

!H2 (y y0)2

+

p^y2

 

 

2

2me

 

Введ¼м оператор y^0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y^0

=

 

 

p^x

 

 

 

 

 

 

!H me

 

 

 

 

 

y0

=

 

 

px

 

 

 

 

 

 

!H me

 

pz2

f = f ;

+

2me + ~!H

+ 2me + ~!H !f

=

f ;

 

pz2

 

 

 

 

 

pz2

f

 

 

+

 

+ ~!H

=

f :

2me

=p^xc ; jejH0

=pxc : jejH0

(8.41)

(8.42)

(8.43)

(8.44)

(8.45)

(8.46)

(8.47)

(8.48)

(8.49)

(8.50)

(8.51)

375

сохраняется (может иметь определ¼нное значение в стационарных со-

Заметим, что оператор

мым, величина y0 стояниях).

p^2y

2me

p^2y

2me

y^0 коммутирует с гамильтонианом в Ур. (8.44), (8.49) и, тем са-

 

me

2

 

2

f

 

 

 

pz2

f ;

 

+

 

 

!H

(y y0)

 

=

 

 

 

 

~!H

(8.52)

2

 

2me

+

2

!H2

(y y0)2

f

=

Ef ;

 

 

 

 

 

 

(8.53)

 

me

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

pz2

 

 

 

 

 

 

 

 

E

=

 

 

 

~!H ;

 

(8.54)

 

 

 

 

 

 

2me

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= E +

 

z

+ ~!H :

(8.55)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2me

 

 

Уравнение (8.53) формально совпадает с уравнением для собственных функций гармонического осциллятора (см. 4.8, Ур. (4.221))

 

2 d2

1

 

(x)

 

 

~

 

 

+

 

m!2x2

= E (x) :

(8.56)

2m

dx2

2

Собственные значения осциллятора имеют вид Ур. (4.253)

 

En = ~! n + 2

 

; n

= 0; 1; 2; : : :

(8.57)

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

Волновая функция n-ого состояния можно представить как (см. Ур. (4.293), (4.290),

(8.63))

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n(x)

 

=

 

p

 

 

n

 

 

 

;

 

=

r

 

 

 

;

(8.58)

 

 

 

 

 

 

 

 

m!

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

h nj n0i

 

=

 

Z

dx n(x) n0(x) = n;n0 :

(8.59)

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( )

=

 

 

 

( 1)n

 

 

 

( )H

( ) ;

 

 

 

 

 

(8.60)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

pn!2n

0

n

 

 

 

 

 

 

 

ãäå

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0( )

 

=

 

 

1

 

e 21 2

 

 

 

 

 

 

(8.61)

 

 

 

 

1=4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

376

è Hn полиномы Эрмита

Hn( ) = ( 1)ne 2 ddnn e 2 :

Введ¼м величину

r

~

H = me!H :

Функцию fn(y) можно представить как

 

H1=2

 

H

 

fn(y) =

1

n

y y0

 

 

 

 

(8.62)

(8.63)

(8.64)

=

 

1

 

exp

(y y0)2

 

( 1)n

Hn

y y0

:

(8.65)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

pn!2n

H1=2 1=4

 

 

2 H2

 

 

H

 

 

 

 

 

 

 

p2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= E +

z

 

+ ~!H

 

 

 

 

 

 

 

(8.66)

 

2me

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

pz2

 

 

 

 

 

 

=

~!H n +

 

+

 

+ ~!H :

 

 

(8.67)

 

 

2

2me

 

 

Первый член в этом выражении да¼т дискретные значения энергии, отвечающие движению в плоскости, перпендикулярной к полю (плоскости (x; y)); их называют уровнями

Ландау. Второй член непрерывно меняется от нуля до бесконечности, тем самым, весь спектр является непрерывным. Третий член да¼т расщепление за сч¼т взаимодействия спина электрона с магнитным полем ( = 1=2 проекция спина на направление H0).

Мы обращали внимание на то, что введ¼нная нами величина y0 (8.51) коммутирует с гамильтонианом и сохраняется.

Заметим также, что следующая величина тоже коммутирует с гамильтонианом Ур. (8.44) и, тем самым, сохраняется

 

 

 

 

 

 

c

 

 

 

 

x^0 =

 

p^y + x :

 

 

 

 

eH0

Действительно,

 

 

 

 

 

[^px +

eH0

y;

c

 

p^y + x] = [^px; x] + [y; p^y] = 0 ;

 

 

 

 

c

eH0

 

 

^

c

 

 

 

 

[H; eH0 p^y + x] = 0 :

(8.68)

(8.69)

(8.70)

377

Рассмотрим классическое движение по окружность радиуса R в плоскости (x; y). Центр окружности находится в точке (x0; y0). Движение происходит с постоянной уг- ловой скоростью !H . Уравнения движения будут иметь вид

x

=

x0 + R cos(!H t) ;

y

=

y0 + R sin(!H t) :

x

=

!H R sin(!H t) ;

y

=

!H R cos(!H t) :

x = x0 +

y

= x0 +

py

=

 

 

!H me

 

!H

 

 

y = y0

x

 

= x0

px

=

!H

!H me

 

 

 

 

 

 

(8.71)

 

 

 

 

 

 

(8.72)

 

 

 

 

 

 

(8.73)

 

 

 

 

 

 

(8.74)

x0

cpy

;

(8.75)

eH0

y0

+

cpx

:

(8.76)

 

 

eH0

 

 

Из Ур. (8.68) видно, что величина x0 сохраняется.

Таким образом, введ¼нные нами величины x0 è y0 (ñì. Óð. (8.68), (8.51)) имеют физи- ческий смысл координат центра окружности, по которой движется электрон в проекции на плоскость (x; y).

Рис. 8.1: Рисунок из [3], Рис. 1.22.

Однако, надо заметиь, что операторы x^0 è y^0 не коммутируют [^x0; y^0] 6= 0, òàê ÷òî координаты x0 è y0 не могут одновременно иметь определ¼нные значения.

378

Соседние файлы в папке 6 сем
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности