Глава 8

Движение в магнитном поле

8.1Спин в магнитном поле

18.03.2022

В параграфе 6.5 мы получили уравнение Паули, которое описывает движение электрона с уч¼том его спина (см. Ур. (6.327))

Это уравнение получается из уравнения Дирака в нерелятивистском пределе, с точностью до поправок ( Z)4 ru.

В качестве потенциала электромагнитного поля, который описывает постоянное маг- нитное поле H0, мы выбрали (см. Ур. (6.308))

Взаимодействие спина электрона с магнитным полем может быть представлено, как

ãäå S (собственный или спиновый) магнитный момент электрона. Также мы вводили магнетон Бора

370

Рассмотрим поведение спина во внешнем постоянном магнитном поле. Будем считать, что динамика спина не связана с перемещением частицы в пространстве, т. е. спин отделен от орбитального движения. Такой подход правомерен, если внешнее магнитное поле является пространственно однородным. В этом случае величина и направление поля, действующего на частицу, в частности на е¼ спин, не зависят от того, где частица находится.

В этом случае за движение электрона только за сч¼т магнитного поля описывается таким уравнением Шр¼дингера

Направим ось z по магнитному полю, тогда H0 = Hoez. Уравнение Шр¼дингера примет âèä

Его собственные функции есть (см. Ур. (5.370))

ãäå a скалярная функция. Получаем уравнение

371

Решения Ур. (8.7) примут вид

Общее решение Ур. (8.7) имеет вид

a1 e i!Ht

Пусть в момент времени t = 0 спин направлен вдоль оси z, т.е. электрон находится в поляризованном состояния с проекцией sz = 1=2. Это значит, что при t = 0

В этом случае a 12 = 0. Волновая функция имеет вид

22

Как видно, в этом квантовом состоянии ориентация спина с течением времени не меняется спин остается направленным вдоль оси z. Это не удивительно, ибо спинор (0)

есть волновая функция стационарного состояния:

22

Если в момент времени t = 0 спин направлен в противоположном направлении оси z, т.е. электрон находится в поляризованном состояния с проекцией sz = 1=2. Это значит, что при t = 0

372

Стоит отметить, что включение внешнего магнитного поля привело к расщеплению энергетического уровня E = 0, который в отсутствие поля был двукратно вырожден

(энергия частицы не зависела от ориентации е¼ спина). Внешнее поле нарушило изотропию пространства, понизив симметрию до аксиальной, и сняло вырождение уровня E = 0, расщепив его на подуровни с энергиями E = ~!H .

Рассмотрим теперь случай, когда в момент времени t = 0 спин не имел определ¼нной проекции на ось z

Заметим, что эта функция описывает состояние с определ¼нной проекцией спина на ось x

Заметим, что среднее значение проекции спина на ось z в рассматриваемом состоянии равно нулю при любых t

Среднее значение спина, таким образом, остается в пределах плоскости (x; y).

373